В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Теоретико-множественные ПОНЯТИЯ Здесь излагаются первоначальные теоретико-множественные понятия, которые будут использоваться в последующих главах. $ 6. Множества Пад ммоогсеснзвом в математике понимается сожжупность обьектов, называемых элеыемгпами множества. Кзк правило, множество обозиечезтск прописной буквой «экого-либо алфавита, в его злементм - строчиьгми букявмн того 1ке или другого влфевитв, длк не«оторьос множеств приняты стандартные обозивченик, Тэк, буквами Щ Х, зг, Ж обознзчзют соотзегспмнно множества всех натуральных, целых, рациональных, вежествекнмх чисел. Множество с конечным числом элементов могут быть описаны путем явного перечисление всех их элементов, элементы при этом ззключкются в фигурные скоб«н.
Например, (О, 1, 2» - множество остатков от деления целых чисел не чясло 3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется прстпым множеспгволь Мы будем обозначать его символом 6. Множество з' называется подммоогссслгвом множества Х, если имеет место импликация: з б 8 ~ я б Х. Обозначение. з с Х. Пустое множество по определению является подмножеством любого множества. Для задания подмножества о С Х используется его характеристическое свойство, т,е. свойство, присущее только элементам из о.
Так, зались (и = 2»г ~ »с 6 2~) задает множество всех четных чисел. Два множества Х и У называются равными, если каждое из них является подмножеством другого, т,е, ,» ХсУ, 1 Усх. (бл) Если 8 с Х, причем Я ~ 6, о э4 Х, то о называется собсгпвемиым подмножеством множества Х. Обаедимеиисм (срммо6 или соединением) множеств Х и У называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У. О б а з н а ч е н и е: Х 0 У.
Итак, Х 0 У = (з ! х б Х или х б У». Пересечением множгктв Х и У называется мнохгество всех элементов, одновременно принадлежащих как Х, так и У. Обозначение: ХПУ. Итак, Х ПУ =1х)з б Х,я б У'). Разностью множеств Х и У называется множество всех элементов из Х, которые не содержатся в У. О б о з к а че ки е: Х~У илн Х вЂ” У. Итак, Х1У = (х ~ х к Х х ф У). Если У с Х, то разность Х'1У называется дополненнем множества У до множества Х.
Обозначение: У, СУ или СхУ. Декарнговмлг щюизведвнмем множеств Х и У называется множество всевозможных упорядоченных пар (т, р), в которых х б Х, у б У. Обоз н а че н не: Х х У. Итак, Х х У = ((х, р) ) х б Х у б У). Декартово произведение Х х Х называется декаргповмлг квадранголг множества Х н обозиачветсн символом Хз.
Множество всех пар (х, х), где х к Х, назьгвзвтск диавональш декартова квадрата множества Х. Примеры. 1. Множество Я всех рациональных чисел можно рассматривать как декартово произведение Е х )ч. 2. Множество декартовых координат всех точек плоскости представляет собой декартов квадрат Кз. 3. Если упорядоченную пару (а, Ь) вещественных чисел изображать точкой плоскости с вбсциссой а и ординатой Ь, то декартовы произведения Х х У и У к Х множеств, указанных на рис. 1, изобразятся точками соответствующих прямоугольников.
Рис. 1 й Т. Эквивалентность В математике, в логических рассуждениях, в также в обветренной жизни мы сгвлкнввеьюя с необходимостью срввмиввть двв элементе миожеопж: равенство (н иерввенсгво) двух чисел, равенство матриц равенство множеств, подобие треугольников, зквнвзлентность урввкений и т.д. Ъо всех этих случаях между Взрыл элементами множества определено некоторое отношение, и в каждом случзе введено орвеоло, ло когорому усгвнввливзетсв, нвходвтся ли заданные два элемента в этом отношении илн ист. йесмотря нв резйообрвзие этих отношений, оквзыввегся, что с математической точки зрения они являются конкретными проявлениями одного н того же пояятии, Введем его.
Бинарное отношение. Говорят, что на множестве Х задано бинарное отнокгсниеЯ„если указано непустое подмножество Я декартова квадрата этого множества. Если при этом (х, у) б Я., то говорит, что элементы х и к связаны отношением гс, и обозначают символом хгср. Глава П. Теоретико-множественные понятия Равенство х = у и неравенство х < у действительных чисел, равенство матриц А = В, равенство множеств Х = У и пр. — все это примеры бинарных отношений.
