В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Линейныеоператорывулизнрномпространстое Доказательство. Утверждение теоремы вытекает нз теоремы 96.7 с учетом (97.4) и 97.6. и Матрица (97.7) называется канонической формой матрицы ортогонального оператора. Простым вращением называется оператор в евклидовом пространстве, который в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу вида Простим отразмением назывеется оператор в евклидовом прострапстве, который в некотором оргонормировзлпом базисе имеет матрицу вида (97.9) Из определения следует, что простое вращение и простое отраисение — ортогонвльные операторы, чнк как их матрицы (97,8) и (97.9) в ортонормнрованном базисе ортогонгльвы. Простое вращение представляет собой поворот в некоторой двумерной плоскости и оставля-' ет неизменным (и — 2)-мерное надпространство, ортогональное этой плоскости.
Простое отражение меняет направление всех векторов некоторого одкомерного надпространства и оставлжт неизменным его (и — 1)-мерное ортогональное дополнение. Теорема 97.6. Всякий ортогонаяьнмй оператор может быть представлен как композиция некоторого числа простыв вращений и простых отраиссний. Это утверждение следует из того, что матрица вида (97 7) может быть представлена в виде произведения некоторого числа матриц вида (97.8), (97.9).
° у 98. Самосопряженный оператор 9 98. Самосопряженный оператор Линейный оператор А, действующий в унитарном (евклндовом) пространстве, называется озмосопряэсеннмм, если А = А'. Само- сопряженный оператор в унитарном пространстве называют эрмитоемм, а в евклидовом пространстве — симметрическим. Квадратная матрица А (комплексная нлн вещественная) называется самосопряженной, если А = Ап. Комплексную самосопряженную матрицу называют эрмитоеой, а вещественную — симметричесно6 нли вещественно-эрмитоеой (очевидно, для снммегрической матрицы; А = Ат), Из определения вытекают следующие свойства. 1'. Самосопряженный оператор нормален.
2'. Оператор самосопряжен тогда н только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет самосопряженную матриву, 3'. Определитель самосопрнженного оператора веществен, 4'. Если подпространство Х инвариантно относительно самосопряженного оператора А, то Ь". также инвариантно относительно А (теорема 95.4). 5'. Самосопряженный оператор на любом инварнантном подпространсгве индуцирует самосопряженный оператор. Теорема 93.1 (спектральная характеристика самосопряженпого оператора).
Нормальный оператор е унитарном (ееклидоеом) пространстве сомосопряхсен тогда и только тогда, когда есе корни его характеристпического многочлена вещественны. Доказательство. Необходимость. В унитарном пространстве зто утверждение означает, что все собственные значения зрмитова оператора вещественны, н вытекает нз равенств Ах = Лх и, с учетом теоремы 96.1, Ах = Лт. Докажем утверждение для евклидова пространства Е. Пусть е — ортонормироввнный базис Е, тогда А,— свмосопряженная (вещественная) матрица.
Рассмотрим произвольное унитарное пространство У той же размерности, что и пространство Е, и в нем произвольный ортонормированный базис у. Тогда матрице А отвечает самосопряженный оператор 6 б,С(У, У), для которого матрица А, является матрицей в базисе,1: А, = Ву. Следовательно, характеристические многочлены операторов А я Е совпадают и по доказанному вьппе (примвнитавьно к оператору 6) все корни характеристического многочлена оператора А вещественны. Достаточность. Пусть А — нормальный оператор и все корни его характеристического многочлена веществеяны.
'1огда ввк в евклидовом, так и в унитарном пространстве существует ортонормированный базис ем..., е нз собственных векторов оператора А Если ~~в, б й А '~9 Л, А х = ,')",". х Л;е; = ~ ",, х;Л;еп так как Л; е )й. Следовательно, Ах =А*х,Ъх е Р, откуда следует, что А = А . ° 298 Глава ХУ1т. Линейные операторы в унитарном пространстве Итак, для самосопряженных операторов основное поле (К нли С) не играет такой "роковой" рслн, квк вто было с другими операторамн; все утверждения, относящиеся к эрмнтовым операторам н матрацам справедлявы и для симметрических операторов и матриц.
