В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Мы приведем адно нз них, наиболее алгебраическое нз доступных нам. Для этого потребуются дополнительные понятия и факты. В приводимых ниже леммах, если не оговаривается особо, у(г) = = ас + агг+ ° ° + а„г" — многочлен ивд повем комплексных чисел от комплексной переменной г. Лемм а 1. Пусть |(г) = а~г+ аггг+ ° - -+ а г" — мнагочлгн с краевым свободным членом.
Тогда длл любого г > О найдгтсл Ю > О такое, что длл всех г, для которых !г! < 5, еыполнлгвгся неравенства (г(г)! < г. Доказательство. Пусть !г! < 1. ЧЬгда в силу (45.4) и (45.3) !У(г)! = !г)!аг+агг+"''+аьг ~! < )г!(!аг!+!аг!+ ° ° ° +!а„!). Положим М = !аг!+ )аг!+ + !а„! и возьмем 5 = ппп(1, г~М). Тогда для всех г, для которых !г! < Б, выполняется неравенство !у(г)! < < !г! М<г/М М=г.
° Комплексная функция у(г) от комплексной переменной г называется непрерывной е точке гс, если для любого г > О существует 5 > О такое, что для всех г, для которых !г — гс! < Б, выполняется неравенство !г(г) — г(гс)! < г. Лемма Х. Многачлгн у(г) = ос+ агг+ ° ° ° .+а„г" есть нгпргрыенал функция ао всех пючках комплексной плоскости. До к аз а тел ь от в о. Пусть гс — произвольное комплексное число.
Разложим многочлен у(г) по степеням г — гс: у(г) = се+ сг(г — гс) + +... + с„(г — ге)". Тогда сс = г(гс), тгк что ~(г) — ~(гс) = сг(г- гс) + +. ° + с (г — гс)", Правая часть этого равенства прцдставляет собой многочлен от г — гс с нулевым свободным членом. По лемме 1 для любого г > О найдется 6 > О такое, что !г(г) — г(гс)! < г для всех г, двя которых !г-го! < д ° Л е м м а 3. Модуль многачлена есть нгпрерыенал функция. До казател ь ство. Утверждение вытекает нз леммы 2 и свойств модуля комплексных чисел (45.3): )г (г) — г'(го)! > !)г (г)! — !г (гс))!. ® Лемма 4, Если г'(г) — мнагачлгн степени и > 1, та длл любого М > О сугцгсжвргт Я > О такса, что длл всею г, длл когпарых !г! > В, еыполнястсл неравенства !г (г)! > М- 172 Глава Х. Многочлелы нвд произвольным полем Доказательство.
Пусть |(г) = ао+а1г+ +о„г". Запишем 7'(г) в виде У(г)=а„г" 1+ — "г '+ + — г " ауб а„ = а„г" (1+д(г ')), (49.1) где д(г 1) — многочлен от г " с нулевым свободным членом. В силу леммы 1 для г = 1/2 найдется 6 > О такое, что при ~г ' ~ < Б Имеет ме- сто неравенство ~д(г 1) ~ < 1/2. Модуль а„г" может быть сделан сколь у б б, р (б ахун~~() бу ~,*"~ ) ббб. Возьмем Н = лбах ( ~/2МДа ~, ~~~. Тогда если ф > г1, то ~г ') < Е н )г~ > ~/2ММ/~а„), так что согласно (49.1) )Дг)) = ~а„гчЦ1+ д(г 1)! > ~а„г" ( )1 — )д(г 1)~! > 2М(1 — -') = М.
н Число ге = хо + 1уе называется пределом посгедовапмльности г„= х„+гуь, если для любого г > 0 существует натуральное число Ж такое,что ~г„-ге~ <гдлявсехп>ббу. Обозначение: Вш г„= ге. Очевидно, что сходнмость последовательности комплексных чисел г равносильна сходнмсхти двух последовательностей действптелъных чисел: 1пп х„= хе, 1пп Ууб = Уе. Уб-ббб ' уу-+уб Последовательность г„называется ограниченной, если суще- сгВУат числО В > 0 'гакОС, что )губ~ < гс, Лемма б.
