В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Начало координат каноняческой сястемы координат называется цеппгролв эллнпса, числа 2а и 2Ь— большой и малой осанн эллипса, а числа а и 6 — больиюй н малой полдосямгь 2". Все точки эллипса лежат в прямоугольнике, ограниченном прямымн х = ха и р = хЬ, твк как для координат (х, р) точек эллипса ]х] < а, ]р] < Ь. Точки А1( — а, 0), Аэ(а, О), Вг(0, -6), Вз(0, Ь) пересече. иня эллипса с осями координат называются еершииами аллипса. Рис. 2 3 .
Исследуем форму эллипса. В силу симметрии достаточно провести зто исследование лишь для точек 1 четверти. Здесь уравнение эллипса ямеет вид у = — ~от — хл, х е (О, а]. Легко показать, что: а а) у(х) яепрерывна и убывает от р = 6 до р = О; б) у'(О) = О, р'(а) = со, следовательно, касательная к эллипсу в точке х = О параллельна оси Ох, а в точке х = а — оси Оу; в) ро(х) < О, следовательно, линия выпукла вверх (рнс. 2), Простое спосоо построепил вллппсадвлтсп определением влллпок досчатоел нить длипоа та вакрепить компани е точках гг л рш иатлпуть пать карандашом и передвигать карвлдшп, держа лить патлпутоа.
Директоривльиое свойство. Число л = с~а нэзываетсп эпсцемпцюсппмглоле эллепсп Из Определения следует, что 0 < е < 1, при 182 Ь 5 е=)/1 — — или -=Д:ез аз а и, с учетом (52,4), (52.5), (52.6) г1 =а+ех, ге=а-ех. Соотношения (52.6) означают, что чем меньше зксцевтриситет, тем эллипс "ближе" к окружности (для окружности е = О). Для эллииса, не являющегося окружностью, две прямые И1 и Из, заданные в канонической системе координат уравнениями а А: е а да. .х=- Š— О<в<1. р(М, Р) р(М, И) (52.8) Доказательство.
Пусть р(Е,п) = т. Найдем число а > О, для которого т = — — ае. (52.8) е Фпе Очевидно, а = —. Положим 1 — ез с ае, Ь =а (1 — е). (52.1О) Введем прямоугольную декартову систему координат Охр, принимая за ось Ох прямую, проходящую через точку Р, перпендикулярную прямой д (рнс. 4) и ориентированную от Р к д; за начало Π— точку на осн Ох, расположенную от точки Р на расстоянии с по другую сторону от прямой д; ориентация на оси Оу выбирается произвольно. В этой системе координат точка Р имеет координаты (с, О), а прямая И определяется уравнением х = а/е, так как с+ т = аз+ п1 = а/е (рис. 4). Условие (52.8) для точки М(х, р) означает, что лг:4'тР= называются директрисами эллипса (рис.
3), Директриса 4 называется совтпветстпвующей фвкрср еи 4 = 1,2. Т е о р ем а 52.2. Эллипс, не являющийся окррхснвсгпью, есть геометрическое место точек М плоскости, для которых огпноюение расстояния ат данной то вси Г к расставнию до данной прямой д, не преходящей через зтр точку, равно данному полозсителъному чис р, меньшемр 1, т.е.
184 Глава Х?. Алгебраические линии второго порядка на плоскости Возведя обе части в квадрат, получям равносильное уравнение яз — 2ст+с~+у~ = я~аз — 2яес+а~, которое с учетом того, что с = ас, может быть записано в ваде (1 — ез)ят + уз = пз(1 — ез). Разделив обе части з гого уравнения на правую часть, приходим в обозначениях (52.10) к каноническому уравнению эллипса, эквивалентному (52.8): и у — + — =1, а>Ь>0. 2 52 Итак, точка М(х,у) принадлежит геометрическому месту точек (52.8) тогда и только тогда, когда она является точкой эллипса, для которого данная точка Г является фокусом, прямая б — соответствующей директрисой, а число е — зксцентриситетом.
Отметим, что доказательство теоремы как раз и состоит в построенви этого эллипса. Его полуоси а и Ь определены равенствами (52,9), (52.10). ° Гиперболой называется геометрическое место точек М плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний от двух фиксированных точек г"1 и Рт плоскости есть постоянное положительное чисио, меньшее, чем расстояние между Г1 н гю Это число обозначим через 2а Точки Ры Кз называются фокупьип гиперболы, расстояние между ними называется фекальным расстоянием и обозначается через 2с. Согласно определеюпо а с с.
Числа г; = р(М, Е;), е = 1,2, называются фояальяььип радиусами точки М. Из определении гиперболы следует, что точка М плоскости является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда (г1 — гз! = 2а, а ( с. ' у 53. Гипербола Каноническое уравнение, Запишем условие (53.1) в координатной форме. Поступая так же, как я в случае эллипса„построим каноническую систему координат Охр для гиперболы (53.1). Т е о р ем а 53.1.
Уравнение гиперболы е канонической системе координат имеет еид До к аз а тел ь ст во. Если М(х, у) — точка гиперболы (53.1), то /Й+утр- л*:г гр~ -2 . 1 "=-Р") если х > а; если х < — а. гг = — '( — — а~, сх г1= — +а, а сх тг —— — — а, а (53.3) Таким образом, в обоих случаях ~г~ — гг) = 2а. ° Уравнение (53.2) называется каноническим уравнением гиперболы. Отметим просгвйпше свойства гиперболы, вытекгющие из ее канонического уравнения. 1 . Как и в случае эллипса, координатные оси канонической системы координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — центром симметрии.
