В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 39
Текст из файла (страница 39)
° Уравнение (54.Ц называется каноническим уравнением параболы. Следующие свойства параболы (рис. 1) непосредственно вытекают из канонического уравнения. 1'. Ось Ох канонической системы координат является осью сиьь метрии параболы. Она называется осью параболы. Начало координат лежит иа параболе к называе~я еершииоб параболм. 2'. Все точка параболы расположены в правой полуплоскосги от оси Оу, так как х > О. 3'.
Исследуем форму параболы; В силу симметрии достаточно рассмотреть 1 четверть. Здесь уравнение параболы имеет вид у = ~/2рхх, х > О. Легко проверить, что: а) у(х) непрерывна и возрастает иа (О,+со), причем у(0) = 0 и йп у(х)=+со; б) у'(0) = оо, так что касательная к параболе в точке х = 0 параллельна оси Оу; в) у" (0) < О, следовательно, парабола выпукла вверх (рис. 1). Замечание.
Определение параболы, по существу, означает ее дкректоркзльное свойство =Е (54.2) р(М, б) где Р— фокус, а' — директриса, е — эксцентриситет, которое, квк мы видели в 552, 53, имеет место для эллипсов к гипербол. Отличие 3 55. Касательные к эллипсу гиперболе и параболе 139 состоит ливть в том, что для эллипсов О < с < 1, для парабол е = 1, для гипербол с > 1.
Итак, если на плоскости даны прямая д и не принадлежащая ей точка Р, то геометрическое место точек М плоскости, удовлетворяющих условию (54.2), является либо эллипсом (если О < с < 1), либо параболой (если с = 1), либо гиперболой (если с > Ц. Эти линни обладают целым рядом других свойств, имеющих "родспюнные*' формулировки. 3 5б, Касательные к зллипсУт гипеРболе и параболе Будем считать, что эллипс, гипербола и парабола заданы своими каноническими уравнениями (52.2), (53.2), (54.1). Найдем уравнения касательных к эгям линиям. Т ео р е м а 55.1. В канонической системе координат уравнения кскаптаэьиътх к эллипсу, гиперболе и параболе в кточке (хэ,уе) ликии имеют вид хха ууе — + — =1 аз бз (55.1) ххо ууо — — — =1 оз Уз (55.2) ууе = р(х + хс) (55.3) сооотоеотсктвеиио.
Доказательство. Все три уравнения выводятся по отптой сзвме. Приведем ее для эллипса. Воспользуемся известным из курса математического анэлиза (11) уравнением касательной в неособой точке (хе, уе) линии, заданной неявно уравнением Р(х, у) = О. Это уравнение имеет вид Р,'(хо,ус)(х — хо) + Р„'(хе уе)(у — Уо) = О (554) где Р,'(хо, ус) Р(хе, Уо) — частные пРоизводные фУнкции Р(х, У) в точке (х, Уо).
Для эллипса (52.2) уравнение касательной в точке (хо Уе) этого эллипса имеет согласно (55.4) вяд хо Уе — (х — хо)+ — (у уа) = О аз бт или, с учетом того, что — з + — = 1 вяд (55.1) ° хо уо 'гго ИО Глава И. Алгебраические линии вторсго порядка нв плоскости $ 56. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы Здесь речь идет о биссекториэльных свойствах касательных к Теорема 56Л, Касоэгсльивл к зглиису в щюигвогьивй ггс эючкв Мо всего биссевэгрисе вигигиггв угла Мо эгреугольиика РгРгМо, гй Р1 > Рг — фокусы эллипса. Доказательство. Рассмотрим касательную (55.1) к эллипсу (52.2) в точке Мо(хо,уо) (рис.
1). Рнс. 1 — ого гхо гхо + а — — 1= — — 1=— <о, аг а а ого гхо гхо — а — — 1 = — — 1= — <О. аг а а Обозначнм через Р1 и Рг основания перпендикуляров, опупгенных нз фокусов эллипсе на касательную. гтверждение теоремы будет доказано, вели мы покажем, что с'.РгМоРг — — ~РгМоЯ илн, что то же самое, ~РгМеРг = с'.РгМсРг (рнс. 1). Пуси Ьы Ьг — расстояния от фокусов до эвшгчльной. Тогда Ь| -(схо/аг) — 1 а + гхо гг Ьг (схо газ) — 1 а — гио гг ' слзлпватеп но, ~гРгМеРг гъР1МоР~ (так как оба они прямоугольные), по ггу ~Г,МоР1 = ЕРгМэРг„а Доказанной теореме можно дать следуюшую оптическую интерпретагпгкг если поместить В один из фокусов эллипса исхочник света, то лучи после отражения от эллипса соберутся в другом фокусе, так как световой луч отргзится от эллипса как от касательной, проведенной к эллипсу в точке падения луча.
ф кусы Р (-с, О), Рг(с,0) расположены по одну сторону от кгсательной, так как в (55.Ц, с учетом условий 0 < г < 1 и ~хо~ < о, 3 56. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы 191 Теорема 56,2; Касатпельнав к гипербаге в произвольной ее точке Ме является биссехтприсоб внутреннего угла Мг треугольника Р1 РгМе, где Ры Рг — фокусы гиперболы. До к азате л ь ст во. Эта теорема доказывается точно твк же, как и предыдущая.
