В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(100.19) Сравнение равенств (100.19) н (100.19) доказывает, что Ви = И6. ° Глава ХУ11, Билинейные и квадратичные формы В ббе была рассмотрена одна нэ основных занан эиалэтнческай геометрии на плоскости — приведение обшего уравнения линии второго порядка к каяоническаму виду: Теория хвадратичньос бюрм, излагаемая здесь, стеввт основной сваей целью рыпение втой н связанных с нею эаэач в пространстве любой размерности. $ 101.
Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве Нижщейиые формы. Пусп Ъ' — линейное пространспю над полем Р . Отображение А: гг х 1г -+ Р называется билинейной формой в пространстве $г, если для любых х,у, х Е 1г, о б Р: 1) А(х+у,л) = А(х,л) +А(у,л); 2) А(ох,у) = аА(х,у); 3) А(х,у+я) = А(х,у)+А(х,х); 4) А(х,оу) = оА(х,у).
(101.1) (101.2) эд — г тх = 2 а х;е,, у = ~;ы, у,ет, где а; (э, т' = 1,п) — фиксированные числа, является билинейной формой (в силу линейности координат). Теорема 101.1. Пусть г' — линейное пространство над поливе Р и е„..., е„— базис и'. Длл любых чисел ае Е Р, т,у = 1, и, сугцестеует, и притолт единсгпеенная, билинейная сборлт А(х,у) е пространстпве $', длл которой А(е„еу) = ао, т,,1 = 1, и. ' В этой главе иредполагаепы, чта характеристика основного псия равна нулю. Билинейная форма называется силаметпричной, если А(у,х) = = А(х,у), тх, у е г', и кососиыметричной, если А(у, х) = — А(х, у), 'тх,у Е Ъ'.
Примеры. 1. Скалярное произведение (х, у) в евклндовом пространстве является симметричной билинейной формой. 2, В любом линейном пространстве 1г, если Дх) „у(х) — линейные формы, то функция А(х, у) = Дх)у(у) является симметричной билинейной формой. 3. В и-мерном пространстве г' с базисом ем...,еэ отображение А: г' х У -е Р, определенное правилом 3101.
Вялил. н кввдр. формы в линейном пространстве 309 Доказательство. Пусть е1,...,е — базис пространства У и ау, з, у = 1„тз, — заданные числа, Отображение (101.2) является билинейной формой в пространстве У (пример 3), причем А(е;, е„) = аг, з,у = 1,п (так как векторы е1 и е имеют очевидные наборы координат в базисе еы..., е ). Покажем, что любая билинейная форма В(х, у) в пространстве У, для которой В(е;, еу) = а,, т, ) = 1, и, со. впадает с А(х,у).
В самом деле, для любых векторов х = ~;,". хгеи у =',) ",, у;ег в силу (101.1) имеем В(х,у) = В(2',".ы1 х1ег,~„", у е )= ,') ",х1у В(еое~) = ~,"- 1айхгуу, те. В(х,у) = А(х,у), Чх,уй У, ° Таким образом, в примере 3 приведен самый обп)ий вид билинейной формы в е~-мерном пространстве. Представление билинейной формы в виде (101.2) называется оби(им видом билинейной формы е базисе е. Матрица А, = (аи) б Р""", элементы которой определены равенством а;. = А(е,, е ), т', ) = 1, и, называется матри1(ей билинейной формы А(х, у) е базис» е. Квк следует из теоремы 101.1, билинейнвл форма однозначно определяется своим заданием нв бвзисвых векторах, при етом матрица билинейной формы предстввзяет собой твбвицу ее значений нв перел базисных векторов я в силу (101.2) однозначно определяет значения втой формы для мсбой вары векторов.
