В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Прямая на плоскости (плоскость в пространстве) в прямоугольной декартовой системе координат Рассматривается прямоугольная декартова система координат Оху на плоскости (Охуг в пространстве), определенная ортонормнрованным базисом е», е» ( еы е», ез соответственно). Известно (532, замечание 2), что вектор нормали и = (А,В) (соответственно и = (А, В, С)) перленднкулярен прямой (, заданной уравнением (32.10) (соответственно плоскости я, заданной уравнением (32.11)).
Расстояние от точки до прямой (до плоскости). Теорема 35.1, В прямоугольной декартовой системе координат Оху расстояние р(Мо, г) огп точки Мо(хо, уо) до прямой (32.10) опредсллгтсл формулой Р(М» г) = !Ах»+ Вуо + С! гА»+ В» (35.1) Доказательство. Пусть Мо гг 1 (для точек Мо й 1 равенство (35.1) очевидно). Опустим из точки Мо перпендикуляр на прямую 1, пусть М»(х», у») — основание перпендикуляра. Тогда М»Мо = оп и Лн,!) )Ггм)=) ) ) )=) )~А ьВ.
)352) Найдем о. Так как хс = х» + оА уо = у» + оВ, то Ахо + Вуо + +С = Ах,+Ву,+С+о(А»+ В») = о(А»+В») Отсюда о = (Ахо+ + Вуо + С),г(А» + В»). Подставив зто значение )т в (35.2), получим (35.1). ° Теорема 35.2. В прямоугольной декартовой системе ггоординагп Охуг рассгполние от точки Ме(хо,уо,гс) до плоскости (32.11) определлстсл формулой !Ахо+ Вуо+ С»о+ Ю! Угол между пряма»ми (между плоскостями).
Пусть прямые »» н 1» (плоскости к» н к») заданы уравнениями (ЗЗ.Ц (соответственно (33.2)). Вообще говоря, две пересекающиеся прямые 1» и 1» (плоскости и» и гг») образуют два угла, в сумме равные гг. Достаточно определить сднн их инх.
Таи как векторы нормали и» и и» перпендикулярны прямым (плоскостям), то угол )р = (й», и») совпадает с одним из углов между прямыми 1» и 1» (между плоскостями»г» и я»), Итак, согласно (22.6) угол гр между прямыми (33.1), совпадающий с уагом между их нормалями, опредсллетсл формулой А»А» + »» »угу + В~~/Ау + В ~ 9 Зб. Прямая в пространстве 129 а угол х мгхсду нлоокоспьаии (33.2), соепадаюигий с углом мгхсду их нормалями, — Формулой А~Аз+ В1Вг+С»Сг ,з»,»-в ~~„я'»щ»о,' В частности, прямые (т и»г (илоскосши к1 и яг) перпендикулярны тогда и только пюгда, когда А1Аг+ В1Вг = О (А1Аг + В1Вг + С1Сг = 0). 5 36, Прямая в пространстве 'Уравнения прямой.
1. Векторное уравнение (32.6) прямой на плоскости остается справедливым я для прямой в пространстве, так как и в пространстве прямая однозначно определяется точкой и направлюощнм вектором. Итак (332), если в пространстве зафиксирован полюс О, то уравнение прямой, ирокогщщей через точку Мо(гг), с направляющим вектором н имеет Вид г = го + $ а, г е К.
Пусть в аффннной системе координат точка Мс имеет координаты (хш уо гс), а вектор а = (пг, и, й). Тогда уравнение (36.1) может быть записано в координатной форме: *= хо+4т» у = уе + ги, ге + гй» Уравнения (Зб.Ц» (36,2) называются пароме»прическими уравнениями прямой в пространстве в векторной н координатной формах соответственно. 2. Уравнение (36.1), означающее коллинеарность векторов г — г'о и а, может быть записано и в терминах пропорциональности координат векторов г — ге = (х — хо*у — уе,г — ге) и а = (гл,п,й) следующим образом: хо у уе г го (36,3) гп и й Уравнения (36.3) называются каноническими уравнениями прлмой в пространстве.
Так же как и для канонического уравнения (32,3) прямой на плоскости, уравнения (36.3) говорят лишь о пропорпиональности координат векторов г — ге и а. Если, например, пь = О, то уравнения (36.3) 136 Глава )гП. Алгебраические линии и поверхности первого порядка переходят в уравнения у-уо л-ло х — хо =О, и й Если же тп = О, и = О, то уравнения (36.3) переходят в уравнения х — хо =О„у — уо =О, т,е.
прямая является линией пересечения плоскостей х — хо = О и у-уо=О. 3. Для прямой, проходящей через две различные точкя Мо(хо, уо, ло) н М1 (х1, у,, 31), легко получить уравнения (36.1)-«36.3), твк квк в качестве направляющего вектора может быть взят вектор а = МоМ1 = (х1 — хо,у1 уо1л1 ло). 4. Векторное уравнение (36.Ц порождает и другие формы вектор- ных уравнений прямой в пространстве.
В свмом деле, зто уравнение означает коллиневриость векторов г — го и а, что согласно критерию коллниеарности (теорема 23.2) равносильно Равенству «г — го,а)= О или, в силу линейности векторного произведения, «г„а) = М, где М = «го, а). (36.5) Заметим, что уравнения (зб,4) и (36.3) лишены смысла лля прямой на плоскости; по сваей структуре оми близки к ураинениим (32. 14) н (32, 13) плоскости е пространстее. 5. Каждая прямая мвкет быть представлена как пересечение двух плоскостей. Практически уравнения (36.3) задают 1(рямую именно таким образом, так квк они зквивалентны системе из двух линейных уравнений, каждое из которых определяет плоскость.
