В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Действительно, если гб А = гй В = и, то, как указано выше, система имеет единственное решение. Если же гйА = гйВ < и, то среди неизвестных будет хотя бы одно свободное неизвестное. Придавая ему произвольные значения, получим бесконечно много решений системы. вг Обгцее решение системы. Кзк уквзывелоеь в з26, решить систему — значит описать множество всех ее решений.
В случае определенной системы для этого достаточно найти то единственное решение, которым она обладает. В случае же неопределенной системы необходимо найти способ, позволяющий описать бесконечное множество ее решений. Один кз таких способов состоит в следующем. Решим систему (28.3) относительно главных неизвестных: хт = ут(х„+ы,х„), х. = Ях.+1,-.-,хх), где г и ° ° ' ~т — некоторые однозначно (в силу теоремы 272) определяемые нз (28.3) функции.
Соотношения (28А) при произвольных х хт,...,х„описывают множество всех решений системы я называются общим реиынием си- 199 стени. В огличие от общего, конкретное решеиие х = (см ..., с„)г, где с;, 1 = 1, и, — известные числа, иазывается частным решением. Однородные системы. Система ливейвьж алгебраических уравиеиий с нулевой правой частью называется однородной.
Все результаты общей теории справедливы и дли этого частного случая, однако здесь имеет место некоторая специфика, иа шпорой мы оскаиовимся подробиее, Из теоремы Кроиекера-Келелли следует, что одиородиая система $ 29. Метод Гаусса исследования и решения систем В соответствии с общими принципами метода Гаусса решения матричных задач (54) укажем тип простейших систем лииейиых уравиеиий, тип эквивалеятиых преобраэовавий системы, а также покажем, что произвольяав система линейных алгебраических уравяеиий указаииыми пресбрвзоваииями приводится к указаивому типу.
Системы с трапециевидной матрицей, Пусть Ах=6 (29.1) — система с верхней трапециевидной матрицей А. Расширеияэя матрица этой системы имеет вид 6х ап а1г агг 6, 6г+1 О О О О (29.2) О О где аи уг О, $ = 1, г. Ах= О (28-5) всегда совмести», так как ранг расширенной матрицы (А(О), очевидво, равен рангу матрицы А. Впрочем, это видно и иепосредствеиио: однородная система заведомо имеет решение (О,...,0)т, иезываемое тривиальным. Согласно общей теории для одиородиых систем имеют место следующие теоремы. Теорема 28.5. Однородная система (28,5) с и неизвестными имеет нетривиальное решение тогда и тельно тогда, когда гйА <и, Утверждение теоремы следует иэ теоремы 28.4, так квк наличие нетривиального решения для одиородиой системы равносильно ее иеопределевя ости.
° Теорема 28.6. Однораднаа система (28.5) с квадратной матриией имеет нетривиальное решение тогда и талька тогда, когда ~А1 = О. Глава И. Системы уравнений 110 Мы не случайно выбрали системы с верхней трапециевидной матрицей. Для таких сиота чрезвычайно просто устанавливается совместность и достаточно просто находится решение.
Теорема 29.1. Система (29.1) с верхней траиециевиднои матрицей совместна тогда и только тогда, когда Ьь = О ири й > г, До к аз а тел ь ство. Действительно, ранг трапециевидной матрицы А равен числу ненулевых строк, так как минор г-го порядка, расположенный в левом верхнем углу, отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка содержат нулевые строки н поэтому равны нулю. Ранг расшипеннной матрицы (29.2) равен г тогда н толью тогда, когда Ьь = О, Ь = г + 1, и, так как наличие хотя бы одного ненулевого элемента Ь;, где г < 4 < т, означжт наличие ненулевого минора (г + 1)-го порядка: аы ам ... ам Ьг О азг ...
аг, Ьз 0 0 ... а„„Ь; О О ... 0 Ьс аыхг+аггхз+ ...+аг„х, = Ьм аггхг + ° ° + аз хг = Ьм а, и,.= Ь„, которая имеет единственное решение (327); найти его не представляет труда. решая последовательно уравнения системы снизу вверх, мы каждый раз будем иметь дело с уравнением, содержащим только одно неизвестное. 4'. Если г < и, то неизвестные х„+м...,х„будут свободными и система относительно главных неизвестных примет вид амх~ + ... + аг,х„= Ь| — а~ „+~х,+~ — ... — аг„х„, а схв = Ь» — аз;э+1хг+1 — ...
