В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 57
Текст из файла (страница 57)
иг илн, согласно (91.6), е (геометрическая кратность Л ). Таким образом, О Уч(Л) где 91 +... +9,, = г)ппКЛ, = гпу, в число клеток к-го порядка равно числу те = -пь г+2пь — пь+м к = 1,9. Процесс построения канонического базиса, использованный нами, однозначно определяет форму матрицы Ау с точностью до порядка клеток, так как количество всех клеток равно геометрической кратности е собственного значения Л., а количество клеток й-го порядка равно числу гь = — пь г + 2пь — па+и й = 1, д, или, согласно (80.2), ть = ге-1 — 2гь+тьег, й =1,д.
Пусть теперь оператор А~ имеет квезидиагонельную матрицу кх с клетками Жордана на главной диагонали в неюггором другом базисе. Перенумеруем базис так, чтобы клетки Жордана располагалнсь в порядке убывания размеров. Базисные векторы с новой нумерацией расположим в виде лестницы, столбцы которой (в нумерации снизу вверх) соответствуют одной жордановой клетке матрицы: Рассмотрим зту лестницу по строкам снизу вверх. Пусть Хт— линейная оболочка векторов нижней строки. Очевидно, 1 1 — линейная оболочка собственных векторов оператора А, причем любой собственный вектор является их линейной комбинацией. Следовательно, Ег —- рр,~, = Фт, 277 у 92.
Жорданова форма Аналогично, если Ьг — линейная оболочка векторов двух нижних строк лестницы, то Ьг — линейная оболочка корневых векторов высоты к < 2, причем любой корневой вектор высоты к < 2 является их линейной комбинацией. Следовательно, Ьг = )гг и т.д. Таким образом, зта лестница с точностью до парилка столбцов совладает с жордановой лестницей и, значит, форма матрицы А, не зависит от способа построения базиса.
Таким образом, структура клеток Жордана в матрице А- определяется только оператором А. Порядок клеток определен порядком нумерации столбцов жордановой лестницы. ггьорданов базис н жорданова нормальная форма матрицы оператора. Жарданоеой матрицгй (илн матрицей, имеющей жзрданаеу нормальную форму) называется квазидиагонзльная матрица с клетками Жордана на главной диагонали. Жорданоеим базисом для оператора А Е Е(У, У) называется базис пространства У, в котором матрица оператора А имеет жорданову нормальную форму. Канонический базис корневого надпространства К», является жордановым базисом для оператора А~, а матрица А„— его жордановой матрицей. Тем самым решен вопрос о жордановом базисе и жордановой форме матрицы для оператора, имеющего одно корневое надпространство, в частности, Лля нильпотентного оператора. Решим зту задачу в общем случае.
Будем придерживаться прежних обозначений: т и з, — алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения Л, гь = гк(А — Л»2)ь. Теорем а 92.2. Пусть А б С(У, У) — линейный оператор, действующий е комплексном пространстве У, и его таракгперистю ческий многочлгн имеет вид 7(л) = (л1 — л)~'... (ля — л)~~, где л; ф лд призму. Тогда е пространстве У существует базис е, в ко ором матрица оператора А имеет кеазидиагональную форму. (92.4) где матрицы А., у = 1, р, имеют вид (92.3). Доказательство. В соответствии с теоремой 91.1, = К», йг ю К»,.
В качестве искомого базиса е возьмем совокупность каноническйх базисов корневых надпространств К»„. ° К»„. Согласно теореме 84.2 матрица А, имеет внд (92.4), где А — матрица оператора А~К», в каноническом базисе К», Следовательно, матрица Ау имеет вид (92.3). ° Таким образом, матрица (92.4) с учетом (92.3) является жордановой матрицей для оператора А, а совокупность канонических базисов 278 Глава Хр'. Структура лнн.
оператора в компл, пространстве корневых надпространств К», — жордановым базисом для этого оператора. З а м е ч а н и е 1. Жорданова форма матрицы линейного оператора определена однозначно с точностью до порядка клеток Жордана. Докажем это. Пусть в некотором жорцановом базисе оператор имеет жорданову матрицу Х Любой диагональный элемент матрицы,Х является одним из собственных значений Лу. Рассмотрим часть жорданова базиса, соответствующую всем жордаиовым клеткам с Л .. Пусть Х' — линейная оболочка этих векторов.
Тзк как ЩЛд)-Л Г)ь = = О, то Ь с Клг и йппЦ < й(шК»г Кроме того, согласно теореме 84.2 (обратная часть) У = Ь»»о ." »о Ьд»о ° . ч3 Ьр. Поскольку Р =К», +".®Кл, Ю - ЖК», тойппЦ =йш»Клг и Ц= К», Таким образом, размер клеток Аг и их количество ие зависят от вйбора жорданова базиса. Что же касается самих клеток А, то их форма, как показано выше, не зависит от способа построения жорданова базиса корневого надпространства К,,, Порядок клеток определен порядком нумерации корневых надпространств и тем парилкам, в котором ну« меруются столбцы жордановой лестницы в каноническом базисе К»,.