Общий вид (101.2) билинейной формы А(х, у) может быть записан в компактной форме: если х, и у, — координатные столбцы векторов х и у в базисе е, то А(х, у) = хгА,у„А(х, у) = утА~ х,. (101.3) Первое из равенств (101.3) проверяется непосредственно, второе равенство можно получить транспонированием обеих частей первого. Выражение в правой чести равенстве (101.2) нвзывзегся белккееноа фогмюй от переменных зь..., к„и Вы..., И . Правые чести рексисте (101.3) предстввляют собой компактную зввись этой билинейной формы.
Теорема 101.2. Суигестеует взаимно однозначное соотестстзие между множесгпеом всех билинейных форм е и-млрном пространстве У над полем Р и мнозгсестеом матприц Р""". Доказательства. Пусть е1,...,е„— базис пространства У. Поставим в соответствие каждой билинейной форме А(х, у) ее матрицу А, й Р""". Это соотиетствие биективно, твк как каждая матрица А = (а; ) е Р""" в силу теоремы 101,1 являетсн матрицей билинейной формы (101.2) и в силу однозначности координат различные билинейные формы имеют разные матрицы.
° Т е о р е м а 101.3. Билинейнвл форма симметрична (кососимметрична) тогда и только тогда, когда ее матриз(п е любам базисе симметпрична (соответственно кососиммегпрична). Доказательство, Необходимость проверяется непосредственно. Д о с та т о ч н о с т ь. Если Ат = А, то, согласно (101. 3), А(х, у) = = утАтх =А(у,х).а Глава ХИ(. Билинейные и квадратичные формы З10 Теорема 101.4. Матрицы билинейной формы А(х, р) в базисах с и У = еЯ связаны соотноигснием Ау = Я А,Я. Доказательство. Согласно (101.3~, с одной стороны, А(х,р) = хг Агрг = (хг = Яву~ рг = ф~г) = ху(~ АеЯрр С другой стороны, А(х, р) = хутАуду. Отсюда с учетом произвольности х, р следует утверждение теоремы. ° Следствие.
гй А, = гй Ау . Таким образом, все матрицы одной билинейной формы имеют одинаковый ранг. Рангом билинейной формы называется ранг се матрицы в произвольном базисе. Билинейная форма А(х, и) называется вмрохсдснной, если гй А(х, р) < йш У, н. невмрохсдснной, если гк А(х, р) = = йшУ. Теорема 101.$. Билинсйнал формаА(х,р) вмрохсдена тогда и только тогда, когда сргцсстерст вектор х ф И такой, вно А(х, р) = О, Чр б К ( ,4) Доказательство. Пусть см..., г - базис 1" и А, = (а; -) — матрица билинейной формы А(х, р) в этом базисе.
Соотношение (101.4) равносильно системе равенств А(х, е;) = О, у = 1, и, или, если учесть разложение х = ~,, х;е;, системе равенств ~ ~ х;А(с„е,) = О, у =1,н, те. омх1 + а21хг +... + ачг хо = 0~ аг х1+ аг»хг + " + а „х„= О. (10 . ) Значит, бнливейнгл форма А(х,р) вырождена тогда и только тогда, когда однородная система линейных уравнений (101.5) имеет негривиальное решение, т.е. (теорема 23.5) когда гй А, < и. и Квадратичные формъь Пусть А(х, р) — симметричная билинейная форма в пространстве У над полем Р. Квадратичной формой называется отображение А: Ъ' -+ Р, которое каждому вектору х и У ставит в соответствие число А(х, х), т,е. сужение симметричной билинейной ферми на диагональ (декартова квгдрата У х 'г'). Обозначение: А(х,х) или А(х).
Билинейная форма А(х,р) при этом называется полярной би,линейной 46ормой к квадратичной форме А(х, х). Т в о р в и а 101.6. Поллрнал билинейная Форма длл любой квадратичной формы определена однозначно. Это утверждение вытекает из того, что если А(х,р) — полярная билинейная форма для квадратичной формы А(х, х), то для любых х,рбмк А(х, р) = —,'(А(х+ у,х+ р) — А(х,х) — А(р, р)) ° Таким образом, полярная билинейная форма А(х,р) однозначно восстанавливается по квадратичной форме А(х,х). Единственность 3101.