Дадим общую формулировку этого факта. В пффинной сисхеме координат Скул примоя 1, являющаяся линией пересечения плоскостей пз: А4х+Взу+С,х+Вч=О, 1=1,2, определяется системой уравнений А1х + В1у + С1х + В1 = О, Азх+Вту+ Сон+Во = О, где гб А В" С вЂ” — 2. (36.7) Условие (36.7) означает, что плоскости и1 и тз пересекаются (РЗ, замечание). Систему «36.6) нпзывлзот пбщилзи урпвнемпллеи прямой в пространстве. Важно уметь переходить от одного типа уравнения прямой к другому. Переход от каждого яз уравнений (36.1)-(36.5) к любому другому очевиден. Для перехода от уравнений (36.6) к (36.1)-(36.5) необходимо найти точку Мо и направляющий вектор а.
Координаты 336. Прямвл в пространстве 131 точки Мо можно найти как частное решение системы 136.6). Найдем вектор а. Т е о р е и а 36.1. Воли в оффпкной системе координат Окрг прямая 1 задана общимп уравнениями 136,6), гло векпюр В С ' А С ' А В являстсл направллгогавгг вектором втой прямой. Доказательство. Отметим прежде всего, что а ф О в силу условия 136.7). Далее, вектор а параллелен плоскостям кг и ггг, так как разложения опредеяителей Аг Вг Сг Аг Вг Сг А, В, С, = О и Аг Вг С = О Аг Вг Сг Аг Вг Сг по первой строке совпадают с условиями (32.13) параллельности вектора а плоскостям,кг и кг.
Итак, ненулевой вектор а параллелен каждой из плоскостей к1 н кг. Следовательно, он является иаира.- вляющим вектором линии их пересечения. ° Замечание 1. Для запоминания координат вектора а может быть использован мнемонический определитель ег ег ез а= А В С Аг Вг Сг ! кг — кг уг — рг «г — гг ! 1 тг пг йг (36.9) где ег, ег, ез -бвзкс, соответствующий системе координат Ок1гг. Разложение этого определителя по первой строке совпадает с разложением вектора а по базису еы ег, ез.
Замечание 2, Теорема 36.1 относится к аффинной системе координат. Очевидно, что в прямоукольной декартовой системе координат, соответствующей ортонормированному базису ег, ег, ез, вектор (36.3) может быть получен как векторное произведение ~ пы пг) нормалей и, н пг к плоскоспгм кг и кг.
Взаимное распологкеине двух прямых в пространстве. Пусть каждая из прямых 1,, $ = 1,2, задана точкой М,1лг,раз;) и направляющим вектором аг = 1те пг, кг) в некоторой аффинной системе ююрдннат Окуз. Положим Ь = МгМг. Теорема 36,2. Прлягыг 1г и 1г лвокат в одной плоскости тогда и гпояько глагда, когда 132 Глава гП. Алгебраические линии и поверхности первого порядка Доказательство. Действительно, прямые 1г и 1г лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы Ь, а1, аг компланарны„т.е.
линейно зависимы (теорема 15.2). Согласно теореме 14.2 зто равносильно тому„что один из них линейно выражается через другие. В силу линейности координат то же относнтсн и к их координатам, что означает (316, следствие 1) равенство нулю определителя, строками которого являются зтн координаты. ° Залгечаииг 3. В прямоугольной декартовой системе координат условие (36.9) может быть получено нз критерия компланарности векторов Ь, ап аг (теорема 23.4 и соотношение (23.6)). Теорема 36.3.
Прялгме1г и 4 совпадают пюгда и только тогда, когда хг — хг рг — рг гг — г, 1 гк тг иг с й, ' = 1, гйг иг (36.10) параллельны и ие совпадают тогда и только тогда, когда ~ т1 пг йг1 Рг — Рг гг гф к — -1, гй т| п~ кг =2, (36.11) пгресекаюгпся тогда и только тогда, когда хг хг рг р1 гг гг х: Ах + Вр + Сг + П = 0 и прямая г = го+га, где го = (хо, ро, го), а = (т, и, Ц.
Теорема 36.4. Праман 1 лежит е плоскости х тогда и только тогда, когда Ат+ Вп+ С1с = 0„ Ахо+ Вро+Сго+ П = 0; Доказательство. Условие (36.10) равносильно таму, что векторы Ь, ам аг коллннеарны; условие (36.11) — тому, что векторы аы аг коллннеарны, а векторы Ь, аы аг компланариы, но не коллинеарны; условие (36.12) — тому, что векторы аы аг не коллинеариы, а векторы Ь, аы аг компланарны. Отсюда следует утнерждение теоремьь ° Взаимное расположение прямой и плоскости. Пусть в прострглстве в некоторой аффннной системе координат Охуг заданы плос- кость 3 36. Прямая з пространстве Из прлмаа1 параллельна плоскости я, но не лежит е ней тогда и толь- ко тогда, когда Ат+ Вп+ Сй = О, Ало + Вро + Сго + В Ф 0' орлмал 1 пересекает плоскость х пюгда н только тогда, когда Ат + Вн+ Сй ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
