В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 50
Текст из файла (страница 50)
° 8 78. Линейное пространство операторов На множестве С(У, И') введем операции сложения операторов и умножевня оператора на число о Е Р. Суммой линейных операторое А, В е С(У, Иг) называется отображение С: У -~ Иг, выполняемое по правилу Сх = Ах + Вх, Чх е У. Обозначение: А+ 6. Итак, (78.1) (А+6)х =Ах+Вх, ухе У. Произведением линейного оператора А е С(У, Иг) на число о Е Р называется отображение С: У -~ Иг, выполняемое по правилу Сх = = оАх, Чх е У. Обозначение: аА.
Итак, (аА)х = аАх, 'гх е У. Теорема 78.1, Длл любнхопераюпороеА,В е Е(У,И') и любого числа а ь Р А + 6 Е С(У, 1У), оА Е С(У, И'). Доказательство. Действительно, для любых х, у Е У согласно (78.1) имеем (А+ 6)(х+ у) = А(х+ у) + 6(х + у). В силу линейности А„В н аксиом линейного пространства (А+ 6)(х+ у) = (Ах + Ау) + + (6х + Ву) = (Ах + Вх) + (Ау + Ву) = (А+ 6)х + (А+ 6)у. Аналогично показывается, что (А+ 6)(Лх) = Л((А+ 6)х) для любых х е У, Л е Р. Следовательно, А+ 6 е С(У, И'). Точно так' же доказывается, что оА е,С(У, Иг).
° Следствие 1. Слоггсениг операторов и умногюение оператора на число яаглютса енутпренним и енеигним законами композиции на мнооюгсгпее С(У, $Ф') . 8 79, Умножение линейных операторов Т е о р е м а 78.2. Множество С(У, И7) — линейное пространство над полем Р относиупсльно введенных выизе операций. Доказательство. Достаточно проверить аксиомы линейного пространства, взяв в качестве нулевого элемента нулевое отображение Сз е С(У, И'), а в качестве противоположного к оператору А отобре жение — А к С(У, И'), выполняемое по правилу (-А)х = — Ах, чх и У. Все аксиомы вытекают из соответствующих аксиом линейного пространства, примененных к У н Иу, и проверяются по единой схеме.
Проверим, например, ассоциативность. Для любых А,В,С е С(У,И7) и любого х е У ЯА+ 6) + С)х = (А+ 6)х -~ Сх = (Ах+ Вх) + Сх = Ах+ (6х + Сх), (А+ (Н+С))в =Ах+(В+С)х = Ах+(Вх+Сх). Таким образом, (А+ 6) + С = А+ (В+ С). ° Теорема 78 8. Если йшУ = п, дппИт = т, то линсйнвс щюстранснзвв С(У, Иу) изоморфно пространству матриц Рш"". До к аз атель ство.
Зафиксируем базисы е и у" пространств У и И7. Построим отображение 1о: С(У, Ит) -з Ршх", положив у(А) = Ау,. Это отчзбражение биективно в силу теоремы 77.1. Покажем, что оно сохраняет законы композиции, т.е. что (4+6)уе = Аус+Вуе~ (оА)у» = оАус- (78.2) Пусть Ау, = (ан), Ву, = (Ь;~), Тогда, согласно (77.1), Аеу = = ,'>; заеД, Вез — — ~; зб,ф, поэтому (А+В)еу — — Ае. +Ве.
= = х,; з(ае + оо)уь В силу определения (77.2) матрицы линейного оператора отсюда следует первое из соотношений (78.2), Аналогично провернется второе соотношение. ° Следствие 2. с(пп.С(У,И7) = ЙппУ п(шИ7. за и е ее и и е. соотношения (782) ознвчектц что при сложении операторов их матрицы складываются, при умножении опервторв нв число сто матрице умножвезся ив зто же число. 8 79. Умножение линейных операторов Тот факт, что линейные операторы обрезуют линейное простренство, используетсе редко. Дело в том, что о линейных операторах можно сквзвть сорелле больше, используя епзе одну операцию — умножение операторов, знакомую по $8 квк суперпозиция или композиция отображений.
