В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(с,й) = (ас — Ы, ай+ Ьс); 4) пара (а, О) отождествляется с действительным числом и, Обозначения: э = (а„Ь), С вЂ” множество всех комплексных чисел. Замечание 1. В первых трех аксиомах речь идет об определении разных понятий, поэтому их сопоставление не может привести к каким-либо противоречиям. В несколько другом положении находится аксиома 4. Дело в том, что понятия равенства, суммы и произведения для вещественных чисел уже имеют определенный смысл и они не должны иротиеоречитпь правилам 1 — 3. Но, как нетрудно проверить, правила 1 — 3 для вещественных чисел, как пар специального вида, совпадают с обычнымв правилами равенства, сложения и умножения вещественных чисел (проверьте!).
Те о рема 44.1. Множество с есся комплексных чисел леллсшсл иоле и. Доказательство. Действительно, сложение и умножеииеявляются алгебраическими операциями на множестве С, при этом не. посредственной проверкой легко установить, что онн подчиняются Ь'44. Поле комплексных чисел 157 всем аксиомам поля. Отметим лишь, что О = (О, О); 1 = (1, О); -г = 1 а Ь = (-а, — Ь); г ' = ( г, — г ), если г = (а, Ь) ~ О. и Следе птв ие 1. Длл любой пары комплеясних чисел гт = (а, Ь)„ гг = (с, д) еущеспюретп, и притпом единетпвеннал, рагностпь г1 — гг = =(а-*с,Ь-И).
Следстл в ие 2.длл любой пары комплексньтхчиеелг1 = (а,ь), гг = (с, И) ф 0 еущеетпвуетп, и притпом единстпвенное, часптное г1 (тас+ ЬИ Ье — ад'1 ,гг (,сг+Ю 'сг+т(г/ ' Алгебраическая Форма комплексного числа. Введем обозначение: 1 = (О, 1) . Из аксиом 1 — 4 непосредственно вытекают следующие свойства комплексных чисел. 1 .
1г = -1,так как йг = (О, 1)(0, 1) = (-1, О) = -1. 2'. Любое комплексное число г = (а, Ь) может быть записано в аиде (44.1) так как г = (а, Ь) = (а, 0) + (О, Ь) = (а,О) + (Ь, 0)(О, 1) . Форма (44.1) записи комплексного числа г = (а,Ь) называется алгебраической формой числа г, при атом число а называется дейетеитпельной частью комплексного числа г = а+ Ьт и обозначается символом Вег, а Ь вЂ” мнимой чаетаью и обозначается 1птг. Для вещественных чисел мнимая часть равна нулю.
Комплексные числа„у которых действительная часть равна нулю, называютск чиетпо мнимыми. Очевидно, два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда по отдельности равны их действительные и мнимые части. Комплексное число У = а — Ьт называется сопрлэтееннмм к числу г = а+61', Теорема 44,2. Оперения еопрлетсенил комплексного числа обладаетл следующими свойстпвамит 1)У=г; гт'г=у с=о ге%; ат 2+ г = 2а, Чг = а+ Ьт'; 4) уг = аг + 6г, Чг = а+ 61; б) г1 ~ге — — г1 ~ ге, гтгг =212г, (г1/гг) =У~/гг,гг ф О. Все свойства проверяютея непосредственно исходя нз определения. ° Замечание 2. Для комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, операции сложения, вычитания, умножения и делении производятся по обычным правилам выполнения этих операций над двучленами а+ 61 с учетом того, что йг = — 1, и последующим приведением подобных членов (т,е.
отдельно группируются вещественные числа и чисто мнимые). Особенно зто удобно для умножения чисел: Глава 1Х Комплексные числа 158 если э~ = а + Ьи, эт = с + п1, то э~лэ = (а + Ы)(с + аЬ) = ос + ааэ + +Ьса — Ы = (ас-Ы)+ (аа+Ьс)г. Для деления чисел удобно числитель и знаменатель дроби гг/эт предварительно умножить на У~.. гг (а+ М)(с — Иь), э э, ос+ Ы Ьс — ап + — 1. лэ ээээ с' + ап с' + сР Комплексная плоскость.
