В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 44
Текст из файла (страница 44)
К этой аозможностн мы будем неоднократно прнбагэаьь проааэн аса аычнгляння а арнфматнческнх пространствах, а '"рисуя" — а геометрических. Теорема 63.1 (критерий изоморфизма). Два линейных простлранства над общим полем изоморфны тозда и только тозда, когда их размерности совпадают,. Доказательство. Необходимость вытекает изсвойства"г" юоморфных пространств. Достаточность. Пусть )тг и тгз — линейные пространства над полем Р и пусть дпла'~ = д)ш 'тгз = и. Выберем в этих пространствах по базису: пусть е1,..., е„— базис ты а ут,..., ӄ— базис Уз, Построим отображение х т )г1 -+ 1тз, поставив в соответствие каждому вектору х = 2,', атет Е 1~~ вектор у = 2,',.
1сттут Е $~з (т.е. вектор, который имеет те же координаты, что и вектор х), В силу единственности разложения вектора по базису отображение ут бнективно. При этом у — изоморфизм, так как координаты вектора обладают свойством линейности. ° Следствие. Любое п-мерное вещестпвенное простпранство ьзоморфно арифметическому пространстпву Ва, а любое и-мерное комплексное простпранство — арифметпическому пространству С». Изоморфизм ун у -+ Ит, построенный при доказательстве теоремы 63.1, определяется двумя базисами ет,..., ея я,~з,..., ~„этих пространств и переводит вектор х = Щ 1 хаен в вектор у = Еь 1 хаХь имеющий в базисе 71,..., ~„те же координаты, что и вектор х в бэ зисе ет,...,е„. В частности, если ег,...,е„— базис пространства )т над полем Р и т1,...,,ттт — естественный базис аРифметического пРосгранства Р", то отображение ум 1т -+ Р", которое каждому вектору х = 2 " хьеь ставит в соответствие арифметический вектор (хт,..., х„) пространства Р", является изоморфизмом.
Этот нзоморфюм называется координатным изоморфизмом, определенным болисомен.- *е Координатный изоморфизм "заменяет" линейное пространство (сколь угодно экзотической природы) конкретным арифметическим пространством и сводит решение многих задач теории линейных пространств к вычислениям в поле. $ 64. Линейные подпространства. Линейная оболочка напомним определение лннавного подл рост ранстаа, данное а 118 (оно остаатся ненэменным н а случае лннааного пространства над пронзаольным полем). Подмножество б лннааного пространстаа У над палейР нэзыааатгл лннеанмм под1цюстнранстааом нрасжранснэта Ъ', асан ано само яаяяатгл яюыаным просчранстэан огноснтеяьна законов компознцнк а )' . Другое определение линейногО Подпросгранстаа, зкэнаааентноа этому, усганаалнааегся известной таорамоа 18 1, которая нмэят место н э общем случае.
664. Линейные надпространства. Линейнзл оболочка 215 как было установлено в Ьзо, множество всех решений однородной системы уравнений А =О (64.1) с и неизвестныыи образует линейное подпрострвнетво арифметического пространства и" (илн Р" в общем случае, когда А 6 Ре1хв). Про вто подаространство Ь говорят, что оно задано однорогщой системой (64А), и записыввюг в вили Ь: Ах=О.
(64.2) Другой способ задании линейного подпространства дает понятие линейной оболочки. Пусть аг,..., аа — система векторов линейного пространства )г нзд полем Р. Линейной оболочкой системы векторов ам..., ай называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов. Говорят также, что линейная оболочка нагпянрта на вгкторы а1,... „аа. Обозначение: Ю(аы...,аа). Итак, а Е(аы...,ав) = а= ~, ага;(сгг6 Р, 4=1,Ь г=1 Из определения следует, что каждое конечномерное пространство является линейной оболочкой векторов своего базиса.
В частности, линейное надпространство, заданное однородной системой (64.2), является линейной оболочкой фундаментальной системы решений (630). Теорема 64.1. Если аг,...,ай — векторы линейного простраисгпва И, то а.(аг,..., аь) явллегпся линейным подпросгпранстваы просгпраиства У. Это утверждение вытекает из теоремы 18.1, так как для линейной оболочки Е(аы, „аа) обе импликации имеют место. ° Итак, линейная оболочка а.(а1,...,ай) — это линейное надпространство, которое порождается векторами а1,..., аа . Т е о р е м н 64.2. Дее системы вгкгпоров линейного пространсгпва эквивалентны пгогда и шолько тогда, когда ик линейные оболочки совпадают. Доказательство.
Необходимость. Пусть системывекторов аы ..,, аа и Ь1,..., Ь эквивалентны. Тогда Ю(ам " ., ав) =,С(Ьы...,Ь,„), так как для этих множеств, как легко проверить, имеет место двустороннее вложение, Достаточность очевидна, ° Сл г дс гп ни е 1. Линейная оболочка системы вгктпоров сввпадаеш с линейной оболочкой своей базы. Слгдств.ие 2. Размерность линейной оболочки сиспгемы векторов равна рангу этой системы: бная(аы...,аг) = гк(аг,...,аа). (64.3) Теорема 64.3 (о монотонности размерности).
Размериосгпь линейного подпросгпранства не превоатодит размерности пространства. Подпросгпранство той зюе размерности, чшо и все пространство, совпадает с пространством. 216 Глава ХХХ. Линейное пространство нвд произвольным полем Доказательство. Пусть Х вЂ” линейное надпространство пространства У, т(ппХ = Й, дпп 1т = и.
