В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 45
Текст из файла (страница 45)
«Хч; 4) дйп~ '„«Х« = ~'„«йппХч; 6) суи«еси«вует вектор а Е Х - Х«, длл которого разложение по 'ь подпространствам Хм...,Хь единственно; 6) произвольное сисп«ама ненулевих векторов аи..., аь, взятых по одному из каждого надпространства Хь, « = 1, Хс, линейно независима; 7) Х 1 й Хз = (д) (д В и = 2Х.
Доказательство. 1 =ь 2. Пусть совокупность ем...,е Хм..., Х,,..., дм..., д«базисов надпространств Х м..., Х ь линейно зависима и ~~~.о«е«+,'1 «3«Л+ - +~„Ъу« =6, где (66.2) Положим т З « хг= ~,'сг«е«, хз = ~',«3«Х«, ..., хе=',Сч«у«, «ге «=1 «га Отметим, что х, Е Х«, Х = 1, к, причем среди хи...,хь в силу (66.2) и линейной независимости векторов каждого базиса существует вектор х«ф й. Тогда соотношение (66.1) может быть записано в виде 6 = я«+ ...+х«+ ...+ха, х« ~6. (66.3) Это дает второе разложение нулевого вектора 6 (после известного: В = й +... + В +... + 6) по подпространсгвам Х и..., Б«,..., Х ь. 2 ~ 1. Пусть Х,«+...
+ Хь — не прямая сумма. Тогда существует вектор 6 из этой суммы, который имеет два разложения по подпро ран*в и Хм",Хь« В 66. Прямая сумма надпространств (66.4) Ь = Ь, + ... + Ь; + ... + Ьг, Ь = Ь', + ... + Ь', + ... + Ь;, отличающиеся хотя бы одним слагаемым Ь; ~ Ь';. Если вычесть из первого равенства второе и разложить каждое слагаемое Ь вЂ” Ь', Х = 1,п, по базису Х ., то получим нетривиальную линейную комбинацию базисных векторов пространств Хп,..., Х г, равную нулевому вектору. Это противоречит линейной независимости совокупности базисов Х1„.,Хь 2 =: 3. Это следует из теоремы 65.2. 3 с=э 4.
Эти утверждении отличаются только терминологией. 1 =г 5. Это очевидно. 5 ~ 1. Пусть Х1 +... + Хь — не прямая сумма. Тогда существует вектор Ь из этой суммы, для которого имеют место два различных разложения (66.4) и (66.5). Вычитая (66.5) нз (66.4), получим нетривиальное разложение нулевого вектора (66.3).
Если его сложить с разложением вектора а, то получим еще одно разложение вектора а. 1 =~ 6. Пусть система векторов ам...,аг, где а; й Хч, а; ф В, 1 = 1, л, линейно зависима. Тогда существуют числа ам..., аь б Хг, одновременно не равные нулю (пусть, например, ав ф О) и такие, что гг1а1+...+ага, +...+агав = В. Это равенство дает второе разложение нулевого вектора, отличное от тривиального (так как а;а; ~ В), что противоречит утверждению 1. 6 =~ 1.
Пусть Х1+... + Хь — не прямая сумма, тогда существует вектор Ь, лля которого имеют место два разложения (66.4) и (66.5). Вычитая одно из другого, получим, что а;, + а,, +... + а;, = В, где щ„= Ьс — Ь',, а; й Х;, причем а, ф О хоти бы для одного т, т = 1„о. Значит, векторы а;„а;„..., а;, линейно зависимы и, следовательно, любая система ненулевых векторов, взятых по одному из каждого Хч, г = 1, Й, содержащая зги втгторы, линейно зависима (в силу теоремы 14.3). Это противоречит утверждению 6. 4 с=ь 7, Это следует из теоремы 65.3. ° Т е о р е м а 66.2. Линейное пространство г' лвллетса прямой суммоб двух своих пдпространств Хп и Хг тогда и только тогда, когда: 1) йшЪ' = йшХ1+йшХг,. 2) Хч г1Х,г —— (В). До к а за те л ь ство.
Не о 6х иди мост ь следует из теоремы 66,1 (утверждения 4 и 7). Достаточность. Из условии 2 следует, что Х| + Хг — прямая сумма. Положим Х = Хг 9 Хп, Согласно теореме 66.1 (утверждение 4) йшХ = йшб1 + йгпбг. Отсюда в силу условна 1 вытека.- ет, что бпла = бпп )г. Это означает, что Х = У (теорема 64.3), т.е. = Йг 9Хг. ° 220 Глава ХП. Линейное пространство ввд произвольным полем Дополнительное подпространство. Пусть Ь вЂ” линейное надпространство пространства К, Подпространспю Хг называется дополнительным подпространством я Ь (рис.
