В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Множество Н всевозможных векторов вида ха + х, где х Е Х, изливается линейным многообразием (или жнейкам а4Фииимм многообразием, илн линейным гао и ~имм многообразием) иросгпраисгпеа У, полрчгииим сдвигом подвросчпранстеа Х иа ееюпор хе. Вектор хо называется ееютюром сдвига, а надпространство Х вЂ” направляющим подароегпраисювом линейного многообразия Н. Обозначение: Н = хо+ Х.
Итак, хе+ Х = (хо+4х Е ЦОчевидно, линейное подпространство Х является честным случаем линейного многообразия, когда вектор сдвюв хе Е Х, Р .1 Пример. Пусть иа плоскости Ъ'г задано некоторое подпространство Х„т.е. совокупность всех векторов х, концы которых лежат на прямой, проходящей через начало координат.
И пусть ха — некоторый фиксированный вектор плоскости 1ряс. 1). Тогда нетрудно показать, что линейное многообразие хо + Х есть множество векторов, концы которых лежат на прямой, полученной из прямой Х сдвигом ее ва вектор хе. Из определения вытекают слегующие факты. 1 . Вектор сдвига хо принадлезхига лииейиомр мкогообразюо, так как хе = хг + 9, й Е Ь. 2'. Разиостпь двух веюлоров линейного многообразия врииадлежига иаправллкваемр иодпросаграисгпер, твк квк если г1 = хо + х, х Е Х1 гг = хо + У У Е Х, то г1 — гз — - х — у Е Ь.
Теорема 16.2. Два линейных многообразия Н1 = хг + Хч и Нг = ха+ Хо соепадаклп тогда и гаолько тогда, когда Х1 = Х,з = Х, и хг-хз Е Х.. Доказательство. Необходимость. Пусть Н1 = Нг, тогда х1 Е Нг и, в силусвойства2 |хг — хг Е Хг. Покажем,что йч — — Хг. Для произвольного вектора х Е Ь| имеем х1+х Е Нь Так как Н1 = Нг, то Хлева ХК Введение в теорию линейных пространств существуег вектор р б Х г такой, что х1 + х = хг + р.
Таким образом, (хэ х1)+у~ где хг х1 с Х~г~ у с Х~г. Отсюда следует, что х е Е2 и Х1 С Хг. Аналогично доказывается, что Хг С Х ы Оба вложения говорят о том, что Х1 = Х г. Достаточность. Пусть Хч = Хг = Х и х1 — хг ~ Х. Тогда для произвольного вектора г й Н1 имеем г = х| + х, где х б Х,, илн г = ха+ (х1 -хг)+ х, х б х,. так как х1 -хг б х и х й ъ, то (х1 — хг)+ +х б Х, следовательно, г б Нг н Н1 с Нг. Аналогично получаем, что Нг с Нь Это означает„что Н1 = Нг.
и Следсгавие 1. Веюпором сдвига может служить любой вектор линейного многообразия. Действительно, если х1 — произвольный вектор линейного многообразия Н = хе + Х, то х1 — хе б Х и Н = хг + Х. Следствие 2. Линейное многообразие может быть получено сдвигом единственного направляющего подпространства. Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы. Следствие 2 позволяет переносить некоторые характеристики направляющего надпространства на само линейное ююгообразие.
Размерностью линейного многообразия называется размерность его направляющего надпространства. Обозначение: 61щН. Линейное многообразие размерности единица называется прямой в линейном пространстве, размерности (и — 1), где и = йпп Ъ', — гиперпласностью, а размерности й, 1 < Й < и — 1, — й-мерной плоскосгпью. Пример. Из определения следует, что прямвл на плоскости Ъ'г и плоскость в пространстве гг — гиперплоскости в просгранствах гг и гы Естественно ожидать, что, представляя собой один н тот же объект, они обладают общими свойствами. В этом мы убедимся и последующих глазах. Глава 'Ч.
Векторная алгебра 9 19. Координаты вектора 1, Пусть ег — базис Р~ и а — произвольный вектор из У~. Отложим эти векторы ст одной точки О прямой 7~ ($15, рис. 2,а), твк что — + ег — — Ои, а = ОАП тогда а = я еы где (Олф[И~~, а Г( е, — 1ОА Ид4 а 14 ег. (19.1) Введем на прямой Уг направление: пусть положительное направление на прямой совпадает с направлением базисного вектора ег. Тогда согласно (19.1) и (1а1) получим (ОА ) (а) (19.2) ~ег~ (ег~ Ось, положительное направление которой совпадает с направлением вектора е, будем называть осью„олрсдслсииой ескиюрам е.