Пусть на плоскости выбрана прямоугольная декартова система координат. Поставим в соответствие каждому комплексному числу г = а+ Ы точку М (рис. 1) этой плоскости с координатами (а, Ь). Очевидно, что это соответствие взаимно однозначно. Вещественные числа изображаются точками осн абсцисс; на оси ординат располагаются изображения чисто мнимых чисел. Началу координат соответствувг число ноль; сопряженные комплексные числа изображаются точками, симметричными относительно осн абсцисс (рис.Ц. Рис.
2 Рис. 1 Плоскость, точками которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ее ось абсцисс — еещеспюеяяой осью, ось ординат — внимай осью (в соответствии с наименованием чисел, изображения которых лежат на этих осях). Простое геометрическое истолкование получают на комплексной плоскости операции сложения и вычитания яомплексных чисел.
Так как каждая точка М(а, Ь) плоскости связана с ее радиус-вектором г = (а„Ь», го комплексное число з = а+ М можно изображать на комплексной плоскости радиус-вектором точки М(а, Ь) . При сложении (вычитании) комплексных чисел г~ = а + (и и аэ = с + еЬ складываются (вычитаются) координаты радиус-векторов гг(а, Ь) и гэ(с, и) точек, изображающих зтн числа. Поэтому сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) радиус-векторов (рис. 2) н может быть выполнено по правилу параллелограмма ($11). Геометрический смысл умножения и деления комплексных чисел станет ясным из другой формы комплексного числа.
345. Тригонометрическая форма комплексного числа 159 Сопризкеиная матрица. Пусть А = (ае) е С "" — матрица размера пз х п над полем комплексных чисел. Матрица Ан = (аь ) размера п х пб называется сомрдзюеммор2 к матрице А, если а,, = ауб, 4 = 1, и, у = 1,гп. Очевидно, что Ан = (А)т = (Ат), где А = (ае). Из определения н теоремы 44.2 вытекают следующие свойства сопряженной матрицы: Ц (А+В)" = 1" +В"; 2) (оА)П жал,'та б С; 3) (АВ)н ВпАи. 4) (Ан)н = А; 5) б(е1Ан = д, ЬА; 6) гйАп = гй А, выполненные для всех матриц, для которых определены левые части равенств.
Заме новое 3. Ранее был изложен способ нестроения поли С комплексных чисел иак расшнренни поля Й действятельиых чисел. Помммо етого способа суще- ствуют и многие другие, Один из иих нсп«дьзуег сложеяне и умножение матриц. Опишем его. о Н к множество матра«гнида [ ь о1 над полем действительных чисел обра- зует поле относительно операций «неженки и умнов«ения матрац, Обозначим его символом С'. Итак, С' ю Ц Ь ~) ) а, Ь б И~. ~=((с 1) "и) 2. Множеств 5 45.
Тригонометрическая форма комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа д = а + Ьб' связана с декартовыми координатами точки )Ьб (а, Ь), изображающей зто число на комплексной плоскости. Однако положение точки на плоскости однозначно определяется н ее полярнымн координатами (325): расстоянием г от этой точки до начала координат н углом ор между положн- б аеебнар аа абра и еелвм ариав нокеры образует подполе поли С1 3. Пале С комплексных чисел изоморфно полю С', изоморфязм строится ввк отображение вч С -р С', которое любому комплексному числу х = а+ Ы ставит в Го Ь1 охргветствие матрицу 'Р(х) = (-Ь о) ' Отображение Ер переводиб все вещеснюнные числа а б И в скалярные матрицы ер(а) = (С, ), все мнимые чи«ла и, Ь б И, — в матрицы ер(ЬЬ) = ( Ь О1, в го о1 частности р(2) = ~~ Таким образом, поле коюглексных чисел можно рассматривать и как поле дейв ы ствительных матриц вида ~ Ь 1, в котором роль действительных чясел играют матРигпи веДа (В ~, Роль мнимой единюгы — матвюба (б Г О О Глава 1Х Комплексные чнсла 1 тельным направлением оси абсцисс и радкус-вектором точки М(а, Ь) (рис.
