В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В = А . Един с твен ность вытекает из теоремы 94 1, так как для любых двух операторов 6 и С, сопряженных к А, имеет место соотношение (х, Ву) = (Ах, у) = (х, Су), Чх й $', у й И'. ° Теорема 94.4. Операция сопряжения линсйноеа оператора обладает слсдуннцими свойствами: 1„) (А+6)' =А" +В, ф (аА)* = аА', Я) (А6)" = В А", 4) (А ') = (А*) ~, 3) (А')' = А, выполненными для любых опсралюров, длл которых определены ука- эанные операции. Доказательст.во. Все свойства доказываются однотипно.
До- кажем свойства 3 и 4. Свойство 3 вытекает из (94.1) и теоремьх 94.1, так как (х,(АВ) у) = (АВх,у) = (Вх,А"у) = (х,В*А"у), Чх,у. Свой- ство 4 (очевидно, для невырожденных А й Е(К Ъ")) вытекает из свой- ствай,таккакеслиАА 1 =А 1А=Х,то (А г) А' = А (А г)' =Х. Это означает, что оператор (А г)' является обратным к А'. ° Матрицы операторов А и А в паре ортонормированных базнсои. Пусть 1г и йг — унитарные (евклидовы) пространства раз- мерностей и и т соответственно. Теорема 94.$.
Матрицы операторов А й .С('г', й') и А' й е Ю(К Иг) в паре оргяоиормироеанных базисов сопряжены друг другу. Доказательство. Пусть е = (ем...,е„) — ортонормнрован- ный базис й, 7 = (Л,..., Х ) — ортонормированный базис йг. Пусть, з 96. Сопряжение оператора, действующего в одном лространстве 287 Содержание $94 остается справедливым и для. операторов, действуюпгнх в одном пространстве. Исключение соспшляет лишь теорема94.5: в этом случае базисы е и у совпадают, и теорема будет относиться к одному ортонормированному базису е.
Так, если е — ортонормированный базис И, то (А'), = (А ) (соответственно (А'), = (Аг) ) (95.1) и как следствие деФА =йеФА (95.2) Две системы векторов хы..., х» н ум, у» в унитарном (евклидовом) пространстве Фт нгзываются биорпюголальиими системами, если (х», у») = бй, где б»у — символ Кронекера (см. (70.2)). Каждая из двух биортогональиых систем векторов линейно независима.
В этом можно убедиться, если приравнять линейную комбинацию одной системы нулевому вектору и последовательно умножать обе части полученного равенства скалярно на векторы другой системы, Биортогональные системы ем,с„и Л ",Д„, образу»вшие базисы пространства Фг, называют биорпюгоиальиой парой базисоа Итак„ (95.3) Примером бнортогональной пары базисов могут служить тройки некомплаиарных векторов а, Ь, с и [Ь, с[, [с, а1, [а, Ь) геометрического пространства Ъз, для которых ( а, Ь, с) = 1.
Очевидно, что ортонормированный базис биортоговален самому себе. Теорема 95,1. Длл любого базиса ет,..., г„уиишариого (евклидова) иростраистава сут»»есп»вуета, и припюм гдиисп»всиимй, биороюгоиальимй базис у»,... „)'„. Доказв.тельство. Согласно (95,3) вектор Уу, у = 1, и, ортогоявлен всем векторам см...,е„, кроме е . Следовательно, гг е»4, где Ц =,С."(см..., е, т, е +м..., е„). Очевидно, пайп Ц = 1, Если 9 — базис Х', то уг = ау. Из (95.3) спедует, что (Д, е ) = 1, откуда получаем, что а = 1)(д, е-). Тем самым доказаны существование и единственность векторов уг, у = 1, и, биортогональиого базисе. н Т е о р е м а 95.2.