Отметим лишь одно отличие (не затрагивая очевгпь ные): фокусы Р| и Рг расположены по разные стороны от любой ка сательной (рис. 2). ° Рис, 2 Теореме 56.2 можно дать оптическое истолкование, аналогичное тому, которое было дано для эллипса. Теорема 56.3. Касательная и параболе есть биссектриса угла мехсду фекальным радиусом МеР точки касание Мо и перпендикуляром МеР, опугиенним иг точки Мо ха дареьтарису. Доказательство. Из уравнения (55 3) касательной к параболе уг = 2рх в точке Ма~хо,уа) й пар б сле- У дует, что точка А ~рис. 3) пересечения касательной с осью т сс Ох имеет кордннаты ( — хе, О).
и, Следовательно, АО = хе и АР = АО+ ОР = хе+ + р/2. С другой стороны, МоР = МоР = МоО + + ОР = хо + р/2. Таким образом, АР = МеР и, значит, с'.РАМг = лАМеР. Но с'.РАМО = г.РМеА, следовательно, ЕРМеА = г'.АМоР. ° Рис. 3 Эта теорема имеет следующее оптическое истолкование: если в фокусе параболического зеркала поместить источник света, то лучи„ отразившись от зеркала, образуют пучок параллельных лучей.
Это свойство используется в конструкции зеркальных прожекторов. 7 Люнсйнэа апкгуа к анааенчннав ноют а 122 Глада ХЕ. Алгебраи гесиие липли второго порядка иа плоскости й 57. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы Пусть .С вЂ” какая-вябудь из трех линий." эллипс, гипербола или парабола, задаяизл своим кзиопическвм уравнением, Введем позяриую систему координат, привяв за полюс фокус г ливии (для эллипса г — левый фокус, для правой ветви гиперболы Š— правый фокус, а для левой ветви — левый фокус), полярную ось направим в положительную сторону оси Оз каиоиической системы коордииат Озр во всех случаях, кроме левой ветви гиперболы, а в этом случае — в отрицательную стороиу оси Оз (рис.
1). Рис. 1 Тогда для любой точки М плоскости ее полярюяй радиус г совпадает с фокэльиым радиусом р(М, К). Согласие дяректоризльпбзгу свойству линии Е точка М(з„р) прикадлежит Е тогда и только тогда, когда р(М,б) (57. Ц где е — зксцеитриситет ливии,С. Пусть р(Е, и) = т, тогда р(М, е) = = МА = г сов ~р + гл и уравиеиие (57.1) линии может быть записаио в виде г = (гсоз1з+ гп)е гпе 1 — ясов д' Для параболы е = 1, гп = р, где р — фокзльиый параметр параболы. Следовательно, в выбранной полярной системе координат парабола определяется уравиеяием (57.3) Для эллипса и гиперболы число р = вь юга называется фекальиььм параметром.
Из (52.9) и (53.4) следует, что число ом в (57.2) совпа- й 58. Общее уравнение лизин второго порядка 183 дает с фокальным параметром р, так как сз '~ абт 5з те = а — аз~ = а ~1 — — ) = — = — = р для эллипса и а) ат а Г ст ') аЬз 5й гпе = пей — а = а р — — 1) = —:= — = р для гиперболы. з,ат ) аз а Это позволяет записать уравнение (57.2) в виде р г= 1 — е сов(о где р — фекальный параметр линии, не — ее зксцентрнситет. Поскольку для параболы е = 1, уравнение (57.4) совпадает с уравнением (57.3) параболы. Таким образом, эллипс, гипербола и парабола описывыотся в полярной системе координат единым уравнением (57.4).
3 о м е хо ни х. Проводом из фокуса Р (рис. 1) примухь перпвзомкулнрнзпо оси Ох. Эта примах пересечет линию ь" в двух точках Ю и Фь длв точки Ф, как н длк лозой точки б, справадлнвю соотношению (бк г), так что Но р(Ф,в) ~ р(г,о) = п1, следовательно, р(Ж,Р) = пм = р. таким образом, фохальнмй параметр линий Е совпадавт с подоенной длины хорды Ммь 8 БВ. Общее уравнение линии второго порядка Пусть Охр — вх(эфинная система координат на плоскости. Алгебраическая линия второго порядса определяется уравнением Г(х,р) =О, где Р(х, р) — апгебраическнй многочлен второй степени от переменных х, у с вещественными коэффициентами (й31).
Этот многочлен принято записывать в виде р(х,р) = аых +2аз хр+аттр +2агах+2а яр+ азы где азп + азы + а~~х )а О. В соответствии с этим алгебраическая ляния второго порядка определяется уравнением амх + 2аыхр + аззух + 2а |эх + 2ахзу + азз = О, ахм + а1т + а~ха ф О. Уравнение (58.1) называется обидам рраеяеннам адгебраическо(( линии второго порядка иа пласкоспнь Группа слагаемых амхз + +2аьтхр+ ойтуз (те.
одночленов второй сгепеия) называется квадратичной часпзъю уравнения (58.1) (нли вррнпоб сптарцзих членов), 194 Глава Х1. Алгебраические линии второго порядка на плоскости группа слагаемых 2а1зя + 2аззр — линейной частью, азз — свободным членом. Рассмотренные в предыдущих параграфах эллипс, гипербола и парабола, очевидно, представляют собой алгебраические линии второго порядка. Естественно поставить вопрос, какие еще линии являются линиями второго порядка. Чтобы ответить на него, нужно найти такую систему координат, в которой уравнение (58.1) принимает наиболее простой ввд (как это было в случае эллипса, гиперболы и параболы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
