В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Примеры. 1. Тривиальные надпространства (й) и У инвариантны относительно любого оператора А б а,(К Ъ"). 2. Для любого линейного оператора А инвариантными подпрост- ранствамибудут йегА и пи А, так как если Ах = 9, то А(Ах) = АО = д, и если у = Ах, то Ау = А(Ах) = Ахы где хз = Ах. 3. Для оператора диФФеренцирования (76.2) в пространстве М„ вещественных многочленов инвариантными подпространствами являютси все надпространства Ме, Мп.,., М„ Для линейного оператора наличие инварнантнык надпространств означает возможность построить базис, в котором его матрица имеет несколько более простую Форму, чем матрица общего вида.
Теорема 64.1. Пуспм А е с.(К,У) и Ь вЂ” нетртьвиальное инвариантное подпрастпранспзво относительно А. Тогда сутцестпвуетп базис првстпранстива У, в копьором матрица операпюра А имеет квагитпреугольную форму. Доказательство. Пусть еы..., еа — базис надпространства Б. Дополним его до базиса ем..., еы ел+ т „, е„пространства Ъ'. Построим матрицу оператора А в этом базисе. Из инвариантности Х вытекает, что Ает,...,Аеа ь Ь и, следовательно, векторы Аеы...,Аеа 584.
Инвариантные надпространства линейно выражаются только через ез, ..., е». Таким обрезом, Ает = апет+...+аые», Ае» = ат»ет + . + а»»е» Ае»+т = ак»+тат +... + а»»+те»+... +а„,»+те, Ае„= ат от+...+а» е»+ ° ..+а„„е„. Это означает, что матрица А, имеет вид аы ... аы аи»+т ...
ат а»т " а»» а»,»+т ... ат,„ О ... О а»+к»+т, а»+т,е О ... О а„,»+т ... а„ и, следовательно, имеет кввэитреугольную форму ( ) За»течание 1. Верна и теорема, обратная доказанной: переход от «84.2) к (84.1) очевиден н приводит к тому, что Ь = Ю(ем...,е») инвариантно относительно А. Т е о р е м а 84.2, Ясли простпранство тт лвллетпсл прямой сры»той нетприеиальниз надпространств Х т,..., Ь», инвариаптпных оптноситпельно оператора А е Е(У, У), то в простпранстве У сущесптврет базис, в котором матприца оператора А имеет квазидиаеона»ьнвю формв. Доказательство аналогично доказательству теоремы 84.1.
В качестве искомого базиса берегся базис е, составленный из базисов слагаемътх надпространств (теорема 66.1). Тогда в силу инвариантности подпространсгв Ьы..., Б» матрица А, имеет вид ( ) За.нечание 2, Верна и теорема, обратнаи доказанной. Индуциронанньгй оператор. рассматривая линейный оператор только на его инвариантном подпространстве, можно получить новый оператор. Пусть Š— надпространство, инвариантное относительно оператора А е Е(У У).
Отображение А)Ь: Ь -+ Ь, определенное 256 Глава ХУ. Структура лин. оператора в ломил. пространстве (А~Х,)х = Ах, ~Ух е Ь, называется индуцированним оператором, порожденным оператором А или сужением оператора А на надпространство Х, В силу линейности оператора А индуцировзлный оператор также является линейным. Он совпадает с оператором А на подпространстве Х и не определен вне его. Итак, А~Х е Г(Х, Х), Замечание 3. Из разложений (84.1) следует, что матрицы Ам ...,Аь в (84.3) явлюотся матрицами индуцнрованных операторов А~Х м...,А~Ха в базисах инвариантных надпространств Хм..., Хь. 3$5. Собственные значения н собственные векторы Пусть У вЂ” линейное пространство над полем Р. Ненулевой вектор х ч У называется собспиеннмм вектором оператора А е Ю(У, У), если существует такое чиано Л е Р, что Ах = Лх.
(35.1) Число Л называется собственным значением оператора А, соответствующим собственному вектору х, Множество всех собственных значений оператора А называется спектром етого оператора. Примеры. 1. В пространстве вещественных многочленов М„любой многочлен нулевой степени является собственным вектором оператора дифференцирования (76.2), ему соответствуег собственное значение Л = О. 2. Для оператора проектирования (76.3) любой ненулевой вектор нз Х | будет собственным вектором, отвечающим собственному значению Л = 1, так кзк 7зх = х, Мх Е Хм а любой ненулевой вектор из Х з будет собственным вектором, отвечающим собственному значению Л = О, так как 'Рх = Ох, «х й Хз. Из определения следует, что если х — собственный вектор оператора А, отвечзгощий собственному значению Л, то любой вектор ах, где о ф О, также является собственным вектором оператора А, отвечающим тому же собственному значению Л. Это означает, что любой собственный вектор порождает целое одномерное подпространство собственных векторов, из которого исключен вектор б.
