В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Доказательство. Необходимость вытекает из изоге»рфизма евклндовых (уннтарных) пространств как линейных проеграиств. Достаточность. Пусть г» и %~ — два евклндовых (два унитарных) пространства и пусть д?ш '㻠— — дпп Ъ~ = и. Выберем в ~» и гг ортонормированные базисы е»,..., е„и е»,..., е'„и построим отображение»г» ?г» -+ ур, положивдля каждого векторах= ,"» ". х»е; е у» вектор»г(х) = Х " » х,е',. Из доказательства теоремы 63.1 следует, что отображение»г — кюморфизм линейных пространств г'» и гз.
Оно сохраняет скалярное произведение, так как если х = Х, х»е», у = К; » у,ен то согласно (70,7) (х у) = Х:"; »х»у» М(х) » (у)) = С»=» х»у». ° Глава Х1'Ч. Линейные операторы В этой главе рассматриваются отображения Я8), которые действуют в линейных пространствах. Отображения в отличие от матриц будем обозначать рукописными латинскями буквами (нелример, А), образ вектора х — символом Ах . й 76. Определение и простейшие свойства Терминология, примеры. Пусть Ъ' и И' — линейные пространства нвд общим полем Р.
Отображение А: У-э 1Ф' (76.1) называется линейным отображением пространства У в пространство И', если для любых з, у е $~, а е Р 1) А(з+ у) = Ая+ Ау; 2) А(ая) = аАя. Линейное отображение (76,Ц называют также линейным преобраэоеанисм пространства И е пространство И' или линебне4м оператором, дебствуюи1им из простпранства У в пространство УР . Если У = Й', то линейное отображение А: К вЂ” ~ Ъ' называют линейным отобраоюением (преобразованием) пространства 1' в себя, а чаще — линейным оператором, действующим в У..
Если 1У = Р, то линейное отображение (76.1) называют линейкой формой или линебным фующионалом е пространстве 1' . Линейный функционал обозначают строчными латинскими буквами (например, У), пря этом образ вектора я — символом 7'(я) . Множество всех линейных операторов, действующих вз пространства И в пространство 1т', будем обозначать символом л.(К В') . В соответствии с определением равенства отображений ($8) операторы А„В й,С(КИ') равны, если Ая = Их, 'тх е И, Примеры.
1. Пусть ̄— пространство вещественных многочленов степени не выше и. Отображение Э: М„-+ М„, определенное юг) = р'(1) (76.2) является линейным и называется оператором дифференцирования 2. Пусть М вЂ” пространство всех вещественных многочленов от одной переменной.
Отображение с Бр(1) = р(х) бз, О является линейным и называется оператором интегрирования. д 76. Определение и простейпхие свойства 3. Пусть т = Хт бт Х,з. Отображение 7т: 1т -+ И, определенное правилом Рх = хт ( для вектора х 6 И с разложением х = хт + хг, где хт и Х т, хз б Хт, является линейным и называется оператором првентпйрвванил првстранстпва И на Х,т параллельно Х,г . Отображение К: И вЂ” т У, определенное правилом (76.4) мх = хт — хт, также нвляется линейным и называется оператиорвлт отрахсвнил простпранства тт отпносллпельна Х,т параллельно Х,з. 4. Отображение О: тт -т И', которое каждый вектор х б У переводит в нулевой вектор д Е Ит, является линейным и называется нулевмм оператором. 6. Отображение Х: И вЂ” т И, которое каждый вектор х б 1т переводит в х, является линейным и называется тогтсдестпввннмлт (единичнмлт) оператнороль 6.
Изоморфвзм дт линейных пространств И н И', очевидно, является линейным оператором, действующим из тт в И', Простейшие свойства. Из определения вытекают следующие свойства линейных операторов. 1'. Линейный оператор переводит пулевой венпюр в пулевой вектор, так как Адт = А(Ох) = ОАх = дг (здесь дм дз — нулевые векторы пространств К и ут" соответственно). 2'. Линейный вперат:,ор сохрамлетп линейные колтбинаттии, т.е.
пере.- водит линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию образов с теми же козффицнентамн: А(",'т" т емх,) = Ят т а,Ахь ь ь 3 . Линейный оператпор сохраняет линейную зависи,ность, т.е, переводит линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую. Задание линейного оператора. Свойство 2' говорит о том, что для задания линейного оператора А Е С(К Ит) достаточно определить его только на векторах ет,..., в„некоторото базиса пространства тт.
Зная векторы Аем...,Ае„, можно однозначно найти образ любого вектора х = Х '," т х,ет б И: Ах = Х ",. т хтАе, с И'. Формализуем зто рассуждение. Теорема 76.1. Пустпь ем...,е„— базис пространства К, а дт,..., д„— произвольные вснтпорм пространства И'. Тогда сущестпвует, и притолт едимстпвемммй, линейный оператор А Е Е(К И'), который переводит вентврм ем..., е в векторы дм .. д„соответственно. Доказательство. Построим искомый оператор, положив для каждого вектора х = Х "., х,е; б У и Ах = ~~~ хтдт. (76.5) Тлаеа Х1К Линейные операторы Из единственности разложения вектора х по базису следует, что правило (76.6) однозначно определяет образ вектора х, при этом, как легко проверить, Ае; = дь г = 1, и. Линейность построенного оператора вытекает из линейности координат. Оператор А единствен, так как если  — любой другой линейный оператор, нереводящий векторы еп..., г в дм..., д„, то и и в Вх = 6(~ х;е;) = ~ х;Вс; = ~ , 'х;д, = Ах, 'г'х е У.
