В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Линейной формой является отображение 7' т 11н -т К, определенное следующим правиломт если (хт,...,х„) 6 Ж", то Дх) = хт. 3. В пространстве М„вещественных многочленов степени не вьште и линейной формой является отображение 7': Мтт -+ К, определенное правилом: если р(с) б М то У(р) = р(1). Из общей теории линейных операторов следует, что если ем,, е„— базис пространства 1т, то линейная форма у ~ ь(У, Р) однозначно определяется числами пт =,т(ет), ..., и„= Де„). ПРи этом длЯ пРоизвольного вектоРа х = 2 ',мт х,ет в силУ линейности 7" имеем (81.1) 7(х) = отхт+...
+ п„х„. Представление (81.1) называется общим видом линейной формы 1 в базисе ет,..., е . Числа от... а„называются козффициентлами линейной формы у в базисе ет,...,е„. Линейные формы и гиперплоскость. Теорема 80.5, относящаяся к линейному оператору общего вида, справедлива и для линейных форм. В терминах линейной формы она означает, что если Дхе) = с, то множество К = (х б $'Дх) = с) является линейным многообразием Н = хе+ А„где 1 = (х с У(Дх) = О). Если т' — ненулевая форма, то гбао' = 1 и согласно (80.2) йпт| = стпп 1сег1 = и — 1.
Следовательно, К вЂ” гиперплоскость. Этот же факт в координатной форме (81.1) означает, что все решения одного уравнения с н неизвестными отхт +... + п„х„= с образуют гиперплоскость, так что все решения системы линейных алгебраических уравнений можно трактовать как пересечение гиперплоскостей (сравните с теоремой 67.2). Сопряженное пространство. Известно (теорема 78.2), что множество ь($', Р) всех линейных форм в линейном пространстве К образует линейное пространство относительно сюераций сложения и умножение на число, введенных в 878 правилами (~т+,6)(х) = ~т(х)+ ~з(х), (оД(х) = пД(х). Линейное пространство всех линейных форм на пространстве т' называется сапрлжениьтм иросшрансптвам и прастарансптву тт. Оио обозначается символом У', Теорема 81.1.
Справедливо равенство йтпЪ" = с(ппК. Это равенство вытекает из теоремы 78.3 и ее следствия, так кал йаР = 1. а Глава ХП». Лкнейвые операторы Сл е дс та е н е . Всякое конечномерное лннгйног тцюсьчранспгео нгаморфно своему сопрдхсенному. Это вытекает из теоремы 63.1 об изоморфвзме линейных пространств одинаковой размерности. Специальное представление линейной формы и еиклидоиом (уиизариом) пространстве.
Т е о р е м а 81.2. Длд .еюбоб лннебиоб гйормы у" е еекендоеом (йннпюрном) просгпранстпее г» срщестлерет, и пригпом единстпееннмй, есюнар Ь б т» тканой, апо У(х) = (х,Ь), т'х б 1». Доказательство. Пусть ет,...,е„— ортонормированный базис 1» и ат..., ая — козффициенты линейной формы / в атом базисе. Тогда вектор Ь = 2," „стгет будет искомым в силу (81.1) и (70.7). Единственность вектора Ь следует из того, что если вектор Ьт удовлетворяеттребованиямтеоремы, то(х,Ьг) = (х,Ь),'Ух б 1»,т.е.
(х,Ьт — Ь) = О, эх б 1». Так как Ьг — Ь б 1», то отсюда следует, что Ь, — Ь = д. ° 9 82. Алгебра линейных операторов, действующих в одном пространстве Обратимся теперь к линейным операторам, действующим в одном прострвяотве. Основной целью нвшня иссяедоввиий будет ионск мвтрнпы такого оператора, имвкюжй наиболее простую форму. Однако об этом речь пойдет позже. В ближайших пврвтрвфвк будут рвссмвтрнввться общие вопросы, относящиеся к операторам, действующим в одном пространстве.
Пусть 1» — линейное пространство над полем Р. Рассмотрим множество .С(г» 7») всех линейных операторов, действующих в пространстве г». В етом множестве для любых операторов выполнимы не только сложение и умножение на число, но я умножение операторов друг на друга. Из общей теории линейных операторов вытекают следук щие факты. 1'. ь(У, т') — линейное нросптрансглео над полем Р (теорема 78.2). 2'.
