В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 29
Текст из файла (страница 29)
А ' — верхняя треугольная матрица; невырожденность А ' очевидна. Группа ортогонвльных матриц. Множество М всех ортогональных матриц (~ е М""" образует муль гипликативнуго группу, так как а) произведение ортогональных матриц — ортогональная матрица: Мяа) яяэ = Язя1 9яа — г яг~о~Щяз) = ФязязЮ~ = р б) обратная к ортогональной матрице — ортогональная матрица: Ю '=я' 9'я')'=Ю'я=у М')'я'=(Ж'=у и согласно теореме 38А М вЂ” подгруппа мультнпликативной группы иевьцюжденных матриц.
Произведение подмножеств группы. Пусть С вЂ” группа, М и Ж вЂ” два ее подмножество. Проиоосоеиием МЖ этих аодмножесзно называется множество всевозможных произведений тп, где т 6 М, и е Ж. Итак, МФ = (тп)т е М, и е Ю). Очевидно, что имеет место свойство ассоциативности: (МФ)К = М(ФК), тэк как оба этих произведения состоят из элементов (тв)й = т(вй), где т ~ М, и и М, й с К. Если одно из подмножеств состоит только из одного элемента, например М = (т), то произведение МгГобозначается символом тФ, а произведение ЖМ вЂ” символом Ит, т,е. в этом контексте нет необходимости отличать элемент от состоящего из одного этого элемента множества. $38. Подгруппа Таблнца тН = Н'ш = (т+ ЗЬ) Ь б Ж) = = (пчо)вжт(пкх(2)).
Итак, аддн- тизиая группа целых чисйл резбвва ется па два сменшых класса па 1зод группе четных чисел: зто классы всех чегюех н всех нечетных чисел. Н = (хь)Ь б Е) шН = Нт = (и е л) и ж тв(шог(р)) (см. (7.1)), Итак, алдвтнвная группа целых чисел разбивается на р смежных классов яа пал«руопе Н чисел, кратных р: Са, Сь ..., С ь где Сев клесс вычетов по модулю р. Пусть р е и, р > 1. Н = (рй ~ Ь б й) (й, +> Положим Аа = Ь,Тогда аН = На = (а+ х(Ах = О) = (х б йв(А« = Ь).
Итак, емежиый класс адаптивной грусшы Зи по подгруппе репнжий однородной системы Ах = О, перемененный элементом а, представляет ойой множество всех решений неоднородной системм Ах = Ь, частным решением кото й является а. Пусть А б йюх Н = (х б йа( Ах = О) Пусть ха б Ъ'. Тогда хаН = Нхв = (ха+ «)х б Ц вЂ” линейное мнооюбре зне ха + Н. Пусть Е. — лннейнае подпространст:- воь', Н=ь (К+>* где Ъ'— линейное прост- Т е о р е м а 38.2. Смежный класс перождавгпел любым свопм элелгею73вхе До к аз а те л ь от в о.
Надо показать, что если у б оН, то аН = уН. Пусть у = ойг, гзг б Н. Тогда дпн любого элемента )г е Н имеем 3 а м е ч в и и е, Термин "щюиззедение", используемый здесь, весьма условен, он соотватствуат терминологии мультнплиюшнвной группы, пришпой в теории групп. В адан«изной группе, очавидно, МФ состоат нз сумм ш+ и элементов подмножеств М н Ф н обозначается в зависимоств аг контекега снмэолом М+Ф. Смежные классы- Пусть Н вЂ” подгруппа группы С, о — элемент группы С. Множество аН называется левым смежным классом группы С по подгруппе Н, порожденным элеменизам и, а множество Нв — правым смежным классом.
Из определения вытекают следующие простейшие свойства смежных классов. 1'. а б аН, а Е Но, так как подгруппа Н содержит единицу. 2'. Смежный класс еоспьзпт пз элемемпзов еруппы, прочем любой злемемгл еруппы екодппг в какой-нибудь смежный класс (в силу свойства 1'). 3=, Подгруппа Н леллепгсл едким из смежнмк классов (как левых„ так и правых), поскольку Н = еН = Не. 4а. Н вбелевой зруппе нН = На, 'ео б С. Примеры смежных классов содержит следующая таблица. Глава УНХ. Элементы общей' алгебры 14О ай = (айг)~й~ гй) = дйю где Ьз = Ьг гй е Н в силу теоремы 38,1. Значит аН с дН.
