В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 47
Текст из файла (страница 47)
С помощью любого базиса можно сводить оперении сложения векторов и умножения вектора на число к оперениям над числами, В евклндовом и унитарном просграясгаал теорема 70.3 отводят ортонормнроваяному базису особую роль: с помощью такого базиса н третья операпия — скалярное произведение векторов — сводится к операливм иад числами. Возникает есгеспюнныа вопрос, всегда ли существует ортонормироваилыя базис.
Т е о ре м а 70.4. В хонечмемерном сехлидоеом (днитпарном/ простпронстпес сущестпеуетп ортонормироеапмыт1 богис. Доказательство. Пусть 41гп1' = и. Используем индукцию по и. При и = 1 утверждение очевидно: достаточно взять любой вектор / ~ 9 и положить ет = ЯУ~ П т любом (и — 1)-мерном евклидоВОм (унитарном) пртютран стве существует ортоиормиронанный базис; покажем, что ортоиормированный базис существует и в и-мерном пространстве .Е (У). Пусть /т,...,/„— базис Е (тт').
Линейная оболочка ь(/м...,/в т) является (и — 1)-мерным пространством, и в нем по индуктивному предположению существует ортонормированный базис еы..., е„т . Так как /в Ф б(/т,..., Ув т) = ь(ет,..., ев г), то вектору„= /в — от ет — ггзег— ... — а„те„т отличен от нулевого вектора при любых оз й ЖЩ .
Выберем коэффициенты а,, т = Т, п — 1, из условия ортогональности вектора д„всем векторам еы..., е„т, 0 = (д„, е;) = (/„, е;) — сгт, 1=1,п — 1,илнсц = (/в,е),т = 1,п — 1.Тогда,положив е„=до/~до~, получим ортонормированный базис ет,..., е„пространства Е (ст'). ° Прсщесс ортогоналнзахнен. Доказательство теоремы 70.4, по существу, представляет собой алгоритм последовательного построения ортонормированного базиса по заданному базису /ы..., /„. Первый шаг. Полагал дт = /г, находим ет = дт/~дт ~ . й-й иаг (й > 2). Полагаем (70.8) да = /а — атег — агег — . — ста тел где а, = (/а, ег), з = 1, й — 1, и находим еа = дв/(дг!. Через и шагов получим ортоиормированный базис ет,..., е„ пространства.
Описанный алгоритм называется процессом ортпогоналигации Грома-Шмидтпа. Ортогональная (уннтарнаи) матрица. Матрица У б О""" называется унитарноюУ, если (7(7Н П Н отт ет матрица сг с ы""" называется ортпогональиоб, если (70,10) Напомним, что в б24 уже рассматривались ортогонвльные матрицы в связи с ортоиормированным базисом геометрических прост- з 70. Ортоголальныв векторы 231 ранств. В произвольном евклидовом (унитарном) пространстве имеет место то же утверждение. Теорема 70.5. Матрица перехода от ортонормированного базиса е к базису е' евклидова (унитарного) пространства орнюгональна (унитарна) тогда и только 'тогда, когда е' ортогональны6 базис. Доказательство повторяет доказательство теоремы 24.1 с учетом соотношений (70.5), (70.7), (70.9), (70.10).
° ЯЯ-разложение. Процесс ортогонализвции Грама-П1мндта, описанный в матричной форме, дает еще одну факторизацию матрицы. Пусть А = [а1... а„] — вещественная или комплексная матрица размера н х н с линейно независимыми столбцами ам...,а„б К" (соответственно С"). В результате применения процесса ортогонавизацин к этим столбцам относительно естественного скалярного проязведения в арифметическом пространстве получатся ортонормированные столбцы вы...,в„, которые образуют ортогональную (соответственно унитарную) матрипу Я = (дг... д„]. Сам процесс ортогонвлвзации означает последовательное умножение матрицы А справа на некоторые матрицы элементарных преобразований.
Так как о, Е С(ан дм,,д; 1), г = 1,а, то на г-м шаге матрица А, г (полученная после (г — 1) шагов) умножится справа на матрицу 1 0 . сгн ... 0 1 ... ам .. О о так что весь процесс ортогонвлизации укладывается в матричную схе- А.О1...Ь„= а или АГ =а, где Ь вЂ” верхняя треугольная матрица (как произведение верхних треугольных матриц), т.е.
А = Я)г, (7О.П) где Я вЂ” ортогональная (соответственно унитарная), а В = Ь вЂ” верхняя треугольная матрицы. Разложение (70,11) называется Яг1-разложением матрицы А. Если А — прямоугольная матрица размера т х п с линейно независимыми столбцами, то очевидно, что т > и, а матрица Ц будет прямоугольной матрицей размера т х п с ортонормированными столбцами о1 ° ° ° дд.
Теорема Пифагора и ее обобгцение. Если векторы к в у ортогонвльны, то треугольник, построенный на этих векторах, называют прямоугольным, а вектор я + у — гипотенузой этого треугольника. 232 Глава ХШ. Еаклидовы и унитарные пространства Легко провер$пь, что )х+у)~ = ф~+«у(~, (70 а, в более общем случае, если хм...,хь — попарно ортогональны и г = х1+... + хы то ь (70.13) Равенство (70.12) нгзывают теоремоб Пи4агора е евклидоеом (и унитарном) аространсе1вс, а равенства (70.13) — ее обобщением. 5 7г.. Матрица Грама огатрицгб Грома системы вгкторое ам...,аь евклидова (унитарного) пространства называется матрица (аы аг) (ам аг) . " (ам аь) С(ам..., аь) —,............................... (71.1) (аг,а1) (аь,аэ) (аь,аь) Определитель матрицы Грама называется онргдегителем Грома, Т е о р е м а 71.1.