Напомним определение. Пусть У, уУ,Я вЂ” линейные пространства нзд полем Р. Произведением линейных операторов А Е С(У,И7), В Е С(И7,6) явзывается отображение С: У -> В, выполняемое по правилу Сх = 6(Ах), 'ех е У. О б о з н а ч в н и е: ВА. Итак, (ВА) х = Н(Ах), Чх Е У. Теорема 79.1. Если А е С(У,И'), 6 е С(И7,6), то ВА е е .С(У, Я). Доказательство.
Линейность оператора ВА проверяется непосредственно: для любых х, у к У и а е Р Х'лава ХХУ. Линейные операторы (БА)(х+у) =6(А(х+ у)) = 6(Ах+Ау) = = В(Ах)+ 6(Ау) = ВАх+ ВАу, (6АНох) = 6(А(ох)) = 6(о(Ах)) = оВ(Ах) = сг(ВАх) = (оВА)х. н Произведение линейных операторов определено не длн любой пары линейных операторов. Однако если это произведение имеет смысл, то: 1) (АБ)С = А(ВС) (ассоциатявность); 2) а(АБ) = (оА)6 = А(аВ); (79,1) 3) (А+ 6)С = АС + БС, А(6 + С) = А6+ АС (дистрибутнвность).
Эти свойства легко проверяются непосредственно. Умножение линейных операторов не обладает свойством коммута- тивности. В самом деле, о коммугативности можно говорить лишь для операторов, действующих в одном пространстве, т.е. для операторов А,В й;С(У, У). Но и в этом случае умножение не коммутативно. В этом можно убедиться на простом примере операторов дифференци- рования Э и интегрирования о в пространстве М всех вещественных многочленов от одной неремениой. Теорема 79.2. ХХри умножении линейных операторов их матрицы умножаются, т.е.
если е, Х,д — базисы пространств У, И', Я, то (ВА)з = БзХАХ' (79.2) Доказательство. Пусть Ауг = (аз),6зу = (ЬЕ)~ (БА)зе = (сн)1 ббш У = и, йт Иг = т, ббгп Я = к. Тогда в силу (77.1) ВАех —— ~~. с,уд; . (79.3) В то же время ВАез = В(Аеу) = В(~, г аггХг) = Е =1 агу(ВХг) = ю г ,а„~ .,Ь,,д,= Х,,Хл,а„Ь;„дг= 2„"г,(Ц,,Ьыа„)дг. Сравнение этого разложения с (79.3) приводит к равенству с,. = Ь,,а, -, которое означает (79.2). ° 580. Образ и ядро линейного оператора Образом линейного оператора А й С(У, Иг) называется множество пи А = (у е )У ~ Вх е У: Ах = у), ядром оператора А — множество 'кегА = (х е У ~ Ах = 6).
Примеры. 1. В пространстве многочленов М„для оператора дифференцирования (76.2): ЬпР = М„г, нег Р = Ме. 2. Для оператора проектирования (76.3): пп'Р = Хч, Ьег'Р = Хг. г 80. Образ и ядро линейного оператора 3. Для оператора отражения (76А): 1шИ = И, кегЯ, = (9). Теорема 80.1. Если А Е Я(У,Иг), то кегА — линейное надпространство пространства И, ппА — линейное подпространстао пространства ИГ. Эти утверждения вытекают нз теоремы 18.1, условия которой легко проверяются.
° Рангом линейного опграпюра называется размерность его образа, а де4еатом — размерность ядра. Обозначения: гйА, йе(А. Итак, гйА = днп'пи А, сЫА = йппкегА. Теорема 80.2. Ясли ем...,е„- базис просгпранства И, то ( о 1шА=Е(Аег,...,Ае ). Доказательство. Достаточно показать, что для мжокеств (80.1) имеет место двустороннее вложение: с одной стороны, если у и ппА, то у = Ал для некоторого вектора з 6 И, т.е. у = = АД," ~ гче1) = ~,".
