В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Утверждение теоремы следует нз критерия (3233) параллельности вектора а и плоскости з. Метрические задачи в прямоугольной декартовой системе коордниат. Пусть Охрз — прямоугольная декартова система координат в пространстве. 1. Углом между двумя прлмьомп е пространстее называется любой из углов между параллельными им прямыми, проходящими через какую-либо точку пространства. Таким образом, две прямые в прост:- ранстве оброзукп между собой два различных (если они не перпендикулярны) угла, в сумме равные т.
Очевидно, что угол мюкду направляющими векторами прямых равен одному из зткх углов. Следовательно, угол (о между прямыми 16 г = г;+1аьо = 1, 2„совпадающий с углом между их направляющими векторами а; = (т„нн ЙД, вычисляется согласно (22.6) по формуле оотг + п1пг + йгйг сов ггв ,ятчтч,я~ 7+4 2. Углом между прямой и плоскостью (если они не перпендикулярны) называется меньший из углов между отой прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость. Если же прямая и плоскость перпендикулярны, то угол между ними считается равным н/2.
Угол ~р между прямой 1: г = го + га и плоскостью з". Ах + Вр + Сз + В = 0 находится как дополнительный к углу между направляюпшм вектором прямой а = (т,п,л) н вектором нормали к плоскости п= (А,В,С) и вычисляется согласно (22.6) по формуле )Ат+ Вп+ Сй~ ога ~,О— 0 < 1о < з./2. %'тлтя 'в тв'~ *с~~' 3. Расстояние р(Мь 1) от точки М1(г1 ) до прямой 1: г = го + 1 а находится как высота Й (рис.
1) параллелограмма, построенного на векторах а и МоМь площадь и основание которого известны (323): ~(а, г1 — го)~ ~а! Соопюшения (23.5), (22.6) позволяют вычислить р(Ми1) по нз. вестным прямоугольным координатам. 134 Хлева гП. Алгебраические линии и поверхности первого порядка Рис. 2 4, Расстоянием между схрещиеахнию ниса прямыми 1;: г = г; + + Фаз 4 = 1,2, называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат прямые 11 я 1з. Это расстояние р(1м(з) находится как высота параллелепипеда (рис. 2), построенного на векторах М~ЛКз, ам аз, объем н площадь основания которого известны (за): ~(гз — гы ам аз)! Панай Соотношения (23.6),, (22.6) иозволяют вычислить р(11,1т) по известным прямоугольным координатам.
Глава Ч111. Элементы общей алгебры В этой главе изучаются фундаментальные для всей алгебры понятия группы, кольца и поля. Они дают возможность с общих позиций взглянуть на рассмотренные в предыдущях главах понятия и факты и ввести, кроме того, новые. $ 37. Группа Непустое множество С с заданной на нем алгебраической операцией «называется группой, если: 1) операция ассоциативна: (а «6) «с= а*(Ь«с), »Уа,Ь,се С; 2) операция обладает нейтральным элементом е б С: а» е = в*а = = а, Ча б С; 3) для любого элемента а б С существует симметричный элемент а' б С: а «а = а * а = е. Обозначение: С илн (С, *).
Условия 1-3 называются аксиомами группы. Группа с комыутатнвной операцией называется кольмутативной или абелевой. О термннологнн. Обычно груонозую операцию * обозначают созояьзь ными снмволамн, чаще всего символами нлн +, называя а ° Ь (нлн просто аЬ) произведенном, а а+Ь вЂ” суммой элементов а, Ь 6 С. В первом случае нейтральный элемент нззыззют «ди«онзб (о б о з н з ч е н и з: 1), снммзтрнчный элемент — обраоь «мл» (обозначен«о: а»), ь саму группу С вЂ” ыуль»аонлнкао»из«о6, Во втором олучзз нейтральный элемент нззыымот «улзм (обозначение; О), снммегрнчный — «рою«во«лэож«««м (обоэнзченка: -а), з группу С вЂ” адднгннз«ое. Еслн относнтзльно групповой операции нзт никаких огозорок, то обычно используют термннологкю мультнплнкзтнзной группы.
Как следует из определения, группа — это абстракция мжскества, наделенного одной алгебраической операцией. Больщннство изученных нами множеств являются конкретными проявлениями этого понятии, т.е. представляют собой группы. Действятельио; а) (Ж, +); (Ц, +); ((к, +); ((г„,+), где и = 1,2,3; (И "", +); любоелинейное пространство 1г — зто аддитивные абелевы группы; б) (Я'»,О, ); (ЩО,.) — мультипликативные абелевы группы; в) ((А б Кч "ч(ае( А ф.
О), ); ((А б (й«к«! бей А = Ц, ) — мультипликативные неабелевы группы; г) множество Я(Х) всех биектнвных отображений у: Х -+ Х— ь»ультипликативная неабелева группа. Из ахсиом группы и свойств алгебраической операции ЦО) вьпекают следующие факты. 1'. 8 любой группе суи»есв»врет, и притом единственный, нейтральный элемент. 133 Глава тТП. Элементы общей алгебры 2'. В любой группе для каждого элемента сутцествует, и притом единставенный, симметричный элемент.
Аксиомы группы можно несколько ослабить. Убедимся в этом. Пусть С вЂ” множество„наделенное алгебраической операцией. Элемент е„Е С такой, что ае = а для любого а й С, назовем правой единицей множества С, а элемент а„' е С такой, что аа ' = е„,— правым обратным к элементпу а. Теорема 37.1, Множество С с ассоциативной алгебраи'теской операцией является группой, если оно обладаетп правой единицей е и но отношению к ней каждый элемент а й С обладает правым обратным. Доказательство. Пусть а — произвольный элемент множества С и а,, ' — правый обратный к нему элемент, Тогда аа„т = е„= е„е„= = е„(аа,,') = (е„а)а,,т, т.е, аа„т = (е„а)а„".
