В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Любая точка А, лежащзл на прлмой й разбивает зту щжмую на дна луча )т и ) с началами в точке А. Ыти лучи нвзываютси дапалиищел ними друг к пруту. Точка А принадлежит обойм лучам. Две точки В д А н С гз А прямой ) принадлежат одному лучу тогда и толька тогда, когда отрезок [ВС[ не содержит точки А, и принадлежат дапоэннтельным лучам, если точка А является внутренней тачкой отрезка [ВС). Луч с началом в точке А, на катаром лежит тачка В Р А, обозначается символом [АВ). Два луча, лежащие иа одной примой, нвзывыотся одинаково направленными (саивпраелениыми), если их пересечение есть луч, н щютиеаналажиа направленными, если их пересечение не нвляетгл лучом. Всякан прямая й лежащая в плоскости Р, разбивает зву плоскость иа дзе полуплоскостн Р+ и Р, щю которые говорят, что они апредсллюпюл прл.иаб Ь Прямая ) прянадлежит калщой из этих полуплоскостей.
Дзе точки и б! н С б ) плоскости Р лежат в одной полуплоскасти, определяемой прямой й тогда и талька тогда, когда [ВС) О) = аЗ. Два луча [АВ) и [СО), лежащие на параллельных несавпадыощнх прямых, принадлежат некоторой плоскости Р. Лучи [АВ) в [СО) назывыатсл одюажоеа иаяраелсинымн (соиапраелеиимми), если они люкат в одной полуплоскасти, определяемой прямой АС и щющиеапаложиа направленными, если они лежат в резных полупласкостях, Обозначение: [АВ) Я [СО) и [АВ) т1 (СО) соответ. отвеина. Свойство сонвправленности лучей транзнтнзно.
Пусть Р— некоторая плоскость и А, В, Π— трн ее различные точки, не лежащие на одной прямой. Прямая ОА разбивает зту плоскость на две палуплоскаста. Точка В расположена в одной из них. Обозначим зту полуплоскость Р+. Аналогично прямая ОВ разбивает плоскость Р на две палуплоскости. Пусть Р— полуплоскость, в которой лежит точка А. Выпуклым узла,и между лучами [ОА) и [ОВ) называется пересечение множеств Рз н Р . Обозначекне: аАОВ.
Итак, у гО. Направленные отрезки аАОВ = Р+ О Р . Величииа выпуклого угла аАОВ иазмваепж Валом меомеу лучами [ОА) и [ОВ). Ооозиачеиие: АОВ. Очевидио, о < АОВ < и. По определению угол между соваправлеиимми лучами равен С, а между противоположно иалравлеиимми равен и. й 10. Направленные отрезки Упорядоченная пара точек (А, В) называется мапроелемммм от- резиомсначалом вточкеАиконцомвточкеВ. Обозначение: АВ. Направленный отрезок АВ изображается стрелкой, идущей из его начала в его ко- А ~ ц~г-1Гв р г р-.Ав назывюот также связанным еекизоролг, а Рнс. 1 точку А — пю'агой его прплажемпк Если точки А и В различны, то направленный отрезок АВ называется мемрлеемм; если же точки А и В совпадают, то направленный отрезок Агу, точнее, АА называется мрлеевьм и обозначается символом дл.
Направленный отрезок АМ называется параллельным примой) [плоскосгпи Р), если либо он нулевой, либо прямая АВ совпадает с прямой г (соответственно лежит в плоскости Р), либо прямая АВ параллельна прямой г (соответственно плоскости Р). Обозначение: Агу [[1, АМ [[ Р. Направленные отрезки А1 В„АзВд, ..., АьВа называются кол,лммеарммлт (компламармыми), если существует прямая (соответственно плоскость), которой параллелен каждый из этих отрезков. Длиной направленного отрезка АМ называется длина отрезка [АВ[.