В яарв биорпюгоиальиих базисов е и т унитарного (ввали»тово) ярос»праистава Ъ' матарит»м оиерашоров А и А" связаны соотаиошгиигм (А')у = (А,)н. Доказательство. Пусть А, = (а»у), (А )у = (50). Тогда Ае = = ~ », а»усы А*А = Щ Ф ь»»г». Умножив первое из этих равенств скалярно на Л, получим, что (Аег,У,) = т»»а»у(е»,Я = а», а»ьч»»нманпаа н и ч т 288 Хлева ХУХ. Линейные операторы в унитарном пространстве С другой сторояы, (Ае,Хг) = (е,А'Я = (е„-,~ „", Ьыуь) оы(е,,Хь) = бп. Следовательно, а,- = огз, 4 = 1,п, 3 = 1,п.
Это равносильно (95,4). ° Теорема ЯЬ.З. Если надпространство Х инвариантно относителько оператора А, то его ортогональное дополнение Х,.т инвариантпно относапгельно сопрзсгсенного оператора А'. Доказательство. Если х 6 Х, р й Х"., то (Ах, у) = О, так как по условию теоремы Ах е Х. С другой стороны, (Ах,1и) = (х, А р). Следовательно, (х, А'у) = О, Чх е Х, и, значит, А'р е Б .
° 9 96, Нормальный оператор Определение и свойства, Пусть У вЂ” унитарное или евклидова пространство, Линейный оператор А й,С(У, У) называется нормальнъм оператором, если АА' = А'А. Квацратная матрица А (комплекснал или вещественная) назьтвается нормальной матрицей, если Аян Дня Замечание 1. Из определения н соотношения (96.1) следует, что оператор нормален тогда и только тогда, когда в любом ортонормярованном базисе его матрица нормальна.
Т ее р е м а 96.1. Собственный вектор нормального оператора, отвечающий собственкому зкачекию Л, лвллетсл собственным вектпором сопрлхсеккого оператпора, отвечающим собственномр зкачению Л. Доказательство. Легко проверить, что если А — нормгльный оператор, то А — ЛХ также нормален. Пусть теперь х — собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению Л; тогда (А — ЛХ)х = В и ((А — ЛХ)х, (А — ЛТ)х) = О. Согласно (94,1) отсюда следует, что (х, (А — ЛХ)'(А — ЛТ)х) = О или„с учетом нормальности оператора А — ЛХ, что (х, (А — ЛТ)(А — ЛХ)'х) = О, те, ((А — ЛТ)'х, (А — ЛХ) "х) = О н (А — Л2)*х = В.
Отсюда в силу теоремы 94.4 получаем, что (А — ЛХ)х = В„те. А х = Лх, ° Сл едет в ие 1. Если А — нормальный оператор, то КетА = кегА', так как нетривиальные векторы ядра являются собственными векторами, отвечающими нулевому собственному значению.
Сле дстпв не 2. Если А — нормальный оператор, то Это следует из (94.9) и (96,1). 9 96. Нормальный оператор Нормальный оператор и его матрица в унитарном пространстве. Теорема 96.3 (теорема Шура). Длл любого оператора, действующего в унитарном простракстпве, сущестлвует орвомормироеаккмй базис, в котором ок имеет треуголькую матрицу. Д о к аз а т е л ь с т в о этой теоремы отличается от доказательства теоремы 89.2 только тем, что на каждом шаге строится ортонормированный базис инвариантного подпростраиства. ° Ортонормированный базис унитарного (евклидова) пространства, в котором матрица линейного оператора имеет треутольную форму, называется базисом Шура для этого оператора. Т в о р е м а 96.4 (критерий нормальности). Ликейкжй оператор, действующий в укитарквм првстракставе нормалек тогда и еголька тпогда, когда существует орегокормировакимй базис из собствеккьтх векпторов этого оператора.
Доказательство. Необходимость. Пусть А — нормальный оператор и е — его базис Шура. Тогда аы 0 ... 0 ага агг г... О аы аш ". ат 0 агг ... аг„ О 0 ... а„„ А,= ~ и, согласно (95А) и замечанию 1, А,(А )н = (А,)нА . Сравнив диагональные элементы матриц, располоткенных в левой и прелой частях последнего соотношения, получим равенства )азт )~ + (атг~~ +... + )ат„(~ = ~отт ~~, )агр~~ +... + ~аг„~г = ~г ~ ~г + ~ ~г ~ ~г из которых следует, что агг — атз — ° ° — ать = О, агз = аг4 = ... = аг„= О, ..., а„к„= О.