1), если Ь 9 Хг = я'. Очевидно, что при атом Ь вЂ” дополнительное надпространство к Ь . Рнс, 1 Теорема 66.3. Для любого надпространства Ь линейного пространстпва т' сущесозвует дополнительное подпростпранство. Доказательство. Будем считать„что Ь вЂ” нетривиальное надпространство (если .Ь = (6), то Ьг = $г, а если Ь = Ъ', то Ь = (Ц). Пусть ем..,,еа — базис Х.
Дополним его до базиса ем..., еюеь+м...,е„всего пространства У. Тогда Ь(ев+м...,е„) = = Хг, так как для надпространства С(ев+м...,е ) выполнены все условяи теоремы 66.2. ° 3 ам е и а н и е. В случае если Ь вЂ” нетривиальное подпространство, дополнительное надпространство определено неоднОзначно. 5 67. Линейное аффинное многообразие Линейное аффинное многообразна и связанные с ним понятия ймли определены в 118. Твм же приведены неяоторые алементарные утверждения, отноопцяесн я вещественному линейному пространству, Псн оня остаются в силе я в линейном пространстве над проязвояыпам полем Р (с очевидной заменой поля Ж яа поле Р).
Параллельные многообразия. Линейные многообразия Н~ = = х1 + Ь1 и Нг = хг + Ьг в линейном пРостРанстве У' ннзываютсЯ параялельньсми, если либо Ь1 с Ьг, либо Х г с Ь1 (рис. 1). Теорема 67.1. Если два линейных многообразия с испустим пересечением параллельны, то одно иг них содержит другое. Доказательство. Пусть линейные аффинные многообразия Н1 = х1 + Ь1 н Нг = хз + Ьт параллельны н пусть (67.1) Ь~ С Ьг. По условию существует вектор хо е Н1 й Нг . Тек как вектором сдвига может служить любой вектор линейного многообргзия (й18), то Н1 = хо + Хг, Нг = хе + Ьг. Отсюда с учетом (67.1) следует, что Н1С Нг ° З 67.
Линейное аффннное многообрззие Рис. 1 Следстпвие 1. Если линейные многообразия параллельны, тпо иьбо оии ие пересекаюпься, либо одно из иих содерзтсипься в другом. Пересечение многообразий. Т е о р е м а 67.2. Непустое пересечение линейных многообразий Н, = хь +'Хь, ь = 1, й, является линейним многообразием с » направляюьпим подпространстеом П Х;. ь=ь » Доказательство. По условию существует вектор хо 6 П Но » » ь=ь следовательно, Нь = хе+ Хи, Тогда П Н, = хе+ Д Хч, тек как для ь=ь ь=ь этих множеств имеет место двусторонйее вложение. ° Теорема 673.
Всякое й-мерное линейное многообразие е ть-мерном пространстве молино задать в виде пересеченил и — й гиперплос костей. Доказательство. Пусть Н = хо+ Х вЂ” ямерное линейное многообразие и еь,..., ет, — базис надпространства Х, Дополним его до базиса ет,..., е», е»еь, ..., е„пространства У, В качестве искомых гиперплоскостей можно взять линейные многообразия Нь = хо + + Хв „ь = 1, ть — й, где Х ь = ь(еь..., ею е»+ъ е»+з, ", е ), Хг —— ,С(еь,...,е»,е».ьь, е»+з,...,е„), Х„» = Е(еь,...,е»,е»+„е»+„.. „е„ь), т.е.
Х.ь — лннейнаи оболочка всех векторов базиса У, кроме е»+,, Очевидно, что Ьь т1Хг ь ь . ьь Х„» = Е(еь,...,е») = Е. В силу теоремы 67.2 отсюда следует, что Н = Нь П Нг П... П Н„». Так как Йтп Бт = и — 1, ь = 1, и — )т, то все Нь — гнперплоскости. ° Т е о р ем а 67.4. Пересечение линейного многообразия Н = = хе+Х с любим подтьроспьранством, дополиительним н Ь, состпоит ровно из одного вентора. 222 Хлева ХП. Линейное пространство нвд произвольным полем До к аз а те л ь с т в о. Пусть Х вЂ” дополнительное псдпространство г к Х. Так как Х, 9 Хо = 1~, то для вектора хо имеет место разложение хо = у + г, где у Е Х, г Е Х,г. Тогда г = хо — у й Н, ибо — у Е Х.
