В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Среди чисел ст, сг,..., с„могут быть одинататвые. Будем считать, что ст,сг,...,с различны, а каждое из с +т,...,с равно одному нз ст, сг,..., с . Объединив одинаковые сомнолагхелн в этом разложение, получим у(г) = (г — т)ьт( — сг)ьт (г — ) где с; ~ с, при т Фу по построению, а йт+йэ+" +й, =и, так как йт + йг + ".
+ й — это число всех сомножителей в (50.1). Бдинственносгь разложения следует из теоремы 50.1. ° Р ~ от.4) члено иод полем комплексных чисел. Заметим, что числа ст, т = 1, пт, в каноническом разлвкении (50.4) являются корнями многочлена у(г) (так как у(ст) = О, 4 = Гтл) и других корней этот многочлен не имеет (так как у(о) Ф 0 для аобого Глана Х. Многочлелы нзд произвольным полем — (сз + сз + ° . + с„), +(сзсз+с1сз+ ° ° +с1сн+сзсз+ +св !с„), ап-з/ап ап-з/ап (1) 2, ос;,,..с;„, ап-з/ап и<к«- гг ( — 1) "огсз...
с,„. ао/а„ (50.5) До к аз ат е л ь с т во. Достаточно рассмотреть случай, когда а„= 1, так как многочлены /(з) и (1/а„)/(») имеют одинаковые корни. Применим индукцию по и. Ддя и = 2 формулы (50.5) являются известными нз элементарной алгебры формулами Виста, Пусть для многочленов (и — 1)-й степенв формулы (50.5) имеют место„доке жем их для многочлена /(») = ае+аг»+ +а г»п ~+»". Согласно (50.1) У(») И» — сгН» — сз) ° ° ° (» сп-г)) (» сп) д(»И» сп)1 числа а ~ с;, г = 1, т).
Число Ь; в каноническом разложении многочлвна называется кратностью корня с;. Ясли Ь; = 1, то корень с; называется простым, если Ьг > 1 — крагпным. Следствие 1, Любой многочлсн /(») Е С(») степени п > 1 имеет ровно и корней, если калсдый корень считать ствольно раз, какова его краткосгпь. Замечание 1. Это утверждение применимо и к многочлену нулевой степени, оно неприменимо лишь к нулевому многочлеиу, для которого любое число» е ь' .является корнем.
Вернемся к вопросу о равносильности двух определений равенства многочленов, о котором шла речь в начале З49. Т ее р е м а 50,3, Если деа мкогочлена /(г), д(») б С(»], степени которых ке превосходят и > 1, имеют равные значения при белее чем и различных значениях переменной, то они равны. Доказательство. Действительно, многочлен Ь(») = /(»)— -д(») е С[»1 имеет болев п различных корней. Но бек Ь < и, поэтому Ь(») = О.
° Следствие 2. г((еа мкогочлека /(»),д(») й з.(») раекы тогда и тполько тогда, когда совпадают их значения при всех значениях переменкой». Следствие 3. Многочлек У(») Е ь.(») степени и > 1 однозначно определяется своими значениями е и+ 1 различных то асах. Нетрудно показать, что если инопгчлен /(г) в точивх аи аз, ..., а„ть где а; гг а при г -,Е у, принимает знвчении /(аг ), /(аз),..., /(а„+г), то иАг,, (г — аг)... (г — аг г (г — агег)...
(г — а„тг) г=г (аг — аг)... (аг — щ г)(аг -аг+г),(аг — а„тг)' Этот иногочлгн нгзывгетси пнпкрполиппонным много<геном Лагранжа, Теорема 50А (формулы Внета), Если сыс»..... с„— коря ого сна/(») = ~;ь еаь»ь, Глава Х. Мнот очлены явд нронзвольным полем Теорема 51.1.
