В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Нормальный оператор и его матрица в евклидовом про- ( стрвпсгве. Пусть А — нормальный оператор в евклндовом пространстве Е. В любом ортонормированнем базисе пространства ов имеет вещественную нормальную матрицу, а его характерисгическнй многочлен у(Л) — многочлгн с еещссгаеенними коэффициентами. Если все корни многочлена У(Л) действительны, то к оператору А применима теорема 96.4, согласно которой существует ортонормированный базис пространства Е, в котором он имеет вещественную диагональную матрипу. Пусть Ле = о+ фг,,й ф 0 — комплексный корень многочлена г (Л). Для поиска простейшего вида матрицы оператора А вновь (з93) перейдем на матричный язык: вместо оператора А будем рвссматрявать его матрицу А в некотором ортонормированием базисе пространства Е, а вместо векторов — их координатные столбцы в этом же базисе. Скалярное произведение векторов из Е совпацает с естественным скалярным произведением их координатных сголбцов из Ж" Я68).
Матрицу А можно рассматривать как комплексную матрипу, тогда Ле = а+ Щ и Лс = и — ~94 будут ее собственными значениями, причем одинаковой кратности. Теорема 96.7.,пикейный оиерапюр, действующий е еекаидоеом пространстве, нормален тогда и только пюгда, когда существует ортонормираааннмй базис яространсгнеа, е астором он имеет кеагидиагональную матрицу с еещесгаеенними кггтками иереого порядка и вещественными клетками второго порядка аида на агаеной диагонали. Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно.
Н е об х од и м о от ь. Пусть А — нормальный оператор и А й Ж" "" — его матрица в некотором ортонормярованием базисе пространстве. Очевидно, что А — нормальнгл матрица. Согласно теореме 96.6 матрица А (если ее рассматривать как комплексную матрицу) имеет ортонормнрованную систему дм..., д„ш собственных векторов. Если Ле = а+ рг, ~3 ,-~ О, — корень характеристического многочлена, то Ле н Ле будут собственными значениями матрицы А одинвгювой кратности. Пусть е, у — собственные векторы (из дм..., д„) матрицы А, отвечающие собственным значениям Ле и Ле соответственно.
Если е = я+ + гу, где х, у й К", то у = я — гу и п<щпространство ь(е, у) = Ю(я, у) 292 Глава ХИ. Линейные операторы в унитарном щюстранстве инвариантно относительно А„при этом Ае = Лве, ~ Ах = егх — (гу, ' е» Ае = Лес с-.» .Ч=ЛеУ (Ау=д*+~у Заметим, что векторы е и у ортогоиальны как собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям Ло и Ле. Поэтому (к+гу, ж — гу) = фг — ~9~~+21(х,у) = О:» ~ ~М1=Ь1, ~,(х,у) = О. Так как ~ж( = )у), то векторы ф и )Х( образуют ортонормированный базис Г(х, у), при этом для этих векторов верны соотношения (96.3). Вернемся к оператору А.
Если и и о — векторы с координатными столбцами ф и ф и Х = ь(и, о), то в силу (96,3) надпространство Х, инвариантно относительно оператора А и матрица оператора А) в ортонормированием базисе и, в имеет вид (96.2). Поступая так же с любой другой парой собственных значений Л, Л, заменяя пары векторов е, у из системы собственных векторов дм..., у„на соответствующие пары и, и и оставляя неизменными векторы, отвечающие вещественным собственным значениям, получим искомый базис. ° Теорема 96.7 в матричной формулировке означает, что вещестееннал матрица нормальна таогда и только тогда, когда она артогокальво подобна квазвдиагвваль вой матрице с вещесоигенными клетками первого порядка и вещественными хлетками второго порядка ' вида (96.2) на диагонали.
