В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 32
Текст из файла (страница 32)
а 4'. В вале сохраняюптсл есг обычные правила обраи4енил с дробями; а с а) — = — сь ад = Ьс, так как равенство Ь та = сй т равносильно 6 Ы равенству 6(6 ~а)6=6(сд )д, те. ай = 6с; а с адхбс ас ас 3 Ы ' Ьд — а а а в) — =— Ь -Ь Ь' Глава ИП. Элементы общей алгебры Правила 'б", "в" доказываются так же, кезс н "а". Тем самым все правила и формулы элементарной алгебры полностью сохраняются в любом поле, так как в их основе лежат одни и те же свойства операций сложения, вычитания, умножения и деления. Элементы поля называют числами.
Очевидно, множества Я всех рациональных чисел и Й всех действительных чисел являются полями. Расширение поля. Подмножество Р поля Р называется подполам полл Р, если оно само является полем относительно операций, определенных в Р. При этом говорят, что поле Р является расширением поля Р, а поле Р вложено в воле Р. Так, поле )й действительных чисел является расширением поля рациональных чисел. Еще одно расширение поля рациональных чисел можно получить, рассматривая числа вида а+ Ь~/2 с рациональными а и Ь. Легко показать„что множество Р =(а+ЬЯ1а,Ь ч Щ образует поле. Очевидно, что поле О является его подполем. Любое поле, элементами которого являются действительные числа с операциями сложения и умножения действительных чисел, будем называть числовым полем.
Теорема 43.1. Поле рациональных чисел вложено в любое числовое поле. Доказательство. Пусть Р— поле, элементами которого являются числа а ~ К. Если а ф О, то Р содержит частное '-', т.е, число 1. Складывая число 1 с самим собой несколько раз, мы получим, что все натуральные числа и содержатся в Р. С другой стороны, в поле Р должна содержаться разность и — и, т.е. число О, поэтому в поле Р находятся н результаты вычитания Π— и, и е Ы, т.е. все отрицательные числа, Наконец, в поле Р содержатся и частные целых чисел, те.
вообще все рациональные числа. ° В заключение отметим, что расширение поля Ж действительных чисел будет дано в э44. Изоморфнзм колец н полей. Среди множества колец (и полей) встречаются кольца (ссютветственно поля), неразличимые с точки зрения свойств действующих в них алгебраических операций, Эта "одинаковость" формализуется понятием изоморфизма.
Два кольца К и К' (яли два поля Р и Р') называются извморфними, если существует биектнвное отображение сх К вЂ” > К' (соответственно ю: Р -+ Р'), сохраняющие операции: р(а+Ь) = р(а)+р(Ь), у(аЬ) = цв(а)~в(Ь), Ча,Ь ч К (соответственно Р). Нетрудно показать (э41), что 1) отношение изоморфизма является отношением эквивалентности иа множестве всех колец (и полей); 2) в изоморфньпс кольцах (и полях): 133 а) образ и прообраз нуля есть нуль; б) образ и прсюбрэз противоположного элемента есть противоположный элемент; в) образ и прообраз разности есть разность соответствующих элем еитов," г) образ и прообраз единицы (в случае кольца, если оно обладает единицей) есть едииица; д) образ и прообраз обратного элемента (в случае кольца, если элемент обладает обратным элементом) есть обратный элемент'; 3) свойство кольца иметь или ве иметь делители нуля сохраняется и в изоморфпом кольце.
Из перечисленных свойств следует, что кольцо, изоморфиас палю, сама будет полам. Таким образом, изоморфные кольца (и поля) могут отличаться друг от друга только природой своих элементов, но они тождественны по своим алгебраическим свойствам: всякэл теореме, доказаиная для некоторого кольца (или поля) будет справедлива для всех колец (соответственио полей), с иим изоморфных, если только доказательство теоремы опиралось лишь иа свойства алгебраических операций, но не на индивидуальные особеимости элементов этого кольпа (соответственно поля). Характеристики поля.
Существуют поля, в которых иекоторое целое кратисе 1, т.е. п1 = 1+ 1+... + 1, равно нулю. Наименьшее и натуральное число и, обладающее этим свойством, иазывается характсрисяи~кой палл. Если указанное свойство не имеет места ни для какого натурального числа и, то говорят, что такое поле имеет характеристику О. Очевидно, ч,1, Ж вЂ” поля характеристики О. Примерами полей характеристики р > 1 служат все конечные поля. В самом деле, конечвое поле ивляется конечной аддитивной группой, при этом характеристика поля р > 1, так как р совпадает с порядком элемента 1, являющимся делителем порядка самой группы (з39, следствие Ц. Теорема 43.2, Характеристикой полл мажет быть ли6о О, либо простое числа. До к «з а тел ьс т во.
Пусть и — характеристика поля и и — составное число, т.е. и = тй, где т, и е г1, т < и, и < и. Тогда а силу дистрибутив кости 1+ 1+... + 1 = (1+ 1+... + 1) (1+ 1+... + 1) = О. Так как в поле кет делителей нуля, то отсюда следует, что либо 1+ 1+...
