В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Подгруппа Н группы С называется нормальным делителем, если для любого элемента а й С (40.1) т.е. если любой левый (правый) смежный класс одновременно является правым (левым) смежным классом. Очевидно, что в абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем. Тривиальные подгруппы в любой группе также являются нормальными делителями: оба разложения по единичной подгруппе совпадают с разложением группы на отдельные элементы, оба разложения по самой группе состоят из одного класса — это сама группа. Укажем критерий нормального делителя для произвольной группы. Элементы а и Ь группы С называются сопряженными, если существует элемент с е С такой, что а = с "Ьс. Теорема 40.1. Подгруппа Н группы С яелягтгя нормальным делителем тогда и только тогда, когда она вместе с каждым элементом содержит есг сопряженные с ним элементы.
Доказательство. Необходимость. Пусть Н вЂ” нормальный делитель, тогда согласно (40.1) Нс с сН для любого элемента с е С. Это означает, что для любого элемента Ь е Н существует Ь1 е Н такой, что Ьс = сЬм т,е. с 'Ьс = Ь1 е Н. Достаточность. Возьмем произвольные элементы Ь е Н, с е С. Тогда с 1Ьс е Н и сЬс 1 е Н. Это означает, что существуют элементы ЬмЬг е Н такие, что с ~Ьс = Ьь сЬс 1 = Ьг, няи Ьс = сЬм сЬ = Ьгс. Значит, Нс С сН и сН ~ Нс, те. сН = = Нс. ° Примером нормального делителя в неабелевой группе является подгруппа матриц с определителем, равным едикице, мультипликатнвной группы невырожденных матриц и го порядка, так как для элементов этой подгруппы выполнено условие теоремы 40.1: если ~А ~ = 1, то (С гАС~ = ~А( = 1 для любой невырожденной матрицы С.
Фактор-группа. Из смежных классов по нормальному делителю может быть построена новая группа. Т е о р е м а 40.2. Смежные классы по нормальному делителю образуют группу относительно умножения подмножеств группы. 145 ~ 41. Морфизмы групп Доказательство. Покажем, что произведение смежных классов по нормальному делителю является смежным классом. Действительно, (аН)(ЬН) = ( в силу ассоциативности произведения ) = = а(НЬ)Н = ( так как Н вЂ” нормальный делитель ) = а(ЬН)Н = = аЬ(НН) = аЬН. Итак, (аН)(ЬН) = (аЬ)Н, (40.2) значит, умножение подмножеств группы является алгебраической операцией на множестве смежных классов по нормальному делителю.
Ассоциативность этого умножения уже известна (338). Нейтральным элементом служит сама подгруппа Н, так кэк (аН)Н = (аН)(еН) = = (ае)Н = аН, Ча ~ С. Обратным элементом к классу аН является класс а Н, тек как (аН)(а 'Н) =(аа ')Н = еН= Н, и Группа смежных классов группы С по нормальному делителю Н называется фактор-группой группы С по подгруппе Н.
Обозначение: С~Н. Группа вычетов по модулю р. Вернемся к смежным классам аддитивной группы целых чисел по подгруппе Н чисел, кратных р. Как следует из $38 (пример 2 в таблице), фактор-группа Е~Н состоит ровно из р классов и совпадает с множеством Ер классов вычетов по модулю р (37, пример 3). Алгебраическую операцию в Ер (т.е. произведение смежных классов) будем называть сложением, придерживаясь названия исходной операции в группе целых чисел. Согласно (40.2) суммой смежных классов Со, + С„является класс, который содержит сумму чисел го + п: С + С = С„где г ьз (гп+ п)(пюйр). (40,3) Итак, Ер — аддитивная группа вычетов по модулю р. 5 41. Морфизмы групп Изоморфизм.
Уже примеры конечных групп (339) приводят к естественному выводу, что все группы (например, третьего порядка) обнаруживают большое сходство: алгебраические операции в них описываются одной и той же таблицей умножения. Общий подход к выявлению различий или, напротив, к отождествлению групп основан иа понятии изоморфизма. Две группы Сг и Сг с операциями гг и еэ называют пгоморфпмлги, если существует биективное отображение у: Сг — ~ Сю которое сохраняет групповую операцию, т.е. ('(а гг Ь) = у(а) эг у(Ь), Ча, Ь е Сг.
Обозначение: Сг ~ Сг. Само отображение у прн этом называют пэоморфиэлголь Примеры. 1. Адцитивные группы целых чисел и четных чисел изоморфны, тах как отображение у(п) = 2п, и б Е, есть изоморфизм. 2. Мультипликативная группа положительных вещественных чисел и «ддитивная группа всех вещественных чисел изоморфны.