9 97. Унитарный (ортогональный) онератор Линейный оператор И, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, называется унитарным (соответственно оргаогональным) оператором, если И'И = ИИ = Х. Из определения вытекают следующие факты. 1'. Оператор И унитареи (ортогонален) тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет унитарную (соответственно ортогональную) матрицу. 2', Для унитарного (ортогонального) оператора И справедливы равенства И' =И, ~дегИ~ = 1. (97.1) 3'. Унитарный (ортогональный) оператор нормален. Линейный оператор И, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве г', называется изометричным, если он сохраняет скв парное произведение, т.е.
если (Их, Иу) = (ж, у), 'Фх, у 6 К 3 97. Унитарный (ортогонзльный) оператор 293 Теорема 97.1 (крнтерии унитарности). В конечкоггернок унитарном (евкгидовом) пространстве Ъ' следующие упгверхсдения равносильны: 1) оператор И унитарек «ортогонален); 3)И И=Х; 3) ИИ. =Х; 4) операпюр И изоггетричен," 6) оператор И сохраняет длину, т.е. )Их~ = '1х~, Ух е 'г'; 6) операпюр И переводит любой ортонормироваккмй базис г' в ортокорлгированний базис; 7) оператор И переводит хотя би один ортпокормированний базис Ъ' в ортокормировакный базис. Доказательство.
1 4ь 2 еь 3. Любое из равенств ИИ = Хили ИИ* = Х означает невырожденность И н существование И 1. Умножение обеих частей этих равенств иа И г (справа или слева) приведиг к тому, что И* = И '. Следовательно, имеют место импликапии 2 =ь 1, 3 =ь 1. Переход 1 =Ь 2, 1 =ь 3 очевиден. 1 =ь 4.
Так как-И'И = Х, то (Их,Иу) = (х,И"Иу) = (х,у), гх,у б Г 4 =:~ 1. Так как (х,И"Иу) = (Их,Иу) = (х,у), гх,у й T, то на основании теоремы 94.1 И*И = Х. 5.э, . Рз- %ля=- Л е-1з Чхб У. 5 =ь 4. Это следует из легко проверяемых соотношений: (х, у) = (~х+ у!г — фг — $у$г)/2 в евклидовом пространстве и (х,у) = (~х+ у~э — ~х — у~э+ г«х+йу~г — г~х — 4у(э)/4 в унитарном пространстве. 4 =ь 6. Очевидно, так кяк (Ие„Ие,) = (е' ед) = 613 б ~ 4. Если е,..., е„— ортонормированный базис У и х = )",". 1 х,е;, у = ~,.
у;е;, то Их = 2,',". х;Ие,, Иу =,~„,. у;Ие„и так как Ием ..., Ие„- ортонормированный базис, то, согласно (70.7), (Их,Иу) = = 2 '„ы, х;У; = «х, У), чх, У ь Ъ'. 6 =ь 7, Очевидно. 7 =э б. Этот переход фактически доказан в и. 6 =ь 4. а Следствие. Унитарный «ортогокалькмй) оператор ка любом иквариантном подпространстве индуг4ирует унитпаркмй (соответственно ортогональнмй) оператор, так кзк сохраняет скалярное произведение любой пары векторов этого подпространства.
Теорема 97.2. Если надпространство Ь инвариантно относительно унитарного (о1втогокального) оператора И, то его ортогональное дополнение Ь также инвариантно оиикюипмлько И. Доказательство. Пусть у ь Ь~. Покажем, что Иу ь Ь~, т.е. (х,Иу) = О, гх й Е,. Оператор И индуцирует на подпространстве Ъ унитарный (ортогонвльный) оператор И~А. Значат, оператор И~А 294 1'лава ХЪТ. Двнейнь»е операторы в унитарном пространстве обратим и его образ совпадает со всем подпространством Б, т.е. ппИ)»' = .» (теорема 83.5).
Это означает, что для любого вектора х е Х существует вектор х» ~ Ь чикой, что х = Ихь Тогда (х„Иу) = = (И*»,Иу) = (х»,у) = О, х» б Ь, у е Ь~. ° Т е о р е м а 97.3 (спектральная характеристика унитарного оператора). Нормальный оверавюр е унитарно н простракпиве унитарек тогда и толью тогда, когда осе его собсщвенкые аначенил во г»одулю раакм единице. Доказательство.