Тогда Й < тг, так как в противном случае в и-мерном пространстве Ьт существует /с, где Й > и, линейно независимых векторов (например, векторы базиса Х). Пусть к = и н ет,...,е„— базис Е. Так как дйи г' = п, то векторы ет,...,е„ образуют базис И (г17, утверждение 1).
Таким образом, Х = Ъ' = = 4(ет,...,е„). ° $ 65. Сумма и пересечение линейных подпрострвнств Пусть Х,т,...,Хъ — линейные подпространства линейного пространства т'. Суммой надпространств Х т,..., Хь называется множество всевозможных векторов х, представимых в виде (65.1) х =хт+... +ха, где хт Е Х„, ! = 1,к. Обозначение: Хт+...+Хг или Х',, ! Хч. Итак, ъ Х ! = (х = х! +... + ть ~ хт Е Ьт, т = 1, Ц .
т=! Представление (65.1) вектора х называется раглогтсекиеи векптора х по подпростпранстеам Хт,..., Хь. Пересечением подпространсп!в Х т,, Хь называется множество Ь!П...ПХь=1хеУ~хеХт, !=1,Ц. Заметим, что пересечение надпространств не пусто, так как всегда содержит нулевой вектор д пространства. Теорема 65.1. Сумма и пересечение подпространств линейного пространстпва Ъ' лвллютсл линейными подпространствами пространства !т. Это утверждение вытекает из теоремы 16,1, так как для Х,'! Х; г и П, Ха справедливы обе нмпликапии. ° ь Заметим, что каждое из подпространств Х;, ! = 1,к, а также ик пересечение являются линейными нодпространствами суммы Х ! + + + Х,ь, а пересечение Х! г!... П Хь — линейным подпространством каждо! кз Х„В'=1,й.
Теорема 65.2. Сумма ликейкых подпростпранств есть линейная оболочка совокупности базисов слагаемых поткространсптв. Доказательство.Пустъет,...,е 1Ут,...,Хг, ° °,Ут,- °,У! базисы надпространств Хт, Хг,..., Хь соответственно. Положим И~ = = Е(ет,..., е, Х„..., Х„..., д„...,у ) .
Тогда й' = Х, + + Х ы так как для этих множеств, как нетрудно проверить, имеет место двустороннее вложение. ° Сл е д с то в не Размерность суммы линейкых подпростпранств равна рангу совокупности базисов слагааиых подпростпранств! д 65. Сумма н пересечение лянейяых надпространств 217 оппЛ~' Х» = 16(е1 . ~~тв~Х1.- ..
Уа . ° - ~д1 . - Ж). Это утверждение вытекает из теоремы 65.2 (с учетом теоремы 64.3). Т е о р е и а 65.3. Длл людмз дврл лннейнмх педнростренств Ь1 и Х т линебногв пространства У нмеет место соотношение Опп(Х1+Хт) = дйпХ1+ОппХт — 15п1Хч Г~Хе. (652) доказательство, рассмотрим сначала случай, когда Х,1Г1 Г1Х,з ч1 (д) . Выполним следующее построение. Пусть Х1,..., Х, — базис Х 1 П Хт, Так как Х1 П Хе С Х1 „Х1 Г1 Хз С Хе, то согласно теореме о неполном базисе векторы Х1,..., Х, можно дополнить как до базяса Х,1, так и до базиса Бз . Пусть еы..., е,„, Х1,..., Х, — базис Х,1, а ., Х,,дм..., д~ — базис Хт.
Покажем, что система векторов (65.3) е1 "'е Л ",Л д1 -,дс образует базис Х1+Хт. Действительно, она порождает Х1+Хз в силу теоремы 65.2 и, кроме того, она линейно независима, так как если ,у сне1+~„АЛ+~ Ъд1 =д, (65.4) д = ~ у1д1 = — ~~~ а1е1 — ~ ~Щь (65.5) 1=1 «=1 «=1 Отсюда следует, что вектор д является вектором как Х,1, так и Х,ю т.е. д ~ Х 1 П Х э я, следовательно, вектор д является линейной комбинацией векторов Х1,..., Х,.
Из единственности разложения вектора д по линейно независимой системе векторов ем., ., е, Х1,..., Х следует, что в (65.5) а1 = ... = а = О. Тогда в (65.4) в силу линейной независимости Х1,..., Х„дг,...,дс получим, что р1 = ... = д, = О, т~ —— ... — — ъ» — — О.
Таким образом, только тривиальная линейная комбянация векторов (65.3) равна нулевому вектору. Итак, векторы (65.3) образуют базис Х1 + Хт и, следовательно, Ют(Хч+ Е,) = т+ е+1. С другой стороны, согласно схеме построения векторов (65,3), 4. Х,+61 Х„-б Х„г Х =(. +в)+(е+~)- =, +в+1. Сравнение этого соотноп1ения с (65.6) дает (65.2). В случае когда Х'1 11 Хо = (д), доказательство проводится аналогично, тоньке в нем не участвуют векторы Х1,, Х ° 213 Глава ХП. Линейное пространство нвд произвольным полем $66.
Прямая сумма подпространств Критерии прямой суммы. Сумма надпространств линейного пространства называется прямой суммой, если разложение каждого вектора в ней по слагаемым подпросгранствам единственно. Обозначение: Хг й«" ЕХь. Теорема 66.1 (критерни прямой суммы). Длл надпространств Хм..., Хь конечномерного линейного пространства У следу«ощие угавержденил равносильны« 1) сумма надпространств Хч,..., Х ь — прлмал; 2) совокупность базисов надпространств Хч,..., Х ь линейно независима' 3) совокупность базисов надпространств Хм..., Хь образует базис суммы 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
