В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть в системе векторов ам...,а,..., аь подсистема аы,а„обрезует базу (здесь для упрощения записи в качестве подсистемы взяты первые т векторов, что, как будет видно из доказательства, не нарушает общности рассуждений). Тогда любая ббльшая подсистема будет линейно зависимой в силу теоремы 16.2, так квк любой ее вектор линейно выражается через безу аы...,е: . Таким образом, база образует максимальную линейно независимую подсистему системы векторов.
Достаточность. Пусть ао...,п — максимальная линейно независимея подсистема системы векторов а1,..., а„,..., аь . Тогда для любого вектора аг„1 = 1, )с, подсистема аы...,а„а; линейно зависима 1еспи 1 < т, то как подсистема, содержащая два одинаковых вектора; если же з > т, то как подсистема из т+ 1 > т векторов).
В сиду теоремы 14.6 вектор а1 линейно выражается через аы...,а, Таким образом, ам..., е — баэз. и 211 Сл е дс и в ив 1. Все базы одной системы еекпюров состоягп из одинакового числа еекпюров, ровного максимальномр числу линейно незаеисимъ.т векторов систгмм. Число векторов базы называется рангом системм векторов. Очевидно, ранг системы векторов равен максимальному числу линейно независимых векторов системы.
Обозначение: гй(аь...,а„). Две системы векторов линейного пространства называются эквивалентными, если любой вектор каждой из этих систем линейно выражается через другую систему. Из определения следует, что база системы векторов эквивалентна самой системе. Теорема 61.2, Если сисгпсма векпюров аь...,аь линейно вмраэюается через Ьь...,Ь, тогб(аь...,аг) < гй(Ьь...,Ь ). Доказательство. Пусть аь...,а„и Ьг,...,бг — базы рассматриваемых систем. Из условия теоремы и транзнтнвностн свойства "линейной выражаемоств" следует, что база ам..., о первой системы линейно выражается через базу Ьь..., Ь, второй.
Тогда г < з, так как в противном случае, если г > з, система аь,а„была бы линейно зависимой в силу теоремы 16.2, ° Сл е де т е и е 2. Ранги эквивалентных систем совпадаюгп. Сл е д ст е ие 3. Эквивалентные линейно независимме сиспммм векторое состоягп из одинакового числа векторов. й 62. Базис и рэзмериосгь Говорят, что сиспмма векпюров ем..., е„линейного пространства И поролсдоет пространство И, если любой вектор з 6 Ъ' является линейной комбинацией еь..., е„.
Упорядоченная система векторов еь..., е„линейного пространства И называется базисом пространства И, если она линейно независима и порождает У. Очевидно, что это определение совпадает с определением бгзиса, данным в $17 для вещественного линейного пространстве Теорема 62.1. Любые деа базиса линейного пространства состоят из одинакового числа векгпоров. Это утверждение вьпекгег вз эквивалентности двух базисов жнейного пространства и следствия 2 (161).
° Итак, число векторов базиса не зависит от самого базиса и однозначно определяегся самим пространством. Ответ на вопрос, что представляет собой зто число, дает теорема 17.1, справедливая н в пространстве над произвольным полем. Напомним, что число векторов базиса линейного пространства К называется размерностью пространства К и обозначается символом дйга г'. Размерность нулевого пространства по определению счичается равной нулю. Из теоремы 17.1 следует, что размерность линейного пространства совпадает с максимальным числом линейно неэависн- 212 Глава ХП. Линейное пространство нзд произвольным полем мых векторов этого пространства.
Линейное пространство размерности и, где и б 1"(, называется и-марким. Нулевое пространство и и-мерные пространства называются конечномерными. Линейное пространспю называется бесконечномерным, если для любого числа к 6 Я в пространстве существует й линейно независимых векторов. Пример бесконечномерного пространства дан в $17 (пример 5). В курсе линейной алгебры изучаются лишь конечномерные линейные пространства. Те-арама 62.2 (о неполном базисе). В п-мерном пространстве любую линейно независимую систему из й, где и < и, векторов можно дополнить до базиа1. Доказательство.
Пусть ем...,еь — лияейно независимая система векторов пространства г', Так как й < п, то в силу теоремы 17.1 система векторов ем..., ез не является базисом г' и, следовательно, не порождает всего пространства У. Пусть вектор еь 1 6 Ъ' не является линейной комбинацией ем..., еь, тогда система векторов еы...,еюеь+1 линейно независима (в силу теоремы 14.6).