д.(К 1») — некпммуптаптнаное нольцо с единицей (см. (79.1)). 3'. Линейное пространство над полем Р, которое является кольцом и удовлетворяет условию 2 нз (79.1), называется алгеброй (или линейной алгеброй) над повем Р. Размерность линейного пространства прн этом называется также рагмерносптью алгебры. Из свойства 1' и (79.1) следует, что Г(К У) — олгебра над полем Р, Отметим, что множество Р™хи квадратных матриц и-го порядка над полем Р также является алгеброй.
Примером бесконечномерной алтчбры служит кольцо многочленов Р]х]. Может щэть построена другая алгебра, в которой нарушена квк коммутьтивиосттч тюг и миоцивтиввхть произведения. Примером твгюй алгебры является мжикество всех векторов геометрического прострвнстнв Ъз относительно линейньгк операций нвд векторвии и векторного щюизведеяив ($23). 4'. При построении матрицы линейного оператора А б .С(У, 1») используется один базис е пространства Ъ'.
столбцами втой матрицы з 83. Обре тяый оператор 251 являются коэффициенты разложений векторов Аем..., Ае„по базису еы, .., е„(577); матрица обозначается символом А, илн (А), и называется матрицей оператора А в базисе е. Очевидно, А, е Р""". 5'. Линейное пространство Е(У, И) изоморфно пространстпву Р""" и опп Е(К г') = иг (теорема 78,3 и ее следствие).
6'. Как и в любом кольце, оператор А й Е(У, У) можно возводить в степень и е 1Ч, и если р(г) = ае + аг4 + ... + а„г" - произвольный многочлен над полем Р от переменной 1, то однсоначно определен оператор р(А) = ае1+ а1А+ ... +апА", (82,1) называемый многочлеиом отп оператора А, Из свойств матрицы линейного оператора следует, что матрицей многочлена (82.1) от оператора А является тот же многочлен от матрицы А,: (р(А)), = р(А,). 7'. При переходе от базиса е к базису 1 = еЯ матрица оператора изменяется согласно (77.5) по следующему закону: (82.2) Из (82.2) и (58.5).следует, что одному и тому же лииейиомр оператору А е Е(г', Ъ') соответствует целый класс лгатриц, подобных друг дрргу бе О„дАи~рэхпдб,д оюлъко тогда, когда они леллютсл матрицами одного и того псе линейного оператора, дейстеркицего е и-мерном линейном пространстве над полем Р (теорема 77А).
9 . Из (82.2) следует, что есе матрицы одного и того псе линейного оператора имении одинаковый определитель. Зто означает„ что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса и оцределиетси самим оператором. Оиределитпзлем линейного оператора А е Е( г', У) называется определитель матрицы этого оператора в произвольном базисе. Обозначение: оегА. Итак, Заметим, что кольцо Е(5; Ъ') не является полем хотя бы потому, что оно некоммутативно. К тому же вопрос об обратимости линейных операторов пока остается открытым. $83. Обратный оператор Напомним определение обратного отображения и некоторые факты (з8) применительно к линейному оператору, действующему в одном пространстве. Пусть А е С(У, 'г') . Отображение А ': И -~ 'г' называется обратным оператором к оператору А, если АА ' =А 'А=У.
(83.1) Глава ХЛ~. Линейные операторы Теорема 83.1, Линебныб оператлор А б Е(У,У) обратим тогда и только тогда, когда он биективен. Теорема 83.2. Обратныб оператор единствен. Исследуем теперь свойства обратимости, относящиеся непосредственно к линейным операторам. Теорем а 83.3. Обрагпный оператор линеен. Док авательство.
Пусть А б Е(К р). Покажем, что обратный оператор А, если он существует, является линейным оператором, действующим в пространстве г'. Действительно„если А обратим, то он биективен и, значит, сюръективен. Это означает, что дця любык векторов рмрг й ъ' существуют хмхг б 1г такие, что рг = Ахы рг = Ахг. Прн атом х1 = А гры хг = А 'рг. Отсюда получим, что А (91+Рг) =А '(Ах1+Ахг) =А 'А(х1+хг) =х1+хг =А '91+ + А грг. Аналогично, А г(ар1) = А 1(сгАх1) = А 'А(сгхг) = ох1 = = оА грм Чо б Р. ° Т ео р е м а 83.4.