Следовательно, х — общий вектор Х ~ и Н, т.е. з й Х ~ т1 Н. Покажем, что г — единственный вектор пересечения Х г йН. Пусть х'й Х ЙН,тогдатак какгЕН, г'Е Н,то(318) г — г'й Х, атак яак г Е Х,~, г' б Х~, то х — г' Е Х ~. Из того, что Ь П Х~ = (д), следует, что г — з' = 9, т.е. г = г'. ° Фактор-пространство. Пусть У' — лянейное пространство над полем Р, Х вЂ” некоторое его линейное надпространство. Рассмотрим множество ЦХ всех линейных многообразий с направляющим подпространством Хс У ~Х = «Н = х+ Х ~ х е т')-. Введем на этом множе.
спю операции сложения и умножения на число из поли Р. Определим сумму многообразий Нт = хт + Х, Нэ = хг + Х. по следующему правилу: Нт + Нг — (хг + хг) + Ь ° (67.2) Это определение корректно, так как результат не зависит от выбора векторов сдвиг» многообразий Нт, Нг, Фактически эта операция совпадает с извесптой операцией сложения смежных классов по нормальному делителю, т.е. с алгебраической опер»пней в фактор- группе (340). Таким образом, правило (67.2) определяет внутренний закон композиции на Ъ'(Х (рис. 2). Определим умножение многообразия Н = хо + Х на число а е Р по следующему правилу: (67.3) Проверим корректность этого олределення, т.е. что результат не зависит от выбора вектора сдвига хо.
Пусть Н = хто + Х, Покажем, что ахо+Ь ахо+Х (67.4) Для любого элемента ахо + у, у Е Х, нз левого множества имеем ахо + у = а(хо + хо — хо) + у = ахов + а(хо — хо) + у = ахоо + ут, где ут —— а(хо — хо) + у б Х, так как хо — хоп Е Х, у б Х . Следовательно, ахо + Ь с ахо + Х. С другой стороны, для элемента иэ правого множества ахо + у, у е Х, имеем ахо + у = (хо = хо+ ут, где уг с Ц = = а(хо + ут) + у = ахо + аут + у = ахо + уг, где уг = аут + у с Х,. Следовательно, ах$+ Ь с ахо + Х. Оба вложения доказывают (67.4).
Таким образом, правило (67.3) определяет внешний закон композиции на Ъ"~Х (рнс. 3). Те о ре ма 67.5. Множестпва ЦЬ всех линейных многообразий с нвпрпвглтотдин подпростпрвнстпвогт Х естпь линейное простпранстпво отпносиятелэно законов яоэтпоэиттии (67.2), (67.3). Доказательство.
Справедливостьаксиом группысложения вытекает нз того, что ЦХ вЂ” фактор-группа. Впрочем, непосредственная З' 67. Линейное аКЬиннов многообразие Рис. 3 Рис'. 2 проверка этих аксиом гак же проста, как и проверка оствльнъпс аксиом линейного пространства, ее мы предоставляем читателю. ° Линейное пространство К~Х называется а(аьтпор-нростраисвиюм линейного пространства У но надпространству Х . Теорема 67.6. Фактор-пространство ЦХ изоморфно Хг.
Доказательство. Если Х = (В), то Хг = Ъ', Ъ'~Х = У и, следовательно, У~Х = Х.Р. Если Х = У, то Х~ = (9), ЦХ = (вХ и Ъ'~Х, = (6). Пусть 6 < 61тЪ < йпп|1 и Хг — какое-нибудь дополнительное надпространство к Х . Согласно теореме 67.4 в каждом 'многообразии Н = я+ Х существуе~, и притом. единственный, вектор в Е Х ~, так что Н = в+Х . Таким образом, Р'~Х = (Н = з+Х ~ з 6 ХР) . Отображение у: Ьв — > Ъ'~Х, которое каждому вектору з е Х~ ставит в соответствие линейное аффинное многообразие Н = з+ Х е У)Х, бнектнвно в силу теоремы 67.4, оно сохраняет законы композиции в силу (67.2), (67.3). Таким образом, у — изоморфизм, ° Следствие 2. дппЦХ = дйпУ вЂ” йн~Х.
3 линейнвю э11аврв н анввпнчесви пою чри» Глава ХП1. Евклидовы и унитарные пространства Линейные пространства, изучавшиеся нами до сих пор, несмотря на абстрактный характер, по своим свойствам очень близки к геометрическим пространствам. Однако а них шце не нашли отражение понятия, связанные с измерениями, такие, хак длина вектора и угол между векторами. В $22 мы установили, что зтк зелнчюзы тесно связаны с понятием скалярного произведения векторов. Онн просто выражаются через скалярное произведение, а само скалярное произведение векторов оказывается кри атом весьма простой с точки зрения алгебры Функцией: оно линейно по каждой из двух переменных. Это дает основание при введения метрических понятий з теории линейных пространств отталкиваться от пошггия скалярного произведения, В атой главе рассматриваютса только вюцесгвенные и комплексные пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