Необходимость справедлива в унитарном и евклндовом пространстве и означает, что все собственные значении унитарного (и ортогонального) оператора И по модулю равны единице. Докажем это. Пусть х — собственный вектор оператора И н Л вЂ” отвечающее ему собственное значение. Тогда (Их, Их) = (Лх, Лх) = = )Л!г(х, х) . С другой стороны, (Их,Их) = (х, И Их) = (х, х) . Из этих равенств следует, что»Л~ = 1. До с тато ч н о с т ь. Если И вЂ” нормальный оператор, то согласно теореме 96.4 в пространстве У существует ортонормнрованный базис ев..., е„из собственных векторов оператора И. Тогда для любого вектоРа х = 2,',"-, х»е; Е У имеем Их = 2„","„, х»Л»ев где )Л») = 1. 1 = 1, в.
Отсюда в силу ортонормировглности базиса е согласно (70.7) получаем (х,х) = 2 ",. !х»»г н (Их,Их) = 2 ",,!Л»»г»х»»г = ~ ",,!х»»г. Следовательно, ~Их~ = »х(„Чх е У, н И вЂ” унитарный оператор (теорема 97.1). ° Каноническая форма матрицы унитарного оператора. Из того, что унитарный оператор нормален и все его собственные значения по модулю равны единице, следует, что е просп»раневые У су»цестеуе»в ортанормироеанный базис е, е котором матрица унитарного оператора И имеет диагональную форл»р: где»Л»! = 1, 1 = 1, в, или, в матричкой формулировке» унипюрнаа г»атрица унипюрко подобна диагональной г»ашрице, у кооюроб есе диагональные элементы по модулю равны единице. Каноническая форма матрицы орта~онального оператора.
Пусть Я вЂ” ортогональный оператор, действующий в евклидовом пространстве Е. Согласно теореме 97.2 (и. "необходимость" ) и второму нз равенств (97.1) для его собственных значений Л и определители (так как Л ~ 11, бес»Е Е й) имеем Л = х1, де1 Я = х1. В любом ортонормированном базисе е оператор Я имеет ортега. нгльную матрицу Я„следовательно, у'97. Уннтарный (ортогональный) оператор Одногггриий случай. В одномерном пространстве матрица чг ортогонального оператора Я в ортонормнрованном базисе е1 имеет вид 197,4) 9, = ~~1].
Иными словами, либо Я, = Х, либо Я, = -1. Двумерный случай. В двумерном пространстве, согласно мореме 99.7, существует ортонормированиый базис е, в котором ортогональный оператор 1г имеет либо вещественную диагональную матрипу, либо вещественную матрицу вида ~, )1 ~ О. В первом случае на диагонали расположены собственные значенив оператора 1д, т.е. числа 1 или -1. Во втором случае, если сг, = ~ 9 ~„~3 ~ О, то Щ = аг + ф = 1. Положив а = сов гг,,й = — вш~р, получим Юе = 1 ~рфнй.
Заметим, что (~, — недиагонализуемая матрица, так как ее характеристический многочлен ДЛ) = Лг-йсов~р 1+1 не имеет веществввппах корней (в силу 1о гЕ нй). Таким образом, для любого ортогонального оператора в двумерном евклидовом пространстве существует ортонормированиый базе'„ в котором оператор имеет одну из следующих матриц: где у ф в"й, й б Е. Общий случай. Теорема 97.4. Длл любого ортогонального олерашора Я е евклидовом простраисвгве суигесглеугга ортоиормирован~ый базис е, в копюром его магприца имеггл квавидиагональиую форму вида сов ф1 — вш фг в1п ~р1 сов р1 сов фь — вш фв вшггг сов рь 296 ГлаваХИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