— агах». (29,3) Отсюда на основании теоремы Кронекера-Капелли следует утверждение теоремы. ° Ихак, совместность системы с верхней трапециевидной матрицей устанавливается чисто "визуально". Пусть теперь система (29,1) совместна. Реализация всех пунктов общей теории исследования и решения совместной системы (з28) дли системы (29 1) также проста. 1'.
В качестве базисного минора матрицы 4 всегда можно взять минор, расположенный в левом верхнем углу. 2', Укороченная система состоит нз первых г уравнений. 3'. Если г = и, то система (29.1) станет системой с треугольной матрице й 111 Общее и частное решения исходной системы находнтся из системы (29.3) с треугольной матрицей. Элементарные преобразования системы уравнений. Элементарньами преобразованиями системы уравнений называются преобразования слелуюпптх хинов: 1) перестановка местами двух уравнений системы; 2) умножение какого-либо уравнения системы на число а ~ 0; 3) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравяения, умноженного на любое число В. Т е о р е и а 29.2.
Элементарные преобразования систпемы линейных алгебраических уравнений приводят ее к зкеиеалемтпной системе. До к аз ател ь ство. Элементарные преобразования системы уравнений означают элементарные преобразования строк расширенной матрицы В„которые, как известно (з3), равносильны умножению матрицы В слева на матрицы элементарных преобразований. Это, в свою очередь, согласно трактовке (2.3) операции умножения матриц равносильно умножению слева обеих частей системы уравнений на не- вырожденные матрацы элементарных преобразований, что приводгг к эквивалентной системе (теорема 26.1). и Заме«ение Ь Рвссмвтривеемые и теореме преобрвзовеник отншягпж только к сшроквм расширенной матрицы.
Очевидно, что злеменгерные преобремь веиия столбцов расширенной матрицы, вообще ~оворя, лишены смысле. Одиеко можно рессмвтрнввть злементврные пресбрезоввния стсшбцов основной метрики Л, в частности пересппшвки ее столбцов, которые ознвчеют перевумервщпо неизвестных сиетемы. Приведение системы обхцего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей. Квк следует из теоремы 3.1 (и замечания 1 к ней), матрица А системы уравнений (28.1) общего вида элементарными преобразованиями строк и перестановками схолбцов приводится к верхней трапециевидной форме (1.3). Если используемые при этом элементарные преобразования строк матрицы А применить к строкам всей расширенной матрицы В, то на основании теоремы 29.2 (и замечания к ней) мы придем к такой системе с верхней трапециевидной матрицей, решения которой отличаютсп от решений исходной "у г о щ6О3~ г ~~ ния и решения системы уравнений состоит в приведении ее к скстеме с верхней трапециевидной матрицей, а затем в исследовелни н решении полученной системы.
При этом, если в процессе преобразования использовалнсь перестановки столбцов основной матрицы А, то в полученных решениях необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных. Процесс приведения системы к системе с грвпмхиевшшой мвтрицей позыве ется и ямим косом мего Ге, в процесс решеншт системы с треугольной мвтрнц — ошиым и. По объему вычислений обрвтный жщ оквыевлотся несущественным в методе Гауссе, зек квк ок требует вмполкении О(кв) операций умножения, тогда ввк двя прямого хода требуется выполинть «~-+ О(нз) умножений (14). Таким обрезом, Глава 7Ь Системы уравнений 112 метод Гаусса решения снстемм линейных алгебраических уравнений по объему вычислений равносилен вычислению одного определителя (см. 127, замечание).
Заме ванне 2. В основе метода Гаусса вычисления определителя, вычисления ранга матрицы н решения системы линейных алгебраических уравнений лежит один и тот же алгоритм — основной процесс приведения матрицы к ступенчатой форме. Однако, квк отмечалось в ~4, 16, 29, реалиэециэ этого алгоритма для каждой из этих задач имеет свою спецнфйку. йаиболее "свободно" он реализуется для задачи вычисления рипа матрицы, так как любые элементарные преобразования и строк, и столбцов матрицы не изменяют ее ранга. В задаче вычисления опредвэнтеля по-прежнему допускаются преобразования квк строк, так и столбцов, но уже нмтбходимо следить за изменением определителя, если в преобразованиях участвовалн перестановки строк (или столбцов) или умножение строки (столбца) на число а и О. Аккуратнее следует относиться к задаче решения систем уравнений, где допускаютсл преобразования тлальха старая растларекнов матарацм и перестпаиаекв столбцов вюлько основной матпрвцм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