В то же время уй = а(йг Ь) = айз, где Ьз — — йгй е Н. Следовательно, уН С аН, и с учетом вложения в другую сторону получаем требуемое равенство. Доказательство проведено для левого смежного класса, но очевидно, что оно мажет быть использовано и для правого. ° Т е ор е м а 38.3. Любие два левик ~правит) смежник класса либо совладают, либо не лересекаютаса. Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из теоремы 38.2, так как если два смежных класса аН и ЬН имеют общий элемент у, то аН = ЬН = уН. ° Итак, вся группа разбивается на непересекающиеся левые 1правые) смежные классы по подгруппе Н.
Это разбиение называется левослгоронним ~соотвелгсвгвснно лровосторопним) роллоотсснисм грулли С ло подгруппе Н. 839, Конечная группа Основные свойства. Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конечной еруллой. Число элементов конечной группы называется ее порядком и обозначается символом свгд С. Весконечную группу называют группой бесконечного порядка. Очевидно, что алгебраическая операция в группе конечного порядка может быть представлена "таблицей умножения" ее элементов. Этим мы воспользуемся в следующих примерах.
1. Группа из одного элемента состоит только из единицы: С = (е), при этом алгебраическая операция определяется таблицей 2. Группа из двух элементов С = (е,а) определяется таблицей Здесь аа ф а, так как иначе элемент а будет единицей для а, т.е.
Я37, замечание) общей и единственной единицей е. Поэтому аа = с. 3. Группа из т р е х элементов С = (е, а, Ь) определяется таблицей $ 39. Конечная группа Здесь, рассуждая так же, кэк в примере 2, получаем, что аб ф а, аб ф б, ба ф а, ба ~ б. Следовательно, аб = е = ба. Аналогично аа ф о, аа ф е (так как единственным обратным элементу о, как выяснено выше, является элемент 6). Следовательно, аа = б. Аналогично 66 = а. Заметим, что все три рассмотренные группы абелевы. Теорема 39.1 (теорема Лагранжа). Во есакоб какечкоб группе коранов ее подгруппы леллетсл делителем порядка самой груням.
Доказательство. Пусть сагоС = и, сагбН = Ь. Рассмотрим левостороннее разложение группы С по подгруппе Н. Ояо состоит из всех левых смежных классов аН, где а Е С. Каждый класс аН состоит из всех элементов аЬ, где Ь к Н. Все элементы аЬ различны (так как если аЬ1 = абг, то а ~аЬ1 = а аЬг и, значит, Ь1 = Ьз), поэтому каждый класс аН состоит ровно из Й элементов. Общее число смежных классов аН равна т < и.
Таким образом, количество всех элементов группы С равно пй, т.е. п = пй. ° Симметрическая группа и-го порядка. Множество Я„($8) всех подстановок (перестановок) и-го порядка образует мультипликативиую группу как множество всех биективных отображений множества на себя. Эта группа пгзывветсл симмегприческаб гррппоб и-го порядка, ее порядок равен Ы, Зиакоперемепиая группа и-го порядка. Множество А„всех четных подстановок и-го порядка образует мультипликативиую группу.
Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что А„— подгруппа симметрической группы Я„. Для этого проверим все условия теоремы 38,1. 1. Пусть ~Ак, У= бА т.е. (оп ог,..., а„) и фпдг,..., ф„) — четные перестановки из первых и натуральных чисел. Покажем, что Г у и А„. Для этого запишем у в виде Тогда 1де (тп |г, °, т„) — четная перестановка из первых и натуральных чи- сел, так как имеет одинаковую четиость с перестановкой ф~„бг,..., Д,), Глава ИП. Элементы общей аэгебры 2. Очевидно, что если еА„, то ~ '= ~А.