Оператор обратим тогда и только тогда, ' когда его матрица в произвольном базисе обратима. Доказательство. Пусть А б Е(1г, г), е — произвольный базис пространства $'. Обратимость оператора А означает существование оператора А ~, удовлетворяющего (83.1). Перейдя в равенстве (83.1) к матрицам операторов в базисе с, получим А,(А ') =(А ') А, =У. Эти равенства совпадают с определением обратной матрицы для матрицы А,.
° Замечание 1, Попутно показало, что Оператор А Е Е(К $') называется невырохсденным„если его ядро состоит только нз нулевого вектора, т.е. (83.3) и вырохсденным в противном случае. Теорема 83.5. В конечномсрном пространстве У следую* и1иг ртверхсденил равносильны: длл А е Е(Ъ; 1г) 1) АА ' =1; 4) ппА= $', б) А обратим; 2) А 1А=Х; 5) ЙегАфб; 7) А биективен. (83.4) 3) А не вырожден; Доказательство. 1 ы=ь 2 о= ° 5 с=" б о=о 7. Пусть е = (еы..., е„) — произвольный базис пространства У.
В силу свойства (79.2) утверждение 1 равносильно матричному равенству Д 83. Обратный оператор А,(А 1), = 7 или, с учетом теоремы 5.3, озотношениям А,(А ) ~ = = (А,) 'А, = 1, эквивалентным (в силу (79.2)) равенствам (83.1) и (в силу теоремы 5.2) условию Это доказывает имплнкации 1 «=» 5, 1 «=» 2, 1 «=» 6 и, согласно теореме 83.1, 1 с=» 7. 1 «=» 3 «=» 4. Утвержденна 1 в силу (83,5) равносильно равенству которое согласно (80.2) эквивалентно тому, что (83.7) Равенство (83.6) означает, что йгп1тА = йщ %' или, в силу теоремы 64.3 о монотонности размерности, что пи А = г'. Это доказывает импликацию 1 «=» 4.
Равенство (83.7) означает, что ««ппяагА = О. Это доказывает импликацию 1 «=» 3. ° Замечание 2. Теорема 835 не верна в бесконечномерном пространстве. Так, в пространстве М, всех вещественных многочленов от одной переменной для операторов дифференцирования Р и интегрированна о имеем «.Ю=Х,ноЯ7Э~Х; 2. вагб = (9), однако пп8 = (р(г)~ р(0) = О) и не совпадает со всем пространством М 'Геореыа 63.6. Произведение обратимых операторое обратимо, при этом (Ан) г = 6-1А 1 Это утверждение уже было доказано в $8 применительно к отображениям общего вида, ° С л е д с т в и е 1.
Умнохсение линейных операторов является алгебраической операциеб на мнохсестее всех обратимых операторов, дейставувидих в пространстве $~. Следствие 2. Мнохсество всех обратимых линебнмх операторов из ь(«г, Ъ') образует неабелеву мулътиплитиаивную группу Глава ХЧ. Структура линейного оператора в комплексном пространстве Приступим к попросу о поиске э классе подобных матриц, соотэетстэующих линейному оператору А б Е(У, У), матрицы наиболее простого вида. Отеег на этот вопрос соисем прост, когда лйнейнтгй оператор действует и пространствах У и И', инкэк не свезенных между собой (теорема 80.6). Гораздо интереснее (и сэожнее), когда У = Иг. В первом случае базисы пространств У и и' можно было эыбирать неэаэнсимо друг от друга, ао асором — необходимо строить базис одного пространстаа У ИГ.
Ыы уэилнм, к какому разнообразию ответов приводит эта меиыпаэ сэсбода выбора. Наттболее полные результаты этой глазы относатсп к случаю, когда У вЂ” комплексное пространство. й 84. Иыаариантные иодпространетва Пусть У вЂ” линейное пространство над полем Р и А е а.(Ъ; У). Линейное подпростренство Ь пространства )г называется инварианптным подпространстпвпм отпнпситпельно пператаора А, если для любого вектора х из Ь его образ Ах также лежит в Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
