В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Скстема уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовмесгпной, если не имеет ни одного ре. щения. Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения. Исследовать и репппь систему — это значит: э установить, совместна ли она нли несовместна; ° если она совместна, установить, является лн она определенной нли неопределенной, прн этом: — в случае определенной системы найти единственное ее решение; — в случае неопределенной системы описать множество всех ее решений.
Компактная запись системы. КоэфФициенты системы образуют матрицу А = (ад) е И™""„называемую основной маглрицей сисшамы, свободные члены образуют столбец Ь = (Ьы..., Ь )1 й м™, называемый столбцом свободных членов, а неизвестные — столбец х = (хы...,х„)г, называемый сговлбцом неизвестных, В этих обозиаченияк система (26А) может быть записана в виде Ах =Ь 9 2У. Системы с квадратной невырожденной матрицей 165 илн х1 а1 + " ° + х„а„= Ь, (26 3) где а, (1 = 1, и) — столбцы матрицы А.
В записи (26.3) система уравнений приобретает новый смысл: совместность системы равносильна тому, что столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы А, причем коэффициентами линейной комбинации служат компоненты хы..., х„решения. Эквивалентность систем. Две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают. Т ео р е м а 26.1. Умнохсение обеих частей системы Ах = Ь слева на невмрохсденнрю матрицу приводит ее к эквивалентной системе. Доказательство.
Пусть Я е Ж " и ~ф р- О. Рассматриваемые системь1 имеют вид Ах = Ь и ЯАх = (еЬ. Если с е Ж" — решение первой системы, то Ас а Ь и, следовательно„ЯАс = ЯЬ, откуда следует, что с — решение второй системы. С другой стороны, если с— решение второй системы, то ЯАс а ЯЬ. Умножив обе части этого тождества слева на („> ', получаем тождество Ас ге Ь, откуда следует, что с — решение первой системы. ° ф 27. Системы с квадратной невырожденной матрицей. Правило Хьрамера Прежде чем рассматривать системы обпшго вида, исследуем простейший класс систем (26.2), когда число уравяений совпадает с числом неизвестных и ~А( ф О. Теорема 27.1, Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матриией совместна и имеет единственное решение. Д о к аз а те л ь с т во.
В силу невырождеиностн матрицы А для нее существует обратная матрица А г. Нецосредственной проверкой лег:- ко установить, что вектор х=А 'Ь (27.1) является решением системы (26.2). Это решение единственно, так как если р — другое решение системы (26.2), то Ах ы Ар. Умножив обе части этого тождества слева на А, получим, что х = р. ° Решение (27.1) может быть записано покомпонентно, если воспользоваться явным выражением (5,3) для обратной матрицы.
Действительно, х = фАЬ или, в соответствии с (5.1), АмЬ1 + АыЬз +... + АыЬ„ хФ— 1'лава УХ Системы,уравнений 166 Эти соотношения в свете свойств определители означают, что (27.2) яс = (Аг(/)А~, 1= 1,п, где А, получается из матрицы А заменой ее в-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (27.2) называются право,лом Крамера Замечание. Правило Крамера дмт решение слоганы в язвам виде и в локотором смысло носит алгоритмический харвктор. Одиако вто прл;вила полезло лишь а тооратичсских исглодоваяиях и противопоказаяо для практичвского использовавия и приложеииях.
В самом деле, для рвшсияя систем того порядка по правилу Крамера требуется вычислить (и+ Ц определителей п-го порядка, тогда как большинство соврсковвых методов рошвяия систем по облому вычислокий равиосильлы вычислеввю одном определителя. В $ 29 мы приведем описание одного пз таких методов — метода Гаусса.
Протяжны теоретическое исследование систем, так кюс вопрос о решении систем с прямоугольной матрицей нли квадратной, но вырожденной матрицей остается открьгтым. 8 23. Системы общего вида Совместность системы, Пусть теперь (28.1) — система общего вида и А = (ае) е й'""в. Исследование системы следует начать с вопроса о ее совместности. Для втой цели составим матрицу В„приписав к матрице А столбец свободных членов: В = [А(Ь].
Матрипа В называется распзирвнкой лсапгрмцей системы (28.1), Т е о р е м а 28.1 (теорема Хроиекера — Каналии). Система линейнык алгебраическая уравнений совместна тогда п глолько пюгда, когда ранг основной лсатрицы равен рангу расгииргнноб магпри- ЦЖ. Доказательство. Необходимость, Пусть система (28.1) совместна. Тогда из (26.3) следует, что существуют числа км ., х„6 и такие, что 6 = кга1+...+ива„. Следовательно, столбец 8 является линейной комбинацией столбцов аы...,в матрицы А. фз теоремы 16.8 следует, что гй А = гй В. Достаточность.