Билни. нкввдр. формы в лннейномпрострвлстве 311 полярной билинейной формы А(х, р) позволяет переносить ее характеристики на квадратичную форму А(х, х). Маглрицеб квадратичной формы А(х,х) в базисе е называется матрица полярной к ней билинейной формы А(х, у) в этом базисе. Из свойств билинейной формы вытекают следующие свойства квадратичных форм. 1'. Матрица квадратичной формы симметрична. 2'. Существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами в пространстве У и симметрическими матрицами ргьхи 3'. Матрицы квадратичной формы в базисах е и у' = еЯ связаны соотношением ~тА 6) (101.8) Матрицы А и В, связанные равенством В = Я~АЯ для некоторой невырожденной матрицы Я, незывшотся конгрузнтнмми.
Нетрудно проверить, что отношение конгруэнтностн является отношением эквивалентности на множестве матриц одинакового порядка. Таким образом, матрицы квадратичной формы А(х, р) в базисах е и У конгруэнтны, а если е и / — ортонормированные базисы, то эти матрицы подобны. 4". В базисе е квадратичная форма А(х,х) с матрицей А, = (а;г) может быть записана в следующем виде: Чх = ~ "., х;е; А(х,х) = ~~~ агзхгхгч ам = ар, (101.7) нли, в компактной форме, А(х, х) = я~~А х„Ат = А,. (101.8) Представление квадратичной формы в виде (101.7) нли (101.8) называется общин видом квадратичной формы А(х,х) в базисе е. Выражение у(хм...,х„) = ~„, абх;хч где аб = а;, называется квадратичной формой от персмаеннмх хы..., х„. 5'. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе.
Очевидно, г8 А(х, х) = гй А(х, у) . Квадратичная форма А(х, х) называется вырожденной, если гбао(х,х) ( бппУ, и невмрожденноб, если гяА(х, х) = йш %'. Канонический внд квадратичной форыгя. Выбирая подходящим образом базис г', можно менять вид матрицы квадратичной формы и, следовательно, ее общий внд (101.7). Базис е = (ем...,с„) называется каноническим базисом квадратичной формы А(х,х), если матрица квадратичной формы в этом базисе диагональны А, = бйай(Лм..., Л„). Глава ХУП. Билинейные и квадратичные формы В каноническом базисе квадратичная форма А(х, х) согласно (101.7) имеет вид А(х,х) = Лги~~ + ... + Л„хд„, который нэзывается каноническим видом квадратичной формы, а числа Лы..., Л„ — ее каноническими каэфе1ициенгпамп.
Канонический вид называют также сдммой кеебрапгоа Очевидно, что число ненулевых квадратов совпадает с рангом А(х, х). Итак„есин е — каноническнй базис и т = гиА(х, х), то А(х, х) = Лд, дг+... + Л„х„', 'дх = ~ г 1 (101.0) 1 -агд/аы ... -аг„/ам О 1 ... 0 (101.10) 0 О Т е о р е и а 101.7. Дол любой квадратичной формы сдщесгаер- ега канонический базис. Доказательство. Пусть е = (еы...,е ) — базис У. Квадратич- ная форма А(т,х) с матрицей А, = (оу) имеет в этом базисе вид (101.7), Обозначим д(хм,, х„) = 2," а;.х,х .
Покажем, что переходом к другому базису квадратичная форма А(х, х) приводится к каноническому виду. Переход к другому базису У = еО равносилен преобразованию координат по известному закону х, = Яху, Д р О. В терминах координат утверисдение теоремы озна- чает, что любое кеаораглп анод Форма д(хм,х„) от переменных хп...,х„невмрожоеннмм преобразованием координагп приводится к сумме кеадравдое. Это мы и будем доказывать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