Обозначение: [АМ[. Как следует нз определения, длина нулевого и только нулевого направленного отрезка равна нулю. Ненулевые направленные отрезки АВ и СВ называются одинаково мапроелемнммм (сомапроелемммми), если лучи [АВ) и [СВ) име. ют одинаковое направлекие, н прапзиеоположмо мапраелсммвамп, если лучи [АВ) и [СВ) имеют противоположные направлеяив.
Обозначение: АВ1[ Сгг и АВ Ц Сзг оютветственно. Направленные отрезки АМ и СВ называются раемаьми„если середины отрезков [АР[ н [ВС[ совпадают ~рис. 2). Обозначение: АМ = Са). Как следует нз определения, нулевой направленный отрезок равен любому другому нулевому и только нулевому направленному отрезку. Из свойств параллелограмма [рис. 2) следует, что ненулевые направленные отрезки Ззй и СВ, не лежащие на одной прямой, равны тогда и только тогда, когда четырехугольник АВОС вЂ” параллелограмм.
Для равных ненулевых отрезков, лежащих на одной прямой, Глава Ш. Геометрические векторы возможен один вз четырех вариантов расположения, изображенных на рис. 2, а н б. ст а) ~АВ)11~СО) = ~ б) ~АВ) у1 ~СЩ ~ й'1 А В О С В А О В С В А С Ю А В С О П А В Рис. 2 Т е о р е и а 10.1. Наврав мнные отрезки АМ и СВ ровны тогда и втолько тпогда, когда они имеют," 1,) одинаковую длину: ~АВ1 = )СВ~ и, в случае ~АХ)! ф О, ф одинаковое направление: АЗ ) )' СВ.
Утверждение теоремы вытекает непосредственно вз определения равенства нзлравленных отрезков и свойств параллелограмма 1рнс. 3). ° Рнс. 3 Теорем н 10.2, Длл любого направленного отпрезка АМ и любой точки С суи1гствуст, и притом единственнаа, точка В отакал, что АМ = СВ. Доказательство. Пусть (рис.
3) точка Π— середина 1ВС]. Из определения равенства направленных отрезков следует, что  — точка на премой АО, симметричная точке А относительно точки О. Такал точка определена однозначно. И Замечение. Теорему 10.2 формулируют и в других термиивзг иаараеленкма маратов момеиа оеьтаиеатае ага любой вю щи иди наираелемнма юкрееок люиеиа аереиеетаи а любую етечку. Т е о р е м а 10.3. Отпнотиенис равенспева направленных отпрезков лвллетсл отношением эквивалентности на множестве всех направленных отрезков.
В самом деле„отношение равенства направленных отрезков является бинарным отношените, которое обладает свойствами: а) рефлекснвности ~направленный отрезок равен самому себе); б) симметричности, так как справедливы импликацин !ХЮ! ю М = !СЗ~ ю ~АМ), АМ ~) СМ = СМ т~ Хд; в) травзитивности, так как равенство длин (т.е.
чисел) н сонаправленность направленных отрезков ~т.е. лучей) обладатст этим свойством. ° з 11. Свободный лектор Прямая 1 с заданным на ней направлением называется осью. Величиной направленного отрезка АМ на оси 1 называется число ( )= ~АЮ), АВ1~1, — 1АМ1 АВ 'Ц 1. (10.1) Из определения вытекают следующие факты. 1'.
Нулевые направленные отрезки, и только они, имеют нулевую величину. 2 . (А11) = -(В 1). Лемма Шаля. При любом расположении тпочек А, В и С на прамой имеет местао равенство (Ах1) = (АС) + (Сс1). Доказательство. Если какие-либо две точки совпадают (например, А = В), то утверждение очевидно, так как (АМ) = (АС) + + (СА). Пусть А,-В, С вЂ” различные точки. Тогда возможны только три варианта расположения этих точек: 1) точка С лежит между точками А и В (рис.
