В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Эти уравнения называют каноническими уравнениями линий впюрого порядка. Линии, для которык Хг > О, назыэагзтся линиями зллпптицческого птопа; Хг < 0 — гопгрболпческого тпопа; Хэ = Π— параболического типа. 3 а м г ч а и и е. Если общее уравнение (58.1) линия второго порядка задано в прямоугольной декартовой системе координат, то каноническое уравнение линии мажет быть найдено по инварианчам, так как согласно (58.18) н (58.19) коэффициенты Лм Лэ приведенных уравнений являются корнями характеристического многочлена матрицы Ат г 59. Классификация линий второго порядка ка плоскости 205 ащ ~ /ащ оыя +2ощ*У+2оыя =оп я+ — У+аи~ -%ы ~ — У+ага оы ~аы ои к г и+ — У+оно оы (59.17) Метод Лагранжа.
георема 58.4 о приведенных уравнениях остается справедливой и в аффинной системе координат, так как тип приведенного уравнения определяется только знаками инвариантов Хю Кз, которые в силу теоремы 58.2 сохраняются при преобразованиях аффинной сисгемы координат. Вместо вычисления ннвариантов нли метода вращений можно использовать мегаод емделенил полимк кеадравюе ~метод Лагранжа), который состоит в следующем.
1. Пусть в общем уравнении (58.1) ам ф О. Выделим полный квадрат в группе членов, содержащих переменную ас 206 Глава Х1 Алгебраические линии второго порядка на плоскости Тогда уравнение (58.1) примет вид ж з +аюУ +2аззУ+азз = О. Если азз ~ О, то положив с У У+ с с (59.19) азз приводим уравнение (59.13~ к уравнению апх' +аззУ + авз = О, амазз ф О, (59,20) которое является приведенным уравнением типа 1. Преобразования координат (59.17), (59.19) определяют переход к новому базису с помощью матрицы перехода Я= аы и переноса начала. Согласно теоремам 53.2 и 58.3 знаки инвариантов 1з, Кз в уравненяях (58.1) и (59.20) совпадают. Если в уравнении (59.18) азз = О, то: а) в случае когда азз — — О, уравнение (59.18) является приведенным уравнением типа П1; 6) в случае когда азз Ф О, положив с азз У =У+ —, 2азз приводим уравнение (59.18) к уравнению амхп + 2а',зУ* = О, амазз ф О, которое является приведенным уравнением типа П, 2.
Пусть в общем уравнении (58.Ц ам —— О, азз зЗ О. Поступая так же, как и в п.1 (с точностью до названия переменных), освобождаемся от слагаемого 2аззху н линейной части (еслн это возможно) и прихо- дим к приведенным уравнениям, не нзменив знаков инвариантов 1з„ Кз 3. Пусть в общем уравнении (53,1) ам = О, азз = О. Тогда ащ ~ О.
Положив х = х'+ у', у = х' — у', (59.21) сводим этот случай к уже рассмотренным. Отметим, что преобразования координат (59.21) отвечают переходу к новому базису с матрнцей 11 перехода Я = ~ Так как приведенные уравнения (58.11) определяются лишь знаком ннвариантов 1з, Кз, то в результате выполненных преобразований общее уравнение (58.1) приведется к одному и только одному из уравнений (58.11). С помощью метода Лагранжа легко устанавлюзается тип линии, однако не может быть получено каноническое уравнение. Глава Х11. Линейное пространство над произвольным полем В ГК 1г' МЫ раССМатрнваЛН ВвщветеЕННЫЕ ЛИКЕИНЫЕ Нроетраиетеа. Ввщаетавиными они незыеаевсь потому, что аверьина умножении нв числе предусматривала умножение вектора ва вещественные числа. В Из мы уже стмечалн, что все свойства линейного нрссгрвнства сстакитл а силе, если доле вещественныл чисел и заменить прсизвсльным полем Р.