Пусть гйА = г6В = г. Возьмем в матрице А какой-нибудь базисный минор. Так как гй В = г, то он же будет базисным минором и матрицы В, Тогда согласно теореме 16.1 о базисном миноре последний столбец матрицы В будет линейной комбинацией базисных столбцов, т.е. столбцов матрицы А. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы А. Это означвлт совместность системы. и Схема исследования совместной системы. Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместность системы. Перейдем к исследованию совместной системы. Итак, пусть система уравнений З 28.
Системы общего вида 107 а11х1 + ° ° + а1«х«+ «11»+1х» «1 + ° ° + а1»х»« = Ь1» а„«х1+... -~-а„х„+ а,,».«1хг» 1+... + а,х„= Ь„' («) а~1х1 + ° ° ° + о»»«'х~ + «1м,«"+1х»+1 + - ° ° + о»»»х» = Ь«» совместна и гйА = гйВ = г. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что базисный минор матрицы А находится в левом верхнем углу, так что а«1 ... а1, фО. а»1 ... а„„ (28.2) < а11х1+ ... + а«,х„= Ь1 — а1,„+1х„+1 —... — а«„х„, (28.3) а„«х1+... +а х„= ܄— а,„+«х,,,+1 —... — а „х„.
Придав свободным неизвестным х„+1„..., х„произвольные значения с +1,, с„, получим систему уравнений относительно неизвестнь«х х1» Рассмотрим укороченную систему из первых 1' уравнений системы (*), т.е. из уравнений, коэффициенты которых входят в базисный ми- НОР« 1 а11х1+... + а«„х„+ а1 „+1х,+1+... + а«„х„= Ь1, (» «) а«1х« + ° ° ° + а««х«+ а«.«+1х«+1 + ° ° + а«»х» = Ь«. Т е о р е ы а 28,2. Укороченная сися»ема зквивалеишяа исходной систаеме« (Ф) (*«).
Доказательство. Обе системы содержат «щвнаковое число неизвестных, Очевидно, что любое решение системы (*) является решением системы (» а). Покажем, что верно и обратное. Действительно, в расширенной матрице В системы («) первые г строк являются базисными. Следовательно, все остальные строки согласно теореме о базисном миноре будут линейными комбинациями этих строк. Это означает, что каждое уравнение системы (*), начиная с (г+ 1)-го, будет линейной комбинацией (те. следствием) первых г уравнений этой системы. Отсюда вытекает, что каждое решение первых 1 уравнений системы («) обращает в тождества все последующие уравнения э«ой системы.
В Итак, задача исследования системы (*) упрощена, теперь достаточно изучить укороченную систему (»«). Перейдем к этой задаче, Если г = щ то система (««) имеет единственное решение кэк система с квадратной невырожденной матрицей (227). Пусты < и.
Неизвестные х1,..., х„коэффициенты при которых входят в базисный минор, назовем еловимми, а остальные яеизвесг-- ные х„ч1, ., х„— свободными. Запишем систему (««) в виде 168 Глава ттХ. Системы уравнений аыхт +... +аыхт = бт — ат „зте„+т —... — аьхс„, (х«х) а тхт + ... + а х, = Ь, — а.р-+те,зет — ... — а, сх е квадратной невырождепной (согласно (28.2)) матрицей. Эта система имеет Я27) единственное решение еы, с,. Очевидно, что совокупность (сп...,с„с,+и..., с„) являетея решением системы (хх).
Теорема 28,8. Придавал свободным неизвеетиным произвольные значения и вычислял значения главных неизеестиних из сисптемы (х**), мозтено получишь есе решение сисогемы (хх) . Доказательство. Пусть (ст,..., е„с„+ы...,с ) — произвольное решение системы (хх), Покажем, что оно может быть получено указаннъпе путем. Возьмем числа с„ьт,..., с„в качестве значений для свободных неизвестных х,+ т,..., х„и будем вычислять значения главных неизвестных, решая систему (*хх) . Так как (ст,..., е, е„.~ы ..., с ) — решение системы (хх), то (сы,с,) — решение системы (хх*). Но система (хх ) имеет единственное решение, следовательно, в качестве значений главных неизвестных мы можем получить только числа (см..., с„).
° Итак, мы наптли правило, которое позволяет получить любое решение системы (х*), а следовательно, и произвольной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема 28.4. Сиспмма алгебраических уравнений с и неизвестными имеетл единственное решение пгогда и тлолько таогда, когда гй А = гб В = и. Доказательство теоремы фактически содержится в описанном выше правиле для получения решения системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