Группа А„нвзывэется энахонсрсменной группой ц-го нарядна, ее поукдок Равен нэ', н > 2. Циклическая группа. Интересным примером подгрупп служат так называемые циклические подгруппы. Пусть а — элемент группы О, и й Е. Определим и-ю е э та а следующим образом: 1, ( -1)тэ =а, то= — и, н сО. Так как при тн > 0 имеем (а т) а' = 1, то из (39.1) следует, что а = (а т) = (а ) В адаптивной группе вместо степеней элемента а говорят о кратных элемента а н обозначают символом по. Нетрудно проверить, что для любых от, н й Е аэатэ аэ+эт (39.3) (39 А) (а")'" = а'"" «тэхттветстттенно на+ ота = «и+ тн)а, н«нта) = (нот)а для аддитивной группы).
Теорема 39.2. Мноэтсесотео (а) всех целик стпгненей элементла а группы С оброгуетн абелгеу группу. До к а э а т е л ь с т во. Достаточно показать, что (а) — вбелева подгруппа группы С. Но это следует нз теоремы 38.1 с учетом (39.2) и (39.3). ° Группа (а) называется циклической группой, нороэтсденной элемгюлом а, при этом элемент а называется оброэуютцим элеменотом группы (а).
Очевидна, группа (а) является подгруппой любой другой подгруппы группы С, содержащей элемент а. Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел — витков, число кратно числу 1, т.е. это число является образующим элементом рассматриваемой группы. Мультипликативная группа С, состоящая из двух чисел 1 и — 1, является циклической группой, порожденной элементом — 1. Теорема 39.3. Любая подгруппа циклической груням (а) леллгнтстт циклической. з 39.
Конечная группа До к аз ат ел ь ство. Пусть Н вЂ” подгруппа циклической группы 1а1, т.е. Н состоит из некоторых целых степеней элемента а: Н = = 1аь',аь',...1. Пусть, далее, т — наименьшее целое положительное число среди йм йг,.... Очевидна, Н содержит все элементы вида а~™, где й е У. Докажем, что в .И не может быть других целых степеней элемента а. Пусть а" б Н. Разделим и на т: где т, г б У,, 0 < г < т.
Тогда а' = а"а ~~. Так как а" б Н, а ~ б Н, то а' и Н, это противоречит тому, что т — минимальная положительная степень а, содержащаяся в Н. ° Порядок элемента. Степени элемента а с различными показа телами не всегда различны, так в адаптивной группе целых чисел разные кратные нуля совпадают: й0 = 10, й ф 1 а мультипликативной группе ненулевых вещественных чисел: 1" = 1, й ф й Еспн все степени элемента а различны, то а называется элементом бесконечного порядка, в противном случае — элементом конечного иоТе о рема 39.4. Если а — элемент конечного порядка, пю суигестоует натуральное число и такое, что а = 1 ~е аддитионой группе: па = 0~. Доказательство. Пусть а — элемент конечного порадел, те. существуют целые числа й,1 такие, что аь =аг, й > й Тогда аь ' = 1 и а" = 1, где и = й — 1 б И. ° Наименьшее и б М, для которого а" = 1, называется порядком злелгента а.
Теорем а 39.3. Порядок элемента а группм совпадает с порядком циклической подгруппы 1а). Доказательство. Утверждение вытекает из того, что есля порндок элемента а равен и, то степени ао,а,...,а" различны, а всякая крутя степень совпадает с одним из этих элементов. в Следствие 1. В конечной группе порядок любого элемента лолается делителем порядка группм.
Сл е де топе й. Все конечные группм проопого порядка леллютсл циклическими. Сл е. д с т о и е Я. В конечной группе С порядка п аь 1 УабС Т е о р е м а 39.6. Элемент а" валяется образующим элементом цтслической группм 1ау и-го порлдка тогда и только тогда, когда й и и взаимно просты.
Доказательство. Пусть И = НОД(й,п) и и = дп', й = дй', н' < и, й' < й. Тогда элемент аг будет образующим элементом циклической группы 1ау и-го порядка тогда и только тогда, когда порядок Глава ИП. Элементы общей алгебры 144 элемента а" совпадает с и. Так как то порядок элемента а" будет совпадать с и тогда и только тогда, когда и' = п, т.е. тогда и только тогда, когда д = 1. ° $ 40. Нормальный делитель Определения и свойства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