Ясли с — комигекснмй (и не дейстпвыптельнмй) корень многочлена,Цх) и К[к[, тпо и с является корнем этого многочлена. ,1)оказательство. Если с является корнем многочлева у(х) = = 2 ь е аьх~, то ае + атс+ ° ° + а„с" = О. Взяв сопряжение от обеих частей этого равенства, получим с учетом теоремы 44,2 н соотнотлення аь = аь, тт = О, и, что ае + атс+ " . + а„с" = О. ° Положим у(х) = (х — с)(х — 5) = хг — (с+ с)х + [с[э, Очевидно„ р(х) е К[к[, Теорема 51.2. Если с — комплексный (и не действительный) корень многочлена 1(х) и К[к[, то в кольце Ж[х] многочген 1(х) , дагыотся на у(х), ДОКаэатЕЛЬСтаа.
РавдЕЛИМ МНОГОЧЛЕН 1(Х) На Чт(Х) В КОЛЬЦЕ К[к[ согласно (48. 1), тогда у (х) = ~р(х)о(х) + г(х), где о(х), г(х) е К[я[. Это же разложение можно рассматривать как результат деления 1(х) на у(х) в кольце С[х[. Но в кольце С[к[ многочлен т (х) делится нацело на чт(х), так как с и с являются корнями у(х). Отсюда и нз единственности результата деления (теорема 48.1) следует, что т(х) = ю(х)д(х), где о(х) 6 К[к[. ° Т воре м и 51.3. Кратаностпы корней с и с многочлена с еещестлвенннми коэффициентами совоадают. Доказательство. Пусть с и с — корни многочлена у(х) е Ж[х[ кратностей тл и к соответственно, Покажем, что к < та.
Пусп* тт > пт. 'ХЬгда, согласно теореме 51.2, т(х) = (чт(х)) о(х), где у(х) и Ж[х[. Но о(с) = О, а о(5) ф О, что невозможно в силу теоремы 51.1. Значит, А < та. Аналогично можно показать, что от < к. Следовательно, 5 =та, ° Сл е д с щ в и е. Многочлен с вещесоюеннмми коэффициенщами нечетаной сомяени имеето хотя бм одын вещесоюеннмй корень. Т е о р е м а 51.4 (о каноническом разложении многочлена над полем Ж).
Для любого многочлена У(х) = 2,"ь аьх" е К[к[ стоеяени и > 1 существуют числа сы...,с„ь К, где с; ф с ыры т Ф,); числа рт,ом..., р„о, б К, где (и,, рл) т1 (рт, д ) ыри 1 ~ р'; числа йы. ° эйг е 5( и ~1~ ° ° ° тт и К~ где Кт=т кт+ 2 ~~~~=т тт = и ~ оюкиег чело Доказательство.
Исяользуем каноническое разложение (50.4) многочлена Дх), рассматривея 1(х) как многочлен с комплекснымн коэффициентами: ,т(х) = а„(х — ст)"' ... (х — с„,)ь'", (51.2) где с; ф с; при т ф,т' и йт +... + й = н. Числа сы..., с являются комплексными корнями 7(х), Среди этих корней могут быть и действительные. Пусть ст,..., с„- действительные корни, а с,+м..., с„,— 4Я. Многочлеяы над полем вещественна»х чисел комплексные (не действительные). ТЬгда среди с„+ы..., с вместе с каждым корнем ст находится и сопряженный ему корень с» = б;, пр»»- чем той же кратности, так что Й» = Й = 1; н, следовательно, 2(» — — й;+ + йз. Объединим в (51.2) пару сомножителей: (я — с,.)»(я — с») ' = ((я — е»)(я — с;)) ' = (ад+ рук+»В)»', где р- = — (с; + 6 ) е К, е» вЂ” — сус» 6 Й.
Тогда (* — с +»)... ( — с ) = (яз + р я+ д»)"... (*з + р»я + й»)»" н разложение (21.2) перейдет в (51 1), причем Ус» + " + й, + 2(»» + + ". + (,) = й» + " + й, + й,+» + ". + й = и. ° Разложение (б1.1) называется еаноночесвиз» рааасз»сениам мноеечлена над лолам ееп»есян»снимя чисел. 3 аз» е ч а я не. Теорема 20,3 н ее следствия справедливы н дли миогочленов с вещественнь»ми к»ж4фициентамн.