Если к + 1 = п, то эта система векторов обрззует базис пространства У; если же й + 1 с п, то аналогичным образом построим линейно независимую систему из 6+2 векторов. За п-й таких шагов мы построим искомый базис ем...,еы...,е„, ° Точно так же, как и в з17, определяются координаты вектора в базисе и матрица перехода от одного базиса к другому. При этом все факты, связанные с этими понятиями, остаются в силе и в общем случае, так как их доказательства опираются на те свойства вещественных чисел, которые имеют место в любом поле.' Напомним эти факты. 1 . Разложение вектора по базису единственно.
2'. Координаты еектпора обладают свобспюом линейности. 3'. При переходе от базиса е к базису 7 = еЯ координаты вектпора х изменяются по следующему закону: х, = Сдху. Примеры. 1. В арифметических пространствах Р", К", Сь единичные векторы (14.6) образуют базис (з17, пример 2), Этот базис принято называть естественным. Координаты любого вектора а = (ам...,а„) в естественном базисе совпадают с компонентами аы, о этого вектора. 2, В арифметическом пространстве Я векторы (14.6), очевидно, не могут быть бззнсом, так квк умножением этих векторов только на вещественные числа нельзя получить любой комплексный арифметический вектор а = (а1 + 1Д,...,а~+е~З„), где аь,рь б Й, к = 1,п;.
Добавим к векторам (14.6) еще и векторов: ~~ = (ц О,...,0)~ У2 = (О ц. -.,О), ", Ун = (О 0 1е). Покажем, что система векторов еи..., е„, 7м..., ~„образует базис пространства Я. Действительно, лицейная комбинация этих векторов с вещественными коэффициенгамй ам Д, имеет вид 213 363. Изоморфнзм линейных пространств и Н оьеь+~~~ рь)ь = (о1 + 1Д,...,а„+ 9„) (62.1) 1 1 1=1 н равна нулевому вектору д = (й,...,6) тогда и только тогда, когда оь + Щ, = О, й = 1,п, т.е. аь = )1ь = О, й = 1,п. Следовательно, вектоРы ем..., е„, ум ., ~„, линейно независимы.
Онн поРожДают все пространство Счй, так как любой вектор (ог + ц3м..., о„+ 43„) из Сн согласно (62.1) является лннейяой комбинацией этих векторов с вещественными коэффициентами ог,..., о„, А,..., Д,. 1в е (1 Сп $63. Изоморфнзм линейных пространств Два линейных пространства У1 и Уг над общим полем Р называются изоморфными, если существует биективное отображение у: У1 -+ Уг, которое сохраняет законы композиции, т.е.
если для любых векторов х, у е У1 и любого числа о е Р 1) Ф +у) =Фх)+у'(у) 2) у(ох) = шр(х). Обозначение; К ж Уз. Само отображение у называется изоморфивмом линейных пространств. Примеры. 1. Геометрические пространства Ум 1гм Уз векторов на прямой, на плоскости и в пространстве изоморфны арифметическим пространствам К1, Кг н Кз соответственно. Действительно, поставим в соответствие каждому вектору х б Уа набор его координат в каком-либо базисе г„т.е, арифметический вектор х, е К", где и = 1,2, 3. Это соответствие взащгно однозначно и сохранжт законы композиции, чзк как ксюрдинаты вектора обладают свойством линейности Я17). 2. Уг — Сн. 3.
Р "" Н Р и, в частности, К""'" н К™". Отметим простейшие свойства изоморфных пространств. 1', Отношение изоморфизма есть отношение эквивалентности на мнохсестег всех линейных пространств над полем Р. 2 . В ивоморфнмх просгпранстеах а) образ (и прообраз) линейной комбинации асхторое есть лиисйнав комбинация образов (прообразов) с теми хсе коэффициентами; б) образ (и прообраз) нулевого еехтпора есть нулевой еектиар; е) образ (и прообраз) линейно независимой системы еекторое образует линейно независимую систему; г) образ ~и прообраз) базиса есть базис.
Доказательства этих свойств опираются лишь на определение и элементарные свойства рассматриваемых объектов. Мы предоставляем их читателю. 214 Глава ХП. Линейное пространство над произвольным полем Насмотрн на простоту формулнроэок, уже эгн саоястаа говорят о том, что нэоморфные линейные пространства, дюне самой рэзянчно» природы, с точка зрения свойств линейного пространства неразличимы. Это позаоляат многие свойства лннэаных пространств изучать на линейных пространстаах простой структуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