В зтея глене всснрснзводитсн известное епределыще линеагщге пространства длн случаи произвольного нелл„наиомниелгкн уже известные факты и рассмвтщщавтск южые. $ 60. Определение и терминология Пусть дано поле Р. Непустое множеспю Ъ' называется лимебкььм илн ескньзрмылг ярссщрамсгпесле над полем Р, если на этом множестве определены внутренний закон композиции Ъ' х и — г $г, называемый сложением, и внешний закон композиции Р х г' -т ьг, называе. мый умножением на число из поля Р, удовлетворяющие следующюю аксиомам: для любых а, Ь, с е Ьг и а, ~3 Е Р 1) а+ Ь= Ь+а; 2) (а + Ь) + с = а + (Ь+ с); 3) существует элемент И Е Ьг такой, что а+ б = й+ а = а; 4) для любого элемента а Е Ъ' существует элемент — а б У такой, что а + (-а) = (-а) + а = И; 5) 1 ° а=а; 6) а(Да) = (а)У)а; 7) (а+ д)а = аа + Ра; 8) а(а+ Ь) = аа+аЬ.
Линейное пространстно над полем К называется еещеспщемным линейным просгпранстлсль а над полем С вЂ” каыплсксмьми. Два вектора х н у линейного пространства называются калдинеарнылем, если они отличаются лишь числовым множителем, т.е. либо х = ау, а Е Р; либо у =,бх, 13 Е Р. Примеры 1. Арифметическое пространство Р" — линейное пространство над полем Р. Как и в случае К", здесь Р = (х = (хы..., х„) (хь е Р, Й = 1,п) с операциями: если х = (хм...,х„) и у = = (уы..., у„), а е Р, то х+у = (х1+ уы.,.,х„+ у„), ах = (ахм...,ах„). 2.
В частности, арифметическое пространство С" есть комплексное линейное пространство. В таком пространстве арифметические векторы умножаются на комплексные числа. Однако можно было бы ограничитьсн умножеянем только на вещественные числа, при этом 208 Глава ХЛ. Линейное пространство нед произвольным лелем результат умножения, несомненно, осганется арифметическим вектором из С". Это означает, что внешний закон композиции мсэкно ввести и как умножение на вещественные числа, т.е.
как отображение К х С" -+ С'. Символом С~~ будем обозначать множество С", в котором внешний закон комгвюиции определен как Ж х С вЂ” ~ С". Нетрудно проверить, что Сй — вещественное линейное пространство. В частности, само поле С можно рассматривать как вещественное линейное пространство Си . 3. Аксиомы линейного пространства выявлшот алгебраические свойства многих классов функций, часто встречающихся в математическом анализе: например, С[0, Ц вЂ” множество непрерывных функций па отрезке [О, Ц; Р[0, Ц вЂ” множество всех дифференцируемых функций на отрезке [О, Ц; С [О, Ц вЂ” множество всех функций, непрерывных вместе с первой производной на отрезке [О, Ц .
Хотя у каждого из перечисленных множеств имеются и другие замечательные свойства, все они охватываются единой алгебраической схемой, аксиоматизируемой определением линейного пространства. Нетрудко проверить, что зтн множества являются вещественными линейными пространствами относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.
Линейные пространства функций принято называть функциональными простпрапсгпеами Точки н линейном пространстве. Н геометрических пространствах мы имели дело и с векторами, и с точками: каждая упорядоченная пара точек А и В однозначно определяла вектор а = АЗ, каждый вектор а мы могли отложить от любой точки С, и это однозначно определяло точку Р— конец вектора а, отложб пюго от точки С. Если зафиксировать точку О как начало любого вектора пространства, то каждому вектору можно поставить в соответствие точку, которая явлвется его концом. Это приводит к взаимно однозначному соответствию между векторами пространства и точками, т.е. к возможности "отождествить'* векторы и точки пространства.
Обобщение этого факта для произвольного линейного пространства приводит к понятию аффинного пространства. Аффиппы,м (или точечно-аффинимм) пространством над линейным пространством г' называется множество Я элементов, называемых точками, для которого заданы а) линейное пространство У над полем Р и б) отображение е: 8 х Я -+ $', ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре точек А, В с 8 вектор о(А,В) е К и удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) для любой точки А 6 5 и любого вектора а б )г существует единственная точка В Е Я, для которой е(А,В) = а; й'60, Определение л терминология 2) для любых трех точек А, В, С е Я имеет место равежтво э(А,В)+ в(В,С) = с(А,С).