ы1 ггп з=1 Следовательно, В = А. ° Следствие. Линейнмс опсратпоры А,В ц Ю($', И~) равны пюгда и только тогда, когда ани совпадают на векторах базиса и. й ТТ. Матрица линейного оператора Построение матрицы линейного оператора, Пусть с = (ем, ..,е„) и у = (уы..., у ) — базисы пространств У и И'. Как следует из теоремы 76Л, линейный оператор А е Е(К И') однозначно определяется заданием векторов Асы...,Ас„. В свою очередь, векторы Ас,, г = Т, и, однозначно определяются своими координатамя в базисе у, т.е. коэффициентами разложений Ае1 =аг1~1+аг1.~г+ "+а~1Хт1 Аег аггЛ +агггг + . + ага21т (77, Ц Ае„= аь г1+ агаУг + . + а Уи.
Матрица ам агг ... аы ам ааг ... аг„ ащ1 аз ... а„ Аге— (77.г) называется матрццвб оператора А в паре базисов е и у. Для обозначения згой матрицы используется также символ (А)у,. Из единственности разложения вектора по базису слезет, что прн фиксирпванных базисах е и 7' матрица линейного оператора определена однозначно. Теорема 77.1, Пусть дпла' = п, апай~ = т. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между линейными опгратврамц иг с".(г", Ит) ц матриц щи иг Ртх" До к а з ат е л ь ст во. Построим это соответствие.
Зафиксируем базисые=(еы „е ) и~=(,~м...,~ ) пространств г' нгг'.Поставимв соответствие каждому линейному оператору А е С(К И') его матрицу Аг, в паре базисов е и у. Очевидно, что матрица Ау, е Р определена однозначно. Докажем биективность построенного таким образом отображения. Действительно, оно: з 77. Матрица линейного оператора 1) сюръективно, так как любая матрица В = (Ь;1) б Р"'"" является матрицей линейного оператора из С(у', И»), переводящего векторы с, в векторы ~,, 5;;Д, .1 = 1, и (в силу теоремы 76.1 такой оператор существует).„ 2) инъективно, ибо различные операторы из,С(1» И») не совпадают на базисных векторах и, значит, имеют разные матрицы.
° ддхвзаниая теорема играет важную роль в теории линейных операторов. Она позволяет описывать свойства линейных операторов через известный нам аппаРат теории матриц. В дальнейшем мы увидим, что связь мвиду операторами и и~явь цами более теснав, чем взаимно однозначное соответствие. Координаты вектора и его образа. Пусть А е С(1», И»), е и у — базисы пространств И и И'. Т е о р е м а 77.2. Если д = Ах, то (77.3) фу = А»ехе ° Доказательство.
Пусть х = ~„," ах;е;, у = ~ ~, рсЛ и Ауе = = (аи). Утверждение (77 3) равносильно соотношениям рл = ~~~ аиху „1 = 1,т. »=1 (77 ) Ам = ~-'1 Ау~С. (77.5) Доказательство. Дляпроизвольного векторах е 1»иегообрв за у = Ах и силу (77.3) имеем йу = Ау,х„14 = Амхе. (77,6) В свою очередь, согласно (17.8), х, = Сха, уу = Врз. Подставив эти соотношении в (77.6), получим, что Вр, = АуеСх~ или ВА„х» —— = А»еСх,.
Так как зто ссютношение имеет место длн любых хм то ПА,~ — — АСС. В силу невырожденности матрицы перехода отсюда следует (77.5). ° Сл е дс та ие 1, Матрицы лиисйиваа оператора в различных парах базисов эквивалентны ( $16). Докажем нх. Имеем у= Ах=А( .,х и ) = ~ -,х Ае = (в силу (77.1)) = Х:,"=1*1 Е;=1 ан.7. = ~.;; г(Ц ", пуху)Л, Из ШШнственности разложения вектора у по базису у следует (77.4). ° Матрицы оператора в различных базисак. Пусть е и 4 = еС— два базиса пространства И с матрицей перехода С, а у и а = уху— два базиса пространства И» с матрицей перехода 1», Одному и тому же линейному оператору А е С(У, И») в паре базисов в и /" соответствует матрица Ау„а в паре базисов 1 и а — матрица Ам. Теорема 77.3.
Матрицы А», и А„лиисйнотв онврвлюра А 6 С(1» И») в различных парах базисов связаны соотиоиаемиеле Глава 7ПУ. Линейные операторы След сто ив 2. Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора багисое. Имеет место более общее утверждение. Теорема 77.4. Дее матрицы А и В над полем Р одинакового размера т х и эквивалентны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же линейного операгпора А ь Е(У, 1У), где У и Иг — линейние пространства над полем Р рагмерностпей и и т соответственно. Доказательство.
Необходимость. Пусть А,В е Р""" и В = В 'АС. Рассмотрим любые линейные пространства У и Иг нвд полем Р текие„что ппп У = и, ппп ьУ = т. Возьмем в пространстве У произвольный базис е, а в пространстве 1У вЂ” базис у'. В силу взаимно однозначного ссютветствня между Р "'" и Е(У, Иг) (теорема 77.1) существует единственный оператор А е С(У, И~), который в паре базисов е и 3' имеет матрицу А. Тогда согласно (77.5) матрица В будет матрицей этого же оператора в паре базисов $ = еС и г = у1г. Достаточность рассмотрена в теореме 77.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