+ 1 = О, либо 1+ 1+... + 1 = О, те. и — ие наименьшее т В натуральное число, обладающее указаииым свойством. ° Глава ЪПЕ Элементы общей алгебры Теорем а 43.3. Если Р— ноле характеристики р, то длл любого элемента а к Р имеет место равенство До к аз а тел ь ство. В самом деле, из свойства дистрибутнвности следует, что ра = а(р1) = а.О = О, ° Поле вычетов. Кольцо вычетов Ер не будет полем, если р составное, так как в этом случае в кольце Е„есть делители нуля (242). Теорема 43.4. Если р — простое число и р > 2, то Ер— поле характеристики р. Доказательство.
Покажем, что Ер — поле. Так кэк ń— коммутативное кольцо с единицей (з42), то достаточно показать, что для любого элемента С~ е Ер, т ~ О, существуег обратный элемент. Для этого рассмотрим все возможные вроизведеиия С С», где Й = О, р — 1. Этих произведений имеется ровно р (т.е. столько же, сколько элементов в Е ), и все они различны, так как из того, что С С» = С,„С„, к ф а, следует, что тк = та(шойр) или что тк — ти делится нацело на р. Следовательно, т(й — и) делится на р, причем О < т с р, О < й — и < р.
Это означает, что р — составное число. Таким образом, произведения С„,С» (к = О, р — 1) по одному разу пробегают все множество Ер и, значит, одно из них совпадает с Сь Итак, для любого класса С, где т р О, существует класс С» такой, что С,„С» = С1.
Следовательно, Ер — поле. Характеристика этого поля равна р, так как С1 + С~ +... + С1 = Се, С1 + С~ +... + С1 = С,„~ Ср при р ПЪ т ( р. ° Творе м а 43.3, Любое поле характеристики р > 1 с точностью до изоморфизма являезася расширением воля вычетов Ер.
Доказательство. В поле характеристики р элементы, кратные 1, т.е. элементы вида н1, где и = О, р — 1, различны. Легко показать, что эти элементы образуют подполе. Оно изоморфно полю вычетов Яр = (Сс,..., Ср 1): нзоморфизм устанавливается отображением 1о(а 1) = С„, и = О, р — 1. а Сл е д с т в и е. Любое конечное воле с точностью до изоморфизма является расширением некотаорого колл вычетов, Заме ч а и ив. До сих пор при изучении алгебраических объектов мы предполагали, что в их основе лежат вещественные числа: вещественные матрицы, вещественные линейные пространства, вещественные системы линейных алгебраических уравнений, миогочлены с вещественными коэффициентами. Все факты, касающиеся этих объектов, остаются справедливыми, если вместо поля вещественных чисел рассматривать любое поле.
Это легко проверить, так как доказательства таких утверждений опирались лишь на свойства алгебраических операций в поле. В дальнейшем вместо термина "веществеипая матрвцГ будем употреблять термин "матрица над полем Р", так же как и термины "линейное пространство вад полем Р", система линейных алгебраических уравнений иад полем Р", "многочлен над полем Р". Этим замечанием мы воспользуемся уже сейчас для доказательства следующей теоремы. Теорема 43.б. В кеяечием иоле число элемеияше и имеет еид еде р — простое, т — иатрральиее числа. Доказательство, Любое конечное поле является полем характеристики р > 1. Так как у изоморфных полей одиваковое число элементов, то согласно теореме 43.5 достаточно показать, что в конечиом расширении поля Ет содержится и = р' злемеитов, где т б 1Ч (очевкпио, р — простое число, так как Ер — поле).
Покажем зто. Пусть Р = (ае,ам- ° . оь 1) — расширение поля Жр — — (Се,См ..., Ср 1). Очевидно, что поле Р является линейным простреиством пад полем Хр. Пусть ем...,е„, — базис пространства Р. Тогда Р— множество всевозможных линейных комбинаций о1е1 + " "+ оеъед~~ о1 е Хр $" = 1 ш. Так как для каждого еи возможно р различных значений, то всего элементов вида ~43.2) будет р . в Глава 1Х. Комплексные числа В этой главе рассматривается новая система чисел, которая является расширением поля действительных чисел. Подобно известной из элементарной алгебры цепочке расширений И с Ж с Ц с и", каждое звено которой связано с необходимостью решения той или иной задачи, расширение поля действительных чисел связано с проблемой решения квадратных уравнений. Мы расширим поле действительных чисел так, чтобы любое квадратное уравнение, в частности простейшее из них ят+1 = О, имело решение.
Прежде чем вводить эти "новые" числа, отметим, что при каждом известном расширении "старые" числа становились частью "новых", т.е. отождествлялись с некоторым классом новьпс чисел. Например, натуральное число б отождествлялось с целым числом +5, или с рациональным числом — ., илн с дейв ствительным числом 4,9999... 544. Поле комплексных чисел Понятие комплексного числа. Комплекснымо числами нэзываютси упорядоченные пары (а, Ь) вещественньгх чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления с вещественными числами вводятся согласно следующим правилам (аксиомам): 1) (а,Ь) = (с,Ы) е=ь а = с, Ь = 4 2) (а, Ь) + (с, 4) = (а + с, Ь + д); 3) (а, Ь) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