Замечание 2. Длл операп»оров простой струкгпурм, и только для них, жорданова форма совпадает с диагональной, так как критерий (88.4) с учетом (91.12) равносилен условию Рг'л, = Кл,, 1 = 1, р- (92.5) Приведение матрицы к жордаиовой форме. В матричной формулировке теорема 92.2 означает, что любая квадратная комплексная матрица подобна матрице, имеющей жорданову форму. Это может быть доказано по известной схеме (88.6).
Жорданова матрица, подобная матрице А, называется жордановой нормальной формой матрицы А. Теорема 92.3. Две матрицы А,В е С""" подобны тогда и п»ольке тогда, когда ик жордановы формы совпадают. Это утверждение следует из того, что квадратные матрицы одинакового порядка над общим полем подобны тогда и только тогда„когда онн являются матрицами одного и того же линейного оператора Я82, п.й) ° Привести матрицу А к жордановой нормальной форме — значит найти невырождеиную матрицу Х и жорданову матрицу д такие, что Эта задача представляет собой матричную формулировку задачи нахождения жорданова базиса и жордановой формы матрицы линейного оператора: если матрипу А рассматривать хак матрицу некоторого оператора А в некотором базисе е, то равенство (92.6) говорит з 92.
Жорданова форма (ср. с (82.2)) о том, что Х вЂ” матрица перехода от базиса е к жорде новому, т.е. столбцами матрицы Х являются координатные столбцы векторов жорданова базиса в базисе е. Т е о р е м а 92.4 (теорема Гамильтона — Кэпи). Линейный„ оператор, действующий е комплексном (или е вещественном) пространстве, леллетсл корнем своего характеристического многочлена.
Доказательство. 1. Докажем сначала это утверждение для комплексного пространства У. Пусть А й Г(г', У') и его характеристический миогочлен имеет вид (91.3), Согласно теореме 91.1, У' = = Кз, Ю... 9 К~, и, следовательно, для любого вектора х Е У имеет место разложение х = х1+... + хр, где ху е Кз, у = 1, р. Тогда ДА)х = ДА)х1+... + ДА)хг + ...
+ У(А)хг. (92.7) Каждое слагаемое в этом разложении равно нулевому вектору, таквак ДА)х, = (Л1Х вЂ” А)"" . (Л~Х вЂ” А)™ ...(Л Х вЂ” А)мех =й, ибо операторы в этом произведении перестановочны, а (А — Л.Х) гху = е в силу (91.8). Следовательно, ДА)х = д, 'гх Е У, т.е. г(А~ = О. 2, Пусть $' — вещественное линейное пространство. Возьмем какой- либо базис е пространства У', и пусть Ае — матрица оператора А в этом базисе, Для доказательства теоремы достаточно показать, что у(А,) = О. Рассмотрим любое комплексное пространство У~ той же размерности, что и г' . Пусть у — произвольный базис Ъ'~, тогда матрица А, является матрицей оператора В е Е($'м'г1) в базисе г', т.е. А, = Вг. Значит, характеристические многочлены операторов А и В ~~~~ад~~~ и, ~~~~~~~~ и.
1 д~~~~а~~~~~~~~, 1(А,) = О. ° А пнул ярую щий ми огочлен. Минимальный многочлен. Пусть А — линейный оператор, действующий в пространстве г' иад полем Р. Многочлен у(1) б Р(г) называется аннулирующим многачленем для оператора А, если г'(А) = О. Теорема Гамильтона-Кали усганавливжт существование кинуть рующего многочлена степени н„где п = дшз У. Многочлен т(Ф) наименьшей степени со старшим коэффициентом единица, аннулнрующий А, называется минимальным многечленом для оператора А.
Очевидно, он определен однозначно: если т1($) и тг(г) — два таких многочлена, то многочлен т, (1) — тз(г) аннулирует А и имеет строго меньшую степень, так что т1(г) — тг(г) = О. Т е о р ем а 92.5. Минимальный многочлен леллетсл делителем аннулирунпцего многочлена, Доказательство. Пусть ~(1) и т(г) — аннулирующий н минимальный многочлены для оператора А. Разделим 1(г) на т(ф г(г) = т(г)д(М) + г(г), где либо г(1) = О, либо деяг < с)ейт. Второе невозможно, так как г(А) = у(А) — т(А)д(А) = О, дейв ( бей т.
Следовательно, г(Ф) = О я т(~) — делитель у(г). ° Некоторые приложения. 1. Одно из важных приложений жордановой формы — вычисление функций от матрицы, в частности, вычисление болыпих степеней А матрицы А. Экономный способ такого 280 Глава ХУ. Структура лнн. оператора в ломил. пространстве вычисления состоит в следующем: матрица А приводится к жордано- вой форме 1, так что А = ХХХ ' я Матрица Х вычисляется с помощью матрицы А и не зависит от т, а степень .7'" жордановой матрицы,7 вычислить достаточно просто. В самом деле, вычисление .Хто сводится к возведеяию в степень тп диагональных клеток матрицы 7, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