1). В соответствии с зтим вводятся следующие характеристики комплексного числа. Рис. 1 Рис. 2 Меди«ем комплексного числа « = а+ Ы называется число г = = ч'а«+ бз. Обозначение: ф. Из определения вытекают слелук щие свойства. 1'. ф — действительное неотрицательное число, причем («) = О е=ь « =О. 2~. ~«~ совпадает с полярным радиусом точки М, изображающей зто число на комплексной плоскости (рнс.
1). 2. ф= /В. 4'. Модуль вещественного числа совпадает с абсолютной величиной этого числа. Ар«умен«лом комплексного числа «ф О незывеатсн угол у между положительным направлением осн абсцисс к радиус-вектором точки М (рис. 1), отсчитываемый от оси абсписс в любом направлении, при етом положительным считается направление против часовой стрелки. Обоз печенке: ехй«, Из определения вытекают следующие свойства. 1'.
агк «ие определен для « = О, а для «ф О определен с точностью до слагаемого, кратного 2п, так кек при одном и том же г углы, отличающиеся на слагаемое 2кл, где л б Е, определяют одну и ту же точку комплексной плоскости, т.е. одно и то же комплексное число. 2'. агб«отличается от полярного угла точки М тем, что агк« имеет бесконечно много значений. 3'. Два камллексных числа «~ и ««равны тогда и только тогда, когда и. с ~ «~ ~ О, ахй«~ = ехл««+ 2тк,й е Е. (4б.1) Теорема 4$.1. Любое комплексное число « ~ О молсе«л бмгаь запасено е анде « = г(со«акр+1«1пу), (45.2) «д« =!4 е = б« у 45, Тригонометрическая форма комплексного числа 161 Доказательство. Пусть г = а + Ы.
Тогда из оютношений (25.1), связывающих прямоугольные координаты с полярными, следует, что а = гсов у, Ь = гешер и г = г(сов<р+ гешу) . ° Форма (45,2) записи комплексного числа называется тригенолгстричсской 4армой этого числа. Теорема 4,$.2. Длл любых комплексныт чисел г1 и гг имеют месте кераеекснюа (45.3) Ь! — !гав < М+ г! <! г!+! г1. Доказательство.
Неравенства (45.3) вытекают из правила параллелограмма сложения и вычитаияя комплексных чисел Я44) и неравенств треугольника (рис. 2: ЬОМгМз, ЛОМгМг). Это обоснование относится к случаю, когда точки О, М1, Мг не лежат на одной прямой (очевидио, прн этом неравенства (45.3) будут строгими). Если же точки О, М1, Мг лежат на одной прямой, то несложный перебор вариантов распологкения этих точек приводит к неравенствам (45.3), которые в некоторых нз этих вариантов могут обратиться в равенства. ° Неравенства (45.3) называют неравенствами треугольника на комплексной плоскости.
Отметим, что теорема 45.2 относится только к модулям; для самих комплексных чисел неравенство не определено. Теорема 4$.3. При умножении хомплекснык чисел их модули умножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел ик модули делится, а аргументы еычитаююпслг 1г1гг! = ~гг!1гг1, агйгггг = вгйг1+ агИгг, '(454) ! г1 ~ !гг! — — агй — = агйгг — егй гг, гг ~ О . (45,5) гг ~ ~гг~ гг Доказательство.
Пусть гь = гь(совал+геша), где й = 1,2. Тогда гггг = гггг((совуч сову~ — вш~р1 вш~рг) + 1(вш~рг совет + + соя р1 вшФг)) = гггг(совЬгг + 92г) +1вш(у~ + ггг)). Отсюда следует г1(совггг+4вшр1) совггг — геша (45.4, Если гг ~ О, то гг гг(согрг+1вш~рг) совет — ггшггг г1 = — (сов(у1 — ~рг)+1вш(~р1 — уг)). Отсюда следует (45.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