В качестве изоморфного отображения у можно взять у(а) = )па. Извест- Глава ИП. Элементы общей алгебры иое свойство логарифма 1п аЬ = )п а+ 1и Ь как рзз моделирует условие изоморфизма. Отметим простейшие свойства изоморфизма. 1'. Отнвтение извморФизма лвллетсл отношением эквивалент. ности на множестве всех групп. Действительно, рефлексивность следует из того, что тождественное отображение являетел изоморфизмом; симметричность — из того, что если у — изоморфизм, то 1 ' (которое существует в силу биектнвности У) также является изоморфизмом, так как у ~(а' «э Ь') = = (а' = 1(а), Ь' = 1(Ь) в силу сюръективности у1 = ~ г(у(а)«эДЬ)) = = (ибо у — изоморфизм ) = ~ ~~(а «~ Ь) = а «г Ь = у г(а') «е ~ ~(Ь'); транзитивность — из того, что суперпозиция изоморфизмов, как легко проверить, также является изоморфизмом.
2 . В и рФ Се аэ 6 (и ораоб ) ед лвллетсл единицей. Действительно, если а«ее = е«га = а„то г(а)«зг(е) = 1(е)«з,г(а) = = 1(а). Отсюда с учетом того, что элементами Да) исчерпывается вся группа Сэ (в силу сюръективностн,1), следует, что г(в) = е' — единица в Сэ. Следовательно, образом единицы е является единица е', Значит, и прообразом единицы в' является е н, в силу инъективности 1, только е.
3'. В изоморсднмх группах Се и Се образ (и прообраз) обратного элемента лвллетсл обратным элементом, т.е. У(а ) = (Да)) ~. Доказательство этого факта аналогично доказательству свойства 2', оно опирается на определение обратного элемента. Т е о р е и а 41.1 (теорема Кэлм) . Любая. конечнвл группа изоморфна некопюрой групие перестановок на множсставе своих элеменпюв, Доказательство.
Пусть С = (уе = е, уы -,у -е) — группа п-го порядка. Построим отображение у группы С на некоторое множеспю Я перестановок множества С, положив у(д) = (уед, дгу, ..., У„ед) для любого у б О. Так как группа С замкнута относительно групповой операции, то дед> угу,...,9„~9 й 6'. Полее того, эти произведения различны, тек как из равенства у,д = у д в силу закона сокращения в группе следует, что д; = д, т.е. 1 = 1. Следовательно, уед, дед,..., д« ~д — перестановка элементов де, дд,...,У„г группы С, р(д) — перестановка множества С: Уе дг ° ° 9« — е 90У 91У ° ° ° Уе-ед/ я Я вЂ” некоторое подмножество симметрической группы всех перестановок мнткества С.
Покажем, что эе — изоморфизм: 1) х — инъективно, так как если д ф у' (у' й С), то у(д) ф у(у') (хотя бы потому, что уеу ф деды так как де = е), т.е. различным элементам иэ С соответствуют различные перестановки из Я; 941. вгорфизмы групп 2) Р сохраняет групповую операцию, так как 90 ''' Уг '' Уи — 1 УоМ) " ЫИ') " Ь-~ЬУ') * Уо -" ж ".
9 -з 1 (Уо " Рл ". 9 — ~ ~Р(9 )'Р(У)— Уоу ° ° Угу ° - ° Уи-гу ~ ( Уо ° ° 91 ° ° Уа-з (Уоу)У' " (Угу)9 . " (У -зу)9,/ ~ Уоу - У У , 9 -Ю,/ Уо " . У ° ° Уь-1 —, =Ф(99). (Усу)9'"-(Угу)9'" (У -зу)9'у Осталось отметить, что 8 — группа, т.е. подгруппа группы всех перестановок множества О. Это автоматически вытекает нз того, что Я вЂ” нзоморфный обрез группы С. ° Теорема Кэпи выделяет семейство Ы„, и = 1, 2,... симметрических групп, в котором находятся с точностью до кюморфвзма все конечные группы. Теорема 41 2. Все бесконечные циклические грунпм игомарфнм аддитпивноу группе целмз чисел.
Доказательство. Если С вЂ” бесконечная циклическая группа с образующим элементом а, то соответствие будет взаимно однозначным отображением О -+ У,. Изоморфность этого отображения вытекает нз (39.3), ° Сл г д с гл в и с. Всг бесконечные циклические группы иголгорфнм между собой. Теорема 41.2 выделяет аддитивную группу целых чисел, с которой с точностью до изоморфизма совпаюзют все бесконечные циклические группы. Для циклических групп конечного порядка такой объект будет выделен в $46. Изоморфное отображение группы О на себя называется аваюмарфиглгом. Несложная проверка показывает, что множество всех автоморфизмов группы образует группу относительно супергюзиции отображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