Из любой ограниченной пвследоеапмльности г„ можно выделить сходлщуюсл подпоагедоваибельность. Доказательство. Пусть г„= х„+4у„н ~г ! < Втогда!х„~ < Й, так что х„- ограниченная последовательность действнтельных чисел. Из нее баглаево теореме Больцано-Вейерштрасса (11] можно выде- лить сходящуюся подпоследовательносгь х„„-+ хр.
Рассмотрим соот- ветствуюшую подпоследовательность мнимых частей у,б„. Она огра.- янчена, н из нее также можно выделить схсдяптуюся подпоследова- тельность ут -+ уо. Тогда оютветствующая подпоследовательность г„сходятся я го = хо + бУС. ° Л е м м а 6. Тонная нижнлл грань модула многочлгна дости- жима, т.е. существует число го уланов, что )Дгв)( < (Дг)) при всех хомплекснмх г.
Доказательство. Рассмотрим мнолбвство всевозможных зна- чений ьюдуля многочлена 7(г). Так как )~(г)! > О, то это множество ограничено снизу и, следовательно, имеет точную нижнюю грань. Обозначим ее через т. Тогда для любого натурального числа и можно найти комплексное число г„такое„что 1Г(г„)( < бп+ —. 1 (49.2) Воспользуемся леммой 4: для М = т+ 1 найдем В такое, что при ф > В будет Щг)~ > М > т+ -„', Отсюда и нз (49.2) следует, что 4 49.
Корни многочленов 173 ~« ~ < Я. Последовательность «„ оказалась ограниченной, и извес согласно лемме 5 можно выделить сходяшуюся подпоследовательность «„„-т «о. Тогда в силу непрерывноств (т (г) ~ (лемма 3) («)(«о)! С другой стороны, нз (49.2) и определения нижней грани имеем тп < Щз „)! < тп+ „~, поэтому (49.4) !нп (~(«„,)~ =т. Сопосшвляя (49.3) н (49.4), приходим к требуемому равенству ~Х(«оИ=- ° Л е м м а 7 (лемма Даламбера). Если т'(«) — лсисгочлеи степени и > 1 и т(«о) 11 9, тпо ипддетпсл числа «с тпакаЕ чтпо !У(«т) ! <!У(«о)!. Доказательство. Разложим миогочлеи у(«) по степеням г-«о. Д«) = со + сс(« — «о) + + с (« — «о)п (49 5) Очевидно, что со = У(«о) ф О.
Пусть сь — первый ненулевой коэффициент в (49 5) после со (такой коэффициент имеетсн, так как у(«) не константа). Тогда ~(«) = со+ сь(« — «о)ь+ со+с(« — «о)"+' + ". + с„(« — «о)" = = со ~1 + †(« — «о) + †(« — «о) ( †(«- «о)+ - " + †(«- «о)" )~ = сь ь сь ь со+с сп со со сь сь = со(1+ — (« — «о) + — (« — «о) д(« — «о)), (49.6) сь сь ь со со гдед(« — «о) = — (« — «о)+" + — («-«о)" -многочленот«-«о с со+с п-ь сь сь нулевым свободным членом, Согласно лемме 1 для с = 1/2 найдется такое д, что если ~« — «о~ < 5, то Ы« — «оН < 1/2.
Оценим правуто часть (49 6). Пусть — = Я(совд+ 1ош9), « — «о = сь со = г(сов сд + дз1пот). Выберем г так, чтобы Ят" < 1. Для этого нужно взять т < (т'1тсЯ. Далее положим д+Ьр = тт, те. возьмем со = (я — д)/й. сь При таком выборе имеем — («-«о)ь = — Яг". Теперь положим «с = «о+ со +т (соэ От+1 вшсл) при т < ппп(д, ~ттХ~Я) н со = (я -д)/Й, Тогда из (49.6) Глава Х. Многочлены над произвольным полем 174 следует, что 7(л1) = со (1 — Кть — Нг~д(л1 — ле)), откуда [7(л1)[ = [се[ [1 — Гьг~ — Ягьд(л1 — ле)[ < < [се[ ([1 — ю ь[+ йг~[д(л1 — ле)[) < (в силу выбора г и (49.7)) < < [се[(1 — Кгь+Яг"/2) = [се[(1 — Ятл(2) < [се[= Щлс)[, ° Доказательство основной теоремы.