Умножив обе части последнего равенства справа на правый обратный элемент к элементу а,, т, получим, что а = е„а. Таким образом, правая единица множества С оказывается и левой единицей, т.е. просто единицей е множества С. Покажем теперь, что правый обратный элемент к элементу а является и левым обратным, т.е. а„'а = е. Действительно, еа„' = а„'е = = а„т(аа,,т) = (а,,та)а,,т, те. еа,,т = (а„та)а„т. Умножив обе части последнего равенства справа на правый обратный элемент к элементу а„', получим е = а„'а.
° Следствие. З группе любая правая единица являетпся левой и той единственной единицей, котпорой зта группа обладаетп, а любой правый обратный элемент к элементу а группы являетпся левым и тем единственным обратным, котпорым обладает элемент а. Теорема 37.2. Множестпво С с ассоциативной алгебраической операцией является группой тогда и толъко тогда, когда эта операция обладаетп обратной. Доказательство. Необходимость. Пусть С вЂ” группа; покажем, что уравнения (37.1) (37.2) имеют единственное решение для любых а, Ь 6 С. Действительно, элемент х = а 'Ь является решением уравнения (37.1), так как ах = = а(а 'Ь) = (аа )Ь = еЬ = Ь.
Это решение единственно, поскольку если х' — любое другое решение (37.1), то ах' = ах и а т(ах') = = а '(ах). Следовательно, х' = х. Аналогично докэзываеттэт утверждение, квсающееск уравнения (37.2). Достаточность. Пусть теперь уравнения (37.1), (372) при любых а, Ь Е С имеют единственное решение. Покажем, что С вЂ” группа. Для этого покажем, что выполнены все условия теоремы 37.1.
Действительно, возьмем произвольный элемент а и С. Уравнение ах = а имеет единственное решение. Очевидно, оно играет роль правой единицы для элемента а. Обозначим его е'„. Для любого другого 238. Подгруппа 137 элемента Ь Е 0 существует элемент у Е С такой, что Ь = уа (т,е, у — решение (37.2)). Тогда Ь = уа = у(ае„) = (уа)Е = Ье'„. Следовательно, Ье„= Ь, 'ттЬ е С, и е'„= е„— правая единица множества С. Далее, уравнение ак = е имеет решение, которое, очевидно, является правым обратным к элементу а по отношению к е„.
Отсюда в силу теоремы 37.1 следует, что С вЂ” группа. ° 3 а м е ч а н и е. Попутно доказано еще одно свойство группы: в групис любая правая ~левая) единица длл одного э.асмента лвллетсл общей правой (соотпветпственно левой) единицей. Итак, групповая операция обладает обратной операцией. В аддитивной группе обратная операция называется вычитанием (' справа и слева), а элементы х = Ь+ ( — а) и у = (-а) + Ь вЂ” ровностью (правостороннсй и лсвосторонней соответственно).
В абелевой группе обе разности совпадают и обозначаются единым символом Ь вЂ” а. 5 ЗВ. Подгруппа Определение. Непустое подмножество Н группы С называется подгруппой группы О, если оно само является группой относительно алгебраической операции в С. Примеры, 1, Простейшими подгруппами любой группы являются ее единичный элемент и сама группе. Эти подгруппы называют травил,аьними. 2. Множество четных чисел — подгруппа адлнтивной группы целых чисел. 3.
Множество чисел, кратных р, где р Е (т(, р > 1, — подгруппа аддитнвной группы целых чисел. 4. Множество рациональных чисел, отличных от нуля, — подгруппа мультипликативной группы ненулевых действительных чисел. б. Множество квадратных матриц и-ю порядка, определители которых равны единице, — подгруппа мультипликатнвной группы не- вырожденных матриц и-го порядка, Теорема 38.1. Лодмножестпео Н группы С лвллетпсл подгруппой этой грунин тогда и тааьно тпогда, магда имеют местно следуютциг имилихации: 1) аЬЕН =ьаЬЕН; 2) аеН га теН. Доказательство.
Необходимость очевидна„она вытекает из того, что Н вЂ” группа, Достаточность. Из первого условия следует, что алгебраическая операция в С является алгебраической операцией и в Н. Что же касается аксиом, то необходимо проверить только аксиому единицы. Пусть а е Н; тогда, согласно условиям 1 и 2, а ' е Н и аа г = = е Е Н. ° Глава г'Ш. Элемелты общдй алгебры Группа невырожденных верхних (иижних) треугольных матриц.
Множество М всех невырожценных верхних треугольных матриц и-го порядка образует мультипликативную группу. В этом можно убедиться, показав, что М вЂ” подгруппа мультипликативной группы иевырождеиных матриц и го порядка, т.е. проверив все требования теоремы 38А. Б самом деле, а) если А,  — верхние треугольные матрицы, то й-й сщлбец матрицы АВ является линейной комбинацией первых й столбцов матрицы А, поэтому все его элементы, расположенные ниже й-й строки, равны нулю, и, следовательно„А — верхняя треугольная матрица; невырожденность АВ очевидна; б) если А — невырожденная верхняя треугольная матрица, то й-й столбец матрицы А 1 является решением системы уравнений с треугольной матрицей А, у которой все диагональные элементы от- личны от нуля; решая эту систему "снизу вверх", получим я =О, х 1=0,...,за+1=0, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