Обоз наченяе: вектор и(А,В) обозначается символом АМ. Таким образом, АМ + ВС = АИ. Иэ аксиом вффинного пространства следует, что а) АВ = У тогда и только тогда, когда А = В; б) ЛМ =-ВА. Размерностью аффиннога пространспгва Я называется размерность линейного пространства У. Примеры, 1. Геометрические пространства Рг,'гюрз являются аффинными пространствами над самими собой.
2. Любое линейное пространство Ъ' можно рассматривать как аф- финное пространство над самим собой. Для этого достаточно векторы назвать точками и определить отображение э: У х г' -+ Ъ' следующим образом: с(а, б) = а — Ь. (60.1) 3. Любое аффинное пространство Я можно рассматривать как ли- нейное. Для этого зафиксируем какую-нибудь точку О пространства Я и назовем ее началом. Тогда каждой точке А 6 Я можно поставить в соответствие вектор ОА, называемый радиус-вектором точки А отно- сительно начала О.
Множество радиус-векторов всех точек простран- ства Я и составляет линейное пространство У, Более того, имеет место Теорема 60.1. Отображение у: Я вЂ” ~ *г', определяемое пра- вилом р(А) = ОА, являетса биенцией, сохраняюи1ей операггию э аЯшннаго простран- ства, т.е. и(А,В) = с(р(А), р(В)). (60.2) До к аз а тел ь с т в о. Биективность отображении у непосредственно вытекает из аксиомы 1.
Что касается равенства (60.2), то согласно определению (60.1) оно эквивалентно вытекающему из аксиомы 2 равенству ХВ= ОЛ- ОА. ° Теорема 60.1 позволяет "отождествить" аффннные и линейные пространства. Единственное отличие аффинных пространств от линейных состоит в том, что в линейном пространстве имеется единственное начало 6 — нулевой вектор, в то время как в эффинном простржстве в качестве начала можно взять произвольную точку.
210 Глава ХП. Линейное пространство над проязвольныы полем Земеченис. В дзльяейшем, говоря о линейном прострзнстне, будем нмегь з енду, что его можно рассматривать нзн зффннное прсстрънстзс с фннснроззнпьгм нзчзлпм, тогда в шцпем рзспсряженнн будут н векторы, н течкн, кзк концы зскгсрпз. $ 61. Линейная зависимость. Ранг и база системы векторов Понятяе лннейной зззнснмостн н спязянныз с нзй утзсрждсння рзссмзтрнпзлись з глзяс 1Ч П 14-16) н стноснлнсь к зещестзенным линейным прсстрзнстззм. Все определения, а тзкже теоремы н ня дппьззтельстяз осхазптся з силе н в прпнззпльном линейном прострзнстяе.
Введем новые понятия. В дальнейшем, употреблял термен "линейное црсстренсгзо", будем вмять з виду линейное пространство нлд прснззольным полем Р, не огеззрнязя зтз долслннтзльнс. Будем рассматривать конечные системы аз,...,аь векторов линейного пространства. Линейно независимая подсистема системы векторов, через которую линейно выражается любой вектор системы, называется базой этой сиспылсы вектпоров, Примеры. 1. В системе из нулевых векторов нет ни одной базы, тзк как любая ее подсистема линейно зависима 2.
Базисные строки матрицы согласно теореме о базисном миноре образуют базу системы строк, рассматриваемых как векторы арифметического пространства. Это же относится и к базисным столбцам. 3. В системе трех неколлинеарных вектороэ плоскости "тз любая пара векторов образует безу. Обратим внимание на то, что в этих примерех система векторов может обладать не единственной базой, но при этом все базы одной системы состоит из одинакового числа векторов. Теорема 61.1. Подсисгпема системы векторов лвллетсл базой системы векторов глогда и только тогда, когда образует максилюлъную линейно независилзую подсиснзаму Доказательство. Необходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