Пусть 1(л) — произвольный многочлен степени и ) 1 над полем С от комплексной переменной л. Согласно лемме 0 множество всевозможных значений [7'(л) [ имеет точную нижнюю грань т, которая дости1вется в некоторой точке ле, так что [7(лс)[ = т. Тогда 7(лс) = О, так как в противном случае, если [У(ле)[ Ф О, то согласно лемме 7 найдется точка лм для которой [У(л1)[ < Щле)[ = Ы [7(л)[, что невозможно. Таким образом, ло — корень 7" (л) и поле С комплексных чисел алгебраически замкнуто. и й 50. Каноническое разложение многочлена над подем комплексных чисел ТеоРема 50.1. Длл люболо мнолочлсиа Х(л) = ~ ь ааль Е Е С[в[ стсисии и > 1 существуют числе с1,сл,...,с„Е С такое, 7(л) = а„(л — с1)(л — сл)...
(л — с„). (50.1) Это разложение едвнствеиио с точностью до порядка сомиооюотллей. Доказательство. Из алгебраической замкнутости поля С сле,дует сущеспюванне корня с1 е С многочлена 7(л), Тогда в кольце С[л) мвогочлен 7(л) делится (теорема 49.1) на многочлен л — с1, так что 7(л) = (л — с1)~д(л), где Ял) Е С[л), де571 — — и — 1. Если и — 1 ) 1, то к многочлену ~1(л) также применима основная теорема алгебры и, следовательно, 7(л) = (л-с1)(л — 1з)Ял), где ул(л) Е С[л[, дейуз = и — 2, сл Е С.
ПРименив вти РассУждениЯ и Раз, найдем числа с1, сл„..., с„Е С такие, что 7(л) = (л — с!нл — сл)... (л — с„)у„, (50.2) где дай Д„= 0 и, следовательно, ~„, — константа. Сравнив хозффициенты при л" в обеих частях равенства (50.2), получим, что 7"„= а„. Тем самым доказано существование разложения (50.1). Докажем его единственносп . Пусть существует другое разложение: (50.3) Лл) =а.(л-д1)(л-дл)...(л-д.). Каждое число с; из первого разложения встречается среди чисел д1,...,д„второго разложения, так как в противном случае для с; ф д;, 7' = 1, и, нз (50.1) получим, что 7(с1) = О, а из (50.3) — что у 50. Каноническое разложение многочлена у(с;) ф О. Аналогично каждое число дт встречаетея в первом разложенин. Покажем теперь, что если с; = Ыт.
„то с; встречается в (50.1) столько же ргз, сколько тту в (50.3), Пусть ст равно дт н встречается в (50.1) й ргз, а в (50,5) — пт раз н пусть й > пт. Положим (г — ст) = ут(г). Тогда ФгИ вЂ” .)" Ц (г-с)=у(г) Ц (г-д.), с,~с,. ат ф т14 откуда следует, что ю(о(( — «г- Ц о — .т — П ( — т,))=0. ст Фст дауду Так как в кольце С[г) нет делителей нуля и тр(г) ~ О, то (г — ст)" Ц (г — с,) = Ц (» — дт).
с.Фст д. Фд,т Положив е этом равенстве г = сч придем к противоречию, Итак, й < тп. Аналогично показывается, что пт < й. Значит, й = пт. ° Т е о р е м а 50.2 (о каноническом разложении агногочлена над полем С). Длл любого гтттогочгена,)'(г) = ~„~~ о аьга Е С(г! стососии и > 1 сущепаеукло число ст, сг,..., с ч С, где ст тч с, при т Ф у, и числа йт,йг,...,й б Й, где йт+йг+-- +й = и, пюкис, чото Дг) = а„(г — ст)тч(г — со)ь'... (г — с,„)" . (50.4) Это роологтссиис сдинсотееиио с пточиостоью до порядка сомиоотсито~- лей. Доказательство. Рассмотрим разложение (50.1) для мвогочлена у'(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