В самом деле„рассмотрим один из них — отношение "<з на мнсокестве К всех действительных чисел. Пара чисел х, у б К, для которой х < у, является элементом Кз. Множество всех таких пар образует подмножество Я декартова квадрата Кт — на рис. 2 они изображаются точками плоскости Кз, которые лежат выше прямой р = х. Задание этого множества Я определяет бинарное отношение на множестве действительных чисел, а отношение хЯу (т.е. (х, р) б Я) есть не что иное, как х < у. Заметим, что бинарное отношение равенства вещественных чисел задается прямой у = х, т.е. двагональю декартова квадрата Кз. Бинарное отношение Я на множестве Х называется: ° рефлексивным, если хЯх, тх б Х; ° снммензричмым, если имеет место имплнкация хЯр ~ рЯх; ° трамзитиепызс„если имеет место нмпликэция хЯу, уЯл =Ь хЯл. Отношение эквивалентности.
Важным классом бинарных отношений являются ииарные отношения, описывающие свойство "схсзкести", — отношения эквивалентности. Бинарное отношение Е на множестве Х называется отмомземмем эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитявно. Есин пара элементов х, у б Х связана отношением эквивалентности, то говорят, что х и у эквивалентны, и обозначают зто символом х р. В конкретных сзучаях вместо этого символа могут быть использованы и другие, например х = р, х ж у. Отношения зквивалвнтноств шршот важную роль в математических ксследоезяиях.
Ншвав два элемента зквивалеитвымя, мы игнорируем те различия между ними. которые не существенны в рассматриваемой задаче. В кыкдой конкретной задаче мы различаем яли не различаем элементы лишь в отношения тех их свойств, которыми интересуемся в данный момент. Известное правило равенства обыкновенных дробей !Р1й~ = Рз/Яэ. если р!зз = шрт! явлиется отношением зквивалытпкюти.
Назвав дроби л н т равными, мы ипюорируем их несовпадение з как дробей я считаем, что они определяют одно и то же рациональное чмсло. Уже этот просвейший пример подсшшываят, что зквивалентные элементы множества целесообразно объединвть в один объект, Пусть на множестве Х задаю отношение эквивалентности Е и а б Х, Множество всевозможных элементов х б Х, эквивалентных а, называется классом эквивалентности, порохсдеммым элементом а. Обозначение: с1(а). Итак, с!(а) = (х Е Х$х ° а) . Любой элемент класса эквивалентности называется предспюецтелем класса. Т е о р е м а У.1.
Класс эквивалентности порождветсв любым своим представителем, т.е. если Ь Е с1 (а), то с1(Ь) = с1(а). Ь 7. Эквивалентность Для докззательства равенства этих множеств достаточно показать двустороннее вложение (6.1) их друг в друга. Действительно, ой с1(Ь) =~с Ь, ио Ь а ~ с а=зобе!(а), сес1(а) =ус а, но а -Ь~с ° Ь=ьсбс1(Ь). а Теорема 7.2. Доа класса зхеноаяентносгпн янбо не пересехаютпсл, яибо совладают. Действительно, любые два класса с1(а) и с! (Ь) либо не пересекаются, либо имеют хоти бы один общий элемент, Но в последнем случае они совпадают, так как если с б с1 (а)„с е с1 (Ь), то в силу теоремы 7,1 с1(а) = с1(Ь).
° Из теоремы 7.2 и очевидного факта, что любой элемент множества содержится в одном из классов эквивалентности (а е сЦа)), следует, что все множество разбивается на непересекакициеся классы эквивалентности. Множество всех классов эквиввлептностн назьгввется факто -ынолсестаолс лснооюесзпва Х по отноизенню зхеиоояснтности б н обозначается символом Х)б. Как уже отмечалось выше, одни и те же элементы множества, эквивалентные при одном отношении эквивалентности, могут оказаться неэквнвалентиыми при другом.
Все зависит от задачи, а в разных задачах мы можем интересоваться различными свойстввмн одних н тех же элементов. Проиллюстрируем это на примерах различных отношений эквивалентности на множестве Е целых чисел. Примеры. 1. Положим гп и, еслигп = и, Это трияявльный пример отношения эквивалентности, сводящегося к простому совпадению. Очевидно, что с) (т) = (т) и Е!8 = Е.
2. Положим т и, если т и и имеют одинаковую четность. Нетрудно проверить, что это бинарное отношение является отношением эквивалентности, Очевидно, что при таком отношении эквнва. лентности все множество Е разбивается иа два класса эквивалентности: Со = с!(О) = (2х(7с б Е) — множество всех четных чисел н Сз = с! (1) = (2Ь + 1 ~ Ь б Е) — множество всех нечетных чисел. Итак, Е!8 = (Со,Сз). Такое рвзбиевие миежессвв целык чисел ив классы ввм завкоме из ебыдеииея жилив, например, делеиве миезсествв домов улисзз из чесиузе и иечесиуы сторону. 3. Пусть р е И, р > 1. Два целых числа т и и называются сраенэясылси по лсодряю р, если прн делении на р они дают сщинвковые остатки, т.е. если т — и = рй, где Ь б Е. Обозначение: т гв п(шеар). Итак, т г— в п(пзопр) с=в т — и = рй, Й е Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