Таким образом, в отношении собственных векторов понятие "различные" не имеет содержательного смысла, существеннее ставить вопрос об нх линейной независимости. Теорема 85.1. Собстееннмв векторы хм...,хь оператора, отвечающие различным собственным значениям Лм..., Лю линейно независимы. Доказательство. Применим индукцию по Й. Для к = 1 утверждение заведомо верно, так как собственный вектор является ненулевым по определению.
Пусть оно верно для любой системы из к — 1 2 86. Характеристический многочлен векторов. Докажем его для к векторов хы..., х». Прнравняем нулевому вектору линейную комбинацию этих векторов: сггхг +... + а»гх» = В. (85.2) Под действием оператора А это равенство перейдет в равенство агЛ1х1+...
+ а»Л»х» = 8. (85.3) Умножь обе части (35.2) на Л» н вычитая полученное равенство из (853), получаем, что аг(Л» — Л»)хг+...+с»» 1(Л»-г — Л»)х»-т = 8. В силу индуктивного предположения отсюда следует, что а1 = ... = = а» г = О. Тогда (85.2) перейдет в равенство сг»х» = 8. Так как х» ф й, то гг» = О. Итак, в (85.2) все коэффициенты равны нулю. Следовательно, х г,..., ха линейно независимы. ° Сл с дс т в ив, Линейный оператор, дсйсглвуипций в и-мерном пространстве, нг мвзгсет имсгаь болев чгм п различных собственных значений.
Не всякий линейный оператор ебледвет собственными вмгтвреми. Нвпрнмер, в геометрической плоскости гт оператор повороте ив упит В, не кратный и, ие имеет ин одного себствениоге вектора, твк квк нн один ненулевой вектор после такого поворота ие останется келлиневрвым самому себе.
Выясним вопрос о сувгествоввиин собственных векторов. 8 86. характеристический мнегочлен Определение, основные свойства. Это понятие уже встречалось в 253 в связи с матрицами второго и третьего порядков. Остановимся теперь на нем более подробно. Хараатеристическим многочленом матрицы А й Р""е называется функция Т е о р е м а 86,1, Хараитагристичгсиий многочлгн (36.1) магприцы А 6 Р""и является мнюгсчленом и-й степени от переменной Л над полем Р. Д о к аз а те л ь с т в о.
Пусп А = (а; ) 6 Р" "". Тогда аы — Л аж ... агв ам атг — Л ... аэл У(Л) = а т апг ... а„„ — Л Каждый элемент матрицы А — Л! представляет собой многочлен от Л степени не выше 1, значит, каждый член Йе»(А — М) являетсл многочленом от Л степени не выше и. Отсюда следует, что г(Л) — мно. гочлен от Л, степень которого не превосходит и.
Оствлосыюкэзать„ что степень этого многочлена в точности равна и. Действительно, все члены Йег(А — Л1), отличные от (ам — Л)(агг — Л)... (а„„вЂ” Л), имеют степень, не превосвщящую и — 2, следовательно, в многочлене ДЛ) слагаемые, содержапше Л" ' и Ли, определяются только членом 258 ГлэваХ'г". Структура лин. оператора вяомпл. пространстве (ам — Л) (ага — Л)...
(о „вЂ” Л), который согласно формулам Виста имеет вид ( — Л)" + (ам + агг +... + а„„)( — Л)" г + д„г(Л), где д„г(л) — многочлен от Л степени не выше и — 2. Таким образом, У(Л) = ао-1. а1(-Л) + аз( — Л) + .. + а„( Л)э-1+ ( Л)о (862) является многочленом и-й степени от Л над полем Р. ° Замечание 1. Попутно найден коэффициент а„1 характеристического многочлена (86.2): а~ г — — аы + ° + а„„. Кроме того, ао = У(0) = аеФ А. Более того, нетрудно показать (используя свойства определителя) „что а„ь равен сумме главных миноров й-го порядка матрицы А. Итак„в (86.2): ао = аву А, а„1 = Фг А, аг я — сумма главных миноров Й-го порядка матрицы А. Теорема 86.2.
Характеристические многочлени подобных матриц совпадают. Доказательство теоремы и сама теорема приводятся в $58 (теорема 58.1) . ° Следствие. Все матрицы одного и того же линейного оператора и.меют одинаковые характеристические многочлекм. Такам образом, характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от базиса, а определяется самим оператором. Характеристическим многочленом оператора называется функция У(л) = <1е1(А — Л2), Л Е Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