Система векгпоров аы..., аь евклидова ('унитарного) пространства линебно зависима тогда и гаолько тогда, когда бес С(ам..., аь) = О. Доказательство. Рассмотрим вектор у = 2 . 1еиаь Так как у б Ю(ам ".,аь), то равенство у = д равносильно ортогонвльности вектора у любому вектору из Е(ам..., аь), что в свою очередь равносильно ортогональиости вектора у векторам аы..., аы т.е. (71.2) ог(амоь)+...
+оь(аыоь) = 0 Линейная зависимость векторов ам..., аь означает наличие нетривиального набора коэффициентов ом ., оь, для которых у = б, т.е. наличие нетривиального решения однородной системы уравнений (71.2) с матРицей Ст(ам..., аг), а вто согласно теоРеме 28.6 означает Равенство бе$С(ам...,аь) =О. ° Матрица А ~ С""" называется эрмитовоб матрицеб, если Ал = А; (71.3) матрица А б Ж""" называется симметрической «или вещгстеенноб эрмитоваб) матрицеб, если (?1А) з 72. Ортогональное дополнение С(ат,...,а») = (А А) и де1С(ам, а») = 1 де»А~». Таким образом, де»С(ам...,а») > О. (71.5) (71.6) По условию система ам..., а» линейно независима, позтому, согласно теореме 71.1, де»С(ам „ат,) р О.
Отсюда с учетом (71.6) следует, что де» С(а»,..., а») > О. н Замечание. Равенство (71.6) дает компактную форму записи матрицы Грама; в частности, в вещественном случае С(ам...,а») = АтА, $ 72. Ортогонапьное дополнение Задача о перпенднкулнре.
Совокупность всех векторов х 6 Е (У), ортогоналъных надпространству Ь, называется оретозокалькым дополнением к Ь. Обозначение: Ь~ . Т е о р е м а 72.1, Ортпогокалькое дополнение к подпростпракстпвр лвл,еетпсл линейным пвдпростпранстпвом. Доказательство. Пусть рырз е Ь~, тогда (рмх) = (ртьх) = О для любого вектора х 6 Ь. Складывая зтн раиенства, получим, что Из (71.3) следует, что 1А~ е К. Таким образом, для эрмитовых матриц (комплексньтх и вещественных) можно говорить о знаке определи'хелй. Теорема 71.2. Матприца Грома систпемьт векнторое евклидова ЯкивицРттозо) простпракстпва зрмитпова. Доказательство. Пусть С(ам..„а„) = С = (уе).
Из (71.1) следует, что ро = (ао а;), руч = (а., а;), т.е. ое —— д ч . Это означ»ет, С" = С, в е ином у, Ст=С. ° Т ее рвиа 71.3. Определитпель Грома линейно независимой систпемы вектпоров в век»адовом (ркинтарном) прастпракстпве полозтситпелек. Доказательство. Пусть ак..., ໠— линейно независимая система векторов евклидова пространства.
Тогда дпп Е(ам..., а») = Й. Выберем ортоиормированиый базис ет,..., е» линейной оболочки Е(ам..., а») . Составим матрицу аы ан ... ат» А= а»т а»» ... а»» столбцами которой являкттся координаты векторов ам..., а» в базисе е = (ем...,е») . Тогда„согласно (76.7), (а;,ат) = ~ '„, а .а,з —— атъа„= (АЛА) тз т = 1,й, 7' = 1, Е Следовательно, 234 Хлева ХПХ. Евклидовы и унитарные пространства (у1 + уг,х) = О, гх й Х, те. у1 +р б Х г.
Аналогично если (у, х) = О, 'гх б Х, то (оу, х) = О, т.е, сгу й Х.. Отсюда на основании теоремы 18.1 следует, что Х " — линейное надпространство. ° Теорема 72Л, Если Х вЂ” линейное надпространство Е(ХХ) „ (72.1) Док аз а тел ь с т во. Утверждение очевидно, если Х вЂ” тривиальное надпространство. Пусть Х, — нетривиальное подпрострвнство. Возьмем ем..., еь — ортонормированный базис Х, еьг м...
„е„- ортонормированный базис Х,~.. Система векторов ем...,ег,еь+и...,е„ ортонормировака н, следовательно, линейно независима (теорема 70.1). Покажем, что она образует базис всего пространства Е (ХХ). Пусть это не так. Тогда существует вектор Х пространства„который не является линейной комбинацией ем..., е„. Система векторов ем..., е„, Х линейно независима, и применение к ней процесса ортогонализацни приводит к вектору е +1, который ортогонален ем..., е„и, значит, е„ог й Х~-, С другой стороны, е„г.~ Л. Х~, так как е„+г ортоговэлев ег+м..., е .
Следовательно, е„гг = д. Отсюда согласно (70.8) вытеквог линейнав зависимость ем..., е„, Х, что противоречит допущению. Таким образом, система векторов ем..., е„является базисом Е (ХХ) и пппХ.+а1щХ' = 61т Е (61тХХ). Так как Х,ПЬ"- = (д), то согласно теореме 66,2 получаем (72.1). ° Следствие. Если Х вЂ” линейное надпространство Е (ХУ), то для любого вектора Х е Е (ХХ) суигесгпеугтп, и прите.и единственное, раглолсение (72.2) где д б Х, й .1 Х. Вектор д в разложении (72.2) называется ортогональной проекцией вектора Х на подпростпранстпго Х,, а вектор гг — ортогональной составляющей вектора Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