Ось Ох пересекает гиперболу в точках А1(-а, 0), Аг(а,0) и называется еещгстееииоб осью гингрболм. Ось Оу не пересекает гиперболу и называется мнимой осью. Начало координат называется иеитрем гипербольь числа а > О, 6 > О— вещественной н мнимой полуосями гиаербольь 2'. Все точки гиперболы лежат вне полосы, определяемой прямыми х = та, так как ~х~ > а (рнс.
1), Это означает, что гипербола состоит иэ двух отдельных частей, называемых ветвями гипгрбольь 3'. Все точки гиперболы лежат в тех вертикальных углах, образованных прямыми р = ~ г х, которые содержат веществеиную ось, так как для точек М(х, р) гиперболы и = хв4хг — аг, те. ~р~ < а~х!. Л +~У вЂ” Лг ~Р =+1 . ° Используя те же преобразования, что и для эллипса, придем к уравнению *'( '- ')+ грг= г(аг — ') ' — '<О или„в обозначениях -6" = аг — сг, к уравненюо (53,2).
Таким обрезом, любая точка М(х,р) гиперболы удовлетворяет уравнению (53.2). Обратное утверждение доказывается так же, как н для эллипса. Здесь ~х~ > а, поэтому 166 Пвие ХХ. Алгебраические линии второго порядка на плоскости 4'. Исследуем форму гвперболы. В силу симметрии достаточно провести зто исследование лишь в 1 четверти.
Здесь уравнение гиперболы имеют внд у = ь~аг, х > а. Лепсо проверять, что (рнс. 1): а) у(х) непрерывна и возрастают на (о, +ос), прн зтом у(а) = О и Оьп у(х) =+оо; б) у'(а) = со, так что касательная к гилерболе в точке х = а параллельна осн Оу," в) у" (х) < О, следовательно, лнння выпукла вверх", г) если 1 — прямая, заданная уравнением у = —,х, то для всех ь точек М(х,у) гиперболы 1пп р(М,1) = О, так как 1дх — АУ вЂ” о ! дх о- )Ьх — ау) +И~:- Д+д— агд -ь О шоу+ Р(х+ арху: о ) чанг+ дг при х -ь +со. сколь угодно близкО прн- Итак, все точки гиперболы с ростом х блнжаются к прямым 11. у= — „х и ь не пересекая нх. Прямые 1ы 1г называются у -'х ь, асимппкппальо гипербола. Рнс.
1 Рис. 2 Днректориальпое свойство. Число г = с~а называется зксцги- пьрпсоьпгпкьн гипюрбсльь Из овределения следует, что г > 1, при этом д' д г= у1+ —, — = йг — 1 аг' а н, с учетом (53.6), < гь = — (гх+ а)» 1г = — (гх — а) для левой н правой ветвей гиперболы соответственно, у 54. Парабола Прямые 41 и дю заданные в каноняческой системе координат уравнениями а а 41, х= — —, ~: х=-, е называются директрисами гиперболы (рис. 2). Директриса дг называется соответствующей фокусу Ро 1 = 1,2.
Т ео р е м а 53.2. Гипербола есть геометрическое место яючен М плоскости, длл которых отношение расстояния ет данноб точка Е и расстоянию до данной нрлмоб д, не проходящей через эту точку, равно данному числу е > 1, т.а р(М, Г) — =е, е>1. р(М, д) Доказательство. Твк же как и в случае эллипса (теорема 52.2), для данных точки К, прямой д и числа е > 1 строится гипербола, для которой точка Р является фокусом, прямая Ы вЂ” соответствующей директрисой, число е — эксцевтрисвтетом. Если т = р(Р', д), то полуоси гиперболы определяются соотношениями а а=ее —, с=ее (53.4) е те или а =, с = ае, 6~ = а~(е~ — 1). Использование тех же пре- т образований, что и при доказательстве теоремы 52.2, завершает доказательство. ° $ 54. Парабола Параболоб нэзываетгя геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние от некоторой фиксированной точки Р' плоскости равно рассгсанию до некоторой фиксированной прямой д, не проходящей через точку Г.
Точка Р называется Фокусом параболи, прямая Н— ее днрежтрнсЖ Ресстояяие от фокуса параболы до ее дирек- ш оо 1ггд.е1 трисы называется фокапьным параметром параболы и обозначается через р. Эксценягриситет параболы по определению считается равным 1. Рис. 1 188 Глана ХЕ. Алгебраические линии второго порядка ка плоскости Каноническое уравнение. Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Оху, принимая за ось Ох прямую, проходящую черт точку Р перпендикулярно прямой ~~„ориентированную от прямой б к точке Р, за начало Π— середину отрезка РО, где Π— точка пересечения оси Ох с прямой б; ориентацию иа оси Оу выбираем произвольно (рис.
1), Эта система координат называется канонической системой координат для данной параболы. Т е о р е м а 54.1. Уравнение параболы е канонической сисгаеме координат имеет еид у'=2Р, Р>О. (54.1) До к а затея ь ство. В канонической системе координат Оху фокус Р имеет координаты (Р/2,0), директриса б определяется уравнением х = -Р/2. Точка М(х, у) является точкой параболы тогда и только тогда, когда р(М, Р) = Р(М, й), или, что то же самое, (х )3+ уз 'х+ ) Р ' Р 2 ~ 2 Возведя в квадрат обе части уравнения, получим равносильное уравнение хз — рх + Рз/4+ уз = хз + Рх + Рз/4 или уравнение (54 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