В этом можно убедит» ся, если рассматривать нх иак многочлены с комплексными коэ4кр»ь цнентами. Формулы Виста справедливы лишь для тех многочленов из м[х[, которые име»от полный набор действительных корней. Глава Х1. Алгебраические линии второго порядка на плоскости $ 52, Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек М плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксироваииых точек Р1 и Рэ плоскости есть постояииое число, большее, чем расстояиие между Г1 и Кз. Это число обозиачим через 2а. Точки Км Рз называются фокусами эллипса, расстояние между ними иезывается фокусным расстоянием и обозиачаегся через 2с.
Числа г1 = р(М, Гг) и гз = р(М, Рт) называются фекальными радиусами точки М, Из определения эллипса следует, что точка М плоскосги являетси точкой эллипса тогда и только тогда, когда г1+гз =2а, а> с. Каиоиическое уравнение. Запишем условие (52.1) в координатиой форме, Для этого введем иа плоскости прямоугольиую декартову систему координат Охр, приняв за иачало О середину х'И отрезка г)Рз, за ось Ох — пря- мую Е~Рз, ориеитироваииую от х г"1 к Рз; ориеитацию иа оси Ор О „, выбираем произвольно (рис.
1). Эта система ксюрдииат иазывается канонической системой карис. 1 ординат (для данного эллипса). Фокусы Р'1 и Гз в канонической системе коордииат имеют координаты ( — с,0) и (с,О) соответственно. Т е о р е и а 52,1. Уравнение ээллипса в каноническоа системе координат имеет вид — +у=1, а>5з О. (52.2) Доказательство. Пусть М(х,р) — точка эллипса (52.1). Тогда, условие (52.1) может быль записаио через коордииаты точек Гг, Гз, М в виде э 52. Эллипс После переноса одного слагаемого в правую часть и возведения в ква.- драт получим .';2;. +р =4 — 4дГ-э~ти -* — 2 -.'- -у или, после очевидных преобразований, Еще раз возведем в квадрат: аэхз — 2аэхс+аэс~+азуэ = а~ — 2аэсх+ + сэхт или хэ(аэ — сэ) + аэрэ = аз(аэ — сэ), где аэ — ст > О.
Разделив обе части уравнения на а~(аэ — ' сз), придем к уравнению х д или — + — = 1 Ьэ г,г — + ' =1, аэ ат — сэ хэ т у~=Ь 1 — — ) и ~х~< (52.3) Найдем фоквльные радиусы точки М. Имеем л - дгтз'~-у- хэ се — +2сх+аз = Вэ ~ — +а) = ~ — +а~=а+ —, так как — < — = с < а в силу (52.3), Итак, (сх( са а а (52.4) диалогично доказывается, что (52.5) Из (52.4) и (52.5) следует, что г~ + гэ = 2а. ° где Ьэ = аэ — сэ, а > Ь > О. Таким образом, любая точка М(х, р) эллипса удовлетворяет уравнению (52.2). Обратное утверждение, вообще говоря, не очевидно, так как при переходе от (52.1) к (52.2) мы два; жды возводили в квалрат обе части уравнений и поэтому ка линии, определяемой уравнением (52.2), могут быть и "лишние" точки. Покажем, что уравнению (52.2) отвечают только точки эллипса (52.1).
Пусть точка, М(х, у) удовлетворяет уравнению (52.2), тогда 182 Глава ХЕ Алгебраические ливня второго порядка нв плоскости Уравнение (62.2) называется памомичесиплв рраенеппелв эллипса. В случае, когда а = 6 (т,е. фокусы совпадают), эллипс преврапыеппг в окружгость радиуса а с центром в точке О = Р~ = Гз. Из канонического уравнения вьпекают следукяцие свойства эллипса. 1'. Координатные осн канонической системы координат (рис. 2) являются осями симметрии ылипса, тзк как вместе с точкой М(х, у) эллипса точки М1(-х,р) и Мв(х,— и) также принадлежат эллипсу. Начэло координат каноннчгюггой системы координат является центром симметрии эллипса, так как точки М(х,р) и Мз(-х,-у) одяовременно принадлежат эллипсу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