2. Пусть еы ег — базис 1'г и а — произвольвый вектор из 1гг. Отложив эти векторы от одной точки О плоскости 'гг ($13, рис. 2,б), так — + — + что ег = ОЕм ег = ОЕг а = ОА, и введя направления на прямых ОЕ1 н ОЕг, совпадающие с направлениями базисных векторов ег и ег, получим в овтветсгвии с (19.2), что а = я ег + р ег, я у=в (ОА1) (ОАг) (19.3) ~еэ~ ' ~ег~ От алгебраического определения координат вектора перейдем к их гсомет1жческому описанию.
Рассмотрим линейные пространства Ъ'~, 1Гг, Рэ векторов на прямой, на плоскости н в пространстве. В 81$, 17 было доказано, что: э бпп 'гг = 1, а любой ненулевой вектор ег является базисом )~м э Йпп гг = 2, а любая пара неколлинеариых векторов ею ег является базисом Рг, ° йш Кэ = 3, а любая тройка иекомпланарных векторов еы ег, еэ является базисом 1з. При доказательстве теорем 113 практически показано, как находятся координаты векторов в этих пространствах. Вернемся к этому вопросу. Глава г'. Векгорнэл алгебра где Ам Аз — проекции точки А на прямые ОЕт и ОЕз, параллельные соответственно прямым ОЕз и ОЕь 3. ПУсть еы ез, ез — базис Уз н а — пуоизвольный вектоР из Уз Поступая аналогично (э15, рис. 2,в), получим а = х ет + у ез + х ез, (ОАт) (ОАз) (ОАз) х= — ' у= — ' х= — ' |ет! ' ~ез! 1еэ~ ( .4) где Ат, Аз, Аз — проекции точки А на прямые ОЕЫ ОЕз и ОЕз, параллельные стютветственно плоскостям ОЕэЕз, ОЕтЕз н ОЕтЕэ.
$ 20. Координаты точки гл = вез+уев+лез с=э А(х,у,х). (20.1) 3 а м е ч а н а е 1. Иэ определения следует, что любая точка А пространства в заданной системе координат имеет координаты, причем точки Ат(хм ум хт) и Аз(хз, уэ, хз) совпадают тогда и только тогда, когда хт = хэ, ут = уз, хт = хз. Замечание 2. Координаты точки А(х,у,х) определяются соотношениями (19.4). При этом, как легко видеть, проекции Ат, Аз, Аэ точки А имеют координаты Ат(х, О, О), Аз(О, у, О), Аз(О, О, х).
Аналогично определяются аффннные системы координат (О; еэ, ез) на плоскости тз и (О; ег) на прямой Ум а также координаты Аффиннвя система координат. Пусть в пространстве Уз (на плоскости $тз илн на прямой Ъ'т) зафиксирована некоторая точка О, называемая по.аюсом. Лля любой точки А вектор гА = Отэ называется радиус-ееютюром точка А ошносоптсльно полюса О.
Задание точки ее радиус-вектором определяет, очевидно, биективное отображение, Тот факт, что точка А имеет радиус-вектор г, обозначают символом А( г). Если в пространстве 1"з зафиксированы точка О и базис ет, еэ, еэ, то пяюрят, что в пространстве задана аффиянаа сисэтема коордикаот (или обтттал дехартаова спсптсма аоордината) (О; ею ез, ее 1. Точка О называется началом координапд оси, проходящие через начало координат и определенные векторами ет, ез, ез, называются осями коордннаят н обозначаются Ох (ось эбцнсс), Оу (ось ординат), Ох (ось элплннат) соотмтственно. Плоскость, определяемая осями координат Ох и Оу (Ох и Ох, Оу и Ох), называется координатаной плоскосптью Оху (Охг, Оух соответственно), В этой терминологии аффинная система координат обозначается также символом Охух. Коордояапшми точка А в эффннной системе координат (О; ею ез, еэ) называются координаты радиус-вектора гл этой точки в базисе еы ез, еэ.
Тот факт, что точка А имеет координаты х, у, х, обозначают символом А(х, у, г). Итак, у 20. Координатьг точки точки А(з, у) и А(х) соответственно. При атом имеют место очевидные аналоги соотношения (20.1) и обоих замечаний. В дальнейшем все факты будем излагать только в терминах пространства 1гз, Замечение 3. В трвдипнонных курсах вяелитической геометрии координвты точки вводятся с помощью метода хосрдннеях бвзнрующегсся нв аксиомах геометрии. Это приводит к достаточно овощной вксиомвтике 1см. Прнлоиыние), восоще говоря, првктвчееки не использующейси в других рвэделвх мвтемвтики.
Введение коорхинвт точки с немощью вектора (т.е, используя векторную вксиомвтнку линейного прострвнствв) зивчительно упрощает все исследовющя, свода геометрические построения к свойствам вещественных чисел. Теорема 20,1. Если А(ям ум г1 ) и В(яю уг, гв) — точки простпранства, заданныв своими координатами в системе координата (О; ег, ез, еа), то вектор а = АЗ в базисе ем ез, ез п.мест координаты а = (яг — км уг — умгг — хД.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