Следовательно, матрица А, имеет диагональную форму, Таким образом, базис Шура является ортонормированным базисом нз собственвьтх векторов оператора А. Достаточность. Пусть е — ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, тогда Теорема 96.2. Собсптвеккме вектпорм кормальиого оператора, отвечающие рвали'тимм собстпвеккмм значениям, коварно ортогокалькж. Доказательство.
Пусть Ах = Лх, Ау = ду, Л ф р, Тогда (Ах,у) = (Лх, у) = Л(х,у). Сдругой стороны, (Ах,у) = (х,А'у) = ( в силу теоремы 90.1 ) = (х, ру) = р(х, у). Следовательно, Л(х, у) = р(х, у) н так как Л ф,ы„то (х, у) = О. ° 290 Глава Хг'Х. Линейные операторы в уннтартьм пространстве Из перестановочности дваговальных матриц следует, что А, — нормальная матрица. Это означает (замечание 1), что А — нормальный оператор. ° Слгдс те ие 3. В унитарном простракспьее нормальный оператор А и гго соирлжеккый оператор А' имеюпь общий ортокормироеаккый базис иг собспьееккых еекторое. Теорема 96.5.
Если любой собственный еекпюр оператора А, действующего е унитарном пространстве Р, является собственным вектором сопрлжеккого оператора А', пю А — нормальный оператор. Доказательство. Любой оператор, действующий в комплексном пространстве, обладает хотя бы одним собственным вектором (теорема 36.6), Пусть ьььпь У = п н еь — собственный вектор оператора А, тогда еь — собственный вектор оператора А* и,С(еь) инвариантна А*.
Согласно теореме 95.3 подпросгранспю Х„ь = Ю"-(еь) инвариантно относительно оператора А. В атом подпространстве (в силу теоремы 86.6) существует собственный вектор ег й Х,„ь оператора А, при зтом ег 1. еь. Вектор ег также является собственным вектором А', и по-прежнему С(ез) инвариантно относительно А' и, следовательно, Х„г — — с'. (ег) (имеется в виду ортогональное дополненяе Г(ег) до Б„ь) инвариантно относительно оператора А. Поступая аналогично, построим ортогональную систему собственных векторов еь,...,е оператора А.
Тогда векторы еь/(гь), ..., е„/(е„( образуют ортоиормнрованный базис пространства Ъ', состоящий нз собственных векторов оператора А, и в силу теоремы 96А А — нормальный оператор. ° Заме ьакиг 2. Отметим, что доказанная теорема является обратной к теореме 96.1 для случал унитарного пространства. Унитарно подобные матрицы. Подобные комплексные (вещественные) матрицы А и В = ьг ьАЯ называются унитарно (соответственно ортогокалько) подобными, если матрица преобразовання подобия Я унитарна (соответственно ортогонгльна), т.е. если Я~Я = = ь~Ол = Х (соответственно Ятчг = ЯЯт = Х). Очевидно, что соотношенне подобия для унитарно подобных матриц А н В имеет вид В = ОлАЯ, а для ортогонвльно подобных — ввд В = ЯтАЧ, Замечание 3.
Из теоремы 70.5 н свойства 8' 382 следует, что дае комплексные (вгщгспьесккые) кеадраткыг матрицы одинакового порядка унитарно (саопьеетсьлеекко орпюгокалько) подобны пьогда и пьолько тогда, когда оки яеляпп~ся маьприцами одного и тога же оператора е укипьарком (соопьеетспьеекко ееклидоеом) пространстве е ортокармироеаккых базисах. Т е о р е м в 96.6, Квадратная комилевскаа матрица нормальна тогда и пьолько тогда, когда ока унитарно подобна диагональной матрице, нлн, в другой формулировке„квадратная комплексная матрица п-го порядка нормальна пюгда и только пьогда, когда ока плыла ортокормироеаккую систему иг и собспьееккых векторов. $ дб. Нормалыпгй оператор Доказательство может быть проведено по известной схеме (88.6), если использовать ортонормированные базисы е, у и учесть замечание 3. и Доказанная теорема представляет собой матричную формуляров~ ку теоремы 96.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