гя;Аег Е Е(Аем...,Ае,„); с другой стороны, если у Е ЦАем., ',Ае„), то у = ~'„" г я;Ае, = АД'„". г х;ег) = Ая, где к = 2„, х;е;, т,е. у б пи А, ° Теорема 80.3. Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в произвольной паре базисов. Доказательство. Из теоремы 80.2 и равенства (64.3) следует, 8А = а) А = й1 Я(А „...,А .) =.8(А „...,А.). Р ° системы векторов Аеы...,Ае„совпадает с рангом системы арифметических векторов, составленных нз координат этих векторов в базисе 7 пространства Ь', т.е. с рангом системы столбцов матрицы Ау,. ° Теорема 80.4 (о ранге и дефекте). Ясли А е;С(Ъ; И'), ой А+ йе1 А = йпп Ъ'. Доказательство.
Пусть кегА ф Щ и еы...,еь — базис гвгА, Дополним его до базиса еы...,еыег+ы...,е„пространства Ъ'. Согласно теореме 80,2, ппА = Е(Ае1,...,АеыАег+м...,Ае„) =,С(Ась+к...,Ае„). Докажем, что векторы Аеь+м...,Аг„линейно независимы. Пусть это не так. Тогда длн нетривнглыюй линейной комбинации этих векторов имеют месго соотношения ггь+гАеь+г + +... + о„Ае„= й или А(аг+1егвг +... + опе„) = й. Следовательно, ог+1гь~м +...
+ гг„е„б нег А. Это означает, что вектор а ь+1ег+1 + +... + а е„линейно выражается через еы..., еы что невозможно в силу линейной независимости ег,..., ег, еь+м..., е„. Таким обрззом, йшппА = п — к, йш1гегА = л. Отсюда следует (80.2). Пусть йегА = (й). В этом случае можно применить то же самое доказательство, с той лишь ргзницей, что теперь еп...,е„— произвольный базис пространства У. ° Глава ХЛ1 Линейные операторы Т е о р е и в 80.5. Мноогсестео всех прообразое еектора уе пи А деллетсл линейным многообразием с напраелеощим подщюстрансгпеом )гегА.
Доказательство. Пусть хо — один нз прообразов вектора у, К = 1х е Ц Ах = у) — множество всех прообразов у, Н = хе + кег А. Тогда К = Н, твк как дли этих множеств имеет место двустороннее вложение: тх е К =а х = хо +. (х — хо) = хо + 1, где 1 = х — хо е нег А; 'э'хе Н=г*=хо+г, ~е)гегАм Ах= у. и э' а и е ч а н и е.
Теорема 80.3, сформулированная иа матричном языке, созна дает с теоремой 30.3 о множестве решений неоднородной системы уравнений. Теорема 80.6. Нусить А е .С(У, И'), гхА = г, дппп'гг = и, Йш 'гу = т. Тогда суигсстеуют базисы с и 7 щюстрансгле Ъ' и й', в которых операпюр А имеет матрицу Хг е Рщх" вида е которог7 есс элементы разны нулю, кроме верных г диагональных злеменгное, раенгах 1. Доказательство. Возьмем произвольныебазисы 1нг щюстрвнств Ъ' и гУ. Пусть А,г — матрица оператора А в паре базисов г и а Тогда, согласно теореме 80.3, гйАм га г.
В сиЛу теоремы 16.10 отскща следует, что матрицы А,г и 1'„эквивалентны. Следовательно (теорема 77.4), они являются матрицами одного линейного оператора. Отсюда вытекает утверждеяне теоремы. ° Базисы е и 1, в которых оператор А имеет матрицу Г, называют канонической парой базисов. Теоремой 30.6 решаетсе вопрос о наиболее простой форме матрицы линейного оператора, действующею в различных пространствах у и Иг. Очевидно, зтог вопрос далеко не праздньгй, твк как одному и тому же линейному оператору соответствует целый класс эквивалентных друг другу матриц и выбор самой простой иэ них упрощает асгледование свойств оператора. Остановимся более подробно на одном из частных случаев линейных операторов — случае, когда пространство Йг совпадает с основным полем Р.
$ 81. Линейгные формы Определение и свойства. Как уже отмечалось в 376, линейное отображение у ." г' -г Р линейного пространства эг над полем Р в это ,и г Вгюг ( г Еюээгэ Л, нрбсгаранстее у . з 81. Линейные формы 249 Примеры. 1. Простейшей линейной формой в пространстве Ъ' является отображение у т К -т Р, определенное равенством Дх) = О, где О е Р. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