4); А С В В С А Рис. 4 2) точка А лежит между точками В и С; 3) точка В лежит между точками А и С. В первом случае, как видно из рис, 4, )А)э1 = (Й~~ + ~СЗ( и АМ 77 АС 77 Л), откуда следует, что (АВ) = (Ад)+(С.6). Отсюда во втором случае имеем (Вд) = (ВА) + (АС) или (Лэ) = (Ад) + (Сг)), Третий случай рассматривжтся аналогично второму, ° й 11. Свободный вектор Определение и терминология. Известно (теорема 10.3), что отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности иа множестве направленных отрезков.
Оно разбивает это множество на непересекающиеся классы эквиввлеитности Я7). Класс эквивалентности направленных отрезков называетсн сеобобпььи мквтором или просто векторомх Векторы обозначают строчными латинскими буквами а, Ь. Итак, вектор а = с1(АЗ) состоит из всех направленных отрезков, равных АМ, Так как класс эквивалентности Ц7) порождается любым своим представителем, то вектор а = с1 (Ас1) можно задать любым направленным отрезком СВ = АВ, Глава Ш. Геометрические векторы т.е.
а = с! (СВ). Если вместо направленного отрезка АЙ используется направленный отрезок СВ = АВ, то говорит, что вектор а отложен от точки С. Символ а = с! (АЙ) используется применительно к геометрическому вектору а только в тех ситуациях, когда подчеркивается отношение мого вектора к классу эквивалентности. Обычно вместо символа а = с! (АВ) используется символ а = АВ, который в зависимости от контекста читмтся кэк "вектор а, порожденный направленным отрезком А6 э нли "вектор а, отложенный от точки А". Длиной еекгаара а (еелпчано6 еекпюра а на оси) называется длина (соответственно величина) порождающего его направленного отрезка; векторы ам аэ, ..., аь нэзьпаются коллпиеарнымп (камаланарными), если коллинеарны «соответственно компланарны) порождающие их направленные отрезки; векторы а и Ь называются одинаково нащиаленнмми (ароглиеополоэсно направленными), если одинаково (соответственно противоположно) направлены порождающие нх направленные отрезки.
Очевидно, что эти определения корректны несмотря на щюизвол в выборе направленных отрезков, Линейные операции иад векторами. Сложение векторов. Сумма векторов а и Ь определяется следующим образом, Отложим вектор а от произвольной точки А, пусть  — конец этого вектора, т.е. а = Ао. Затем отложим вектор Ь от точки В, пусть Ь = ВС~. Суммоб а+ Ь ееклюрое а и Ь называется вектор, порожденный направленным отрезком Ас~ (рнс. 1).
Рис. 1 В Ь Рис. 2 Это правило сложения векторов называется правилам глрерэольника, Очевидно, что этот же вектор а+ Ь для неколлинеарных векторов а и Ь может быть получен (рис. 2) как диагональ парэллелограм- г 11. Свободный вектор ма, построенного на векторах н н Ь. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма. Т е о р е и н 11.1. Олератгил слаэсенил веюлоров обладает следутощч ми свойсРыамит 1) а+ Ь = Ь+ а, та, Ъ (свойство номмутатиеностпи)," й) ( а+ Ь)+ с = а+( Ь+ с), У а, Ь, с (свойство ассот4иативностли); У) существует такой вектор О, называемый нуьтевмм вектором, мно а+ О = О+ а = а, т а (свойство существованил нейтрального элемгнтаа)1 4) длл любого вектора а сущестивуетп такой вентаор — а (называемый аротиввиологтснмм вектору а), что а+ ( — а) = О (свойство существования си.мметричного элгменята).
Доказательство. Коммутативность н ассоциатквность сложения в случае неколлннеарных векторов а, Ь н с проверяются непосредственным построением (рнс. 3) векторов, входящих в левую и правую части соответствующих равенств. Случай коллинеарных векторов предлагается рассмотреть читателю. (а+ Ь)+ с= а+(Ь+ с) Свойства 3 и 4 очевидны: нулевым вектором О будет класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, противоположным вектору а = АМ будет вектор — а = ВА. ° Разностью векторов Ь н а называется вектор х такой, что а+ + х = Ь. Обозначение: Ъ вЂ” а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