В частности, квк следует из теоремы 93.1, нормальный онерапнтр, действующий е унитпарнам (или ееклидоеом) простпранстпее, сомосопрягтсен птогда и оюлько тпогда, когда сущесиюуетп ортонормиро. ванный базис, е каморам его лтатрина имеетп еещеситеенную' диагональную форму, нлн, в матричной формулировке: нормальная матрона (комплексная или вещественная) яеляетпс» саносопряотсенной птогда и только тогда, когда она унитарно (соответственно, ортпогонаяьно) подобна еещестпеенной диагонпеьиой матртще. 9 99. Знекоопределенные операторы Т е о р е м а 99.1. Если е унитарном пространстве )т для лю6ого вектора х имеет место раеенст;ео (Вх, х) = О, то В = О.
Доказательство. Для любых векторов у,г й т' имеем (6(у+ + г) у+ г) = О н (В(ту + г) ту+ г) = О, т е. (Ву у) + (6г у) + (Ву г) + +(Вг,г) = О, (Ву,у) т(6г,у)+1(Ву,г)+(Вг,г) = О нлн, с учетом условна теоремы, (Вг,у) + (Ву,г) = О, — г(Вг,у) + ъ(Ву,г) = О. Прнбавнв к первому равенству второе, умноженное на -т, получим, что (6у, г) = О, Чу, г Е 1т.
Следовательно, 6 = О (теорема 94.1). ° Теорема 99.2. Линейный оператор А е унитарном пространстве 1г грмитое тогда и питаево тогда, когда (Ах,х) Е К, Ух Е 1т. Доказательство. Необходнмость. Еслл А. — эрмнтов оператор, то (Ах,х) = (х, А'х) = (х, Ах), гх е Ъ'," следовательно, (Ах, х) = (Ах, х) н (Ах, х) Е К, т х й У. Достаточность, Пусть (Ах, х) Е К.
Тогда (Ах,х) = (х, Ах) н (Ах, х) = (х, А'х). Отсюда следует, что (х, (А — А )х) = О, гх е )т. Отсюда на основании теоремы 99.1 следует, что А = А . ° Замечание, Условие (99.1) формально верно н в евклндовом пространстве, однако лишено смысла, так как справедливо для любых линейных операторов А. Теорема 99.2 позволяет для самосопряженных опергпоров А говорить о знаке числа (Ах, х). Самосопряженный оператор в уннтарном (евклндовом) пространстве называется нолоотситиельно определенным, если (Ах, х) > О, 'г'х ~ й „ з 99. Знакоопределеютые операторы неотпрмтеаптагьно опредагемньию (отщкщатпельно определенным или неполохсипгеяьно определенным), если (Ах, х) > О, гх эг д (соответственно(Ах,х) < О или(Ах,х) < 0),Обозначекиет А> О,А> О, А < О, А < О соответственно. Если е = (ет,..., г ) — ортонормированиый базис пространства тт, то скалярное произведение (Ах, х) согласно (70.7) может быть записано в виде (Ах,х) = хнА х для унитарного пространства, (Ах, х) = хтл,х, для евклидова пространства, илн (Ах, х) — (А ех ее хе) в естественном скалярном произведении арифметического пространства ь, (в случае унитарного Пространства) илн й (в случае евклидова пространства).
Эрмитова (нли симметрическая) матрица А нэзывэется полохсит;ельне опредегенмдй если хлАх>0, хФИ (соответственно хтАх > О, Чх Эь 9) или если (Ах,х) > О, х Ф й в естественном скалярном произведении арифметического пространства С" (или гг"). Очевидно, что оператор А положительно определен тогда и только тогда, когда в любом ортонормнрованием базисе он имеет положительно определенную матрицу. Теорема 96.3. Самосопрлотсенный оператпор А е рнптпарном ти ееклидоеом) простпранспюе пологтсмтагьно определен (сооптеепгсптвемо А > О, А < О, А < О) тпогда п птолько пюгда, когда есе его собспгееннне гначемнл Л > О (Л > О, Л < О„Л < О). Доказательство. Докажем вариант теоремы, относящяйся к случаю А > О.
Необходимость. Если А > О, то (Ах,х) > О для любого вектора х эг д. В частности, зто верно и для собственного вектора х, поэтому (Ат,х) = (Лх,х) = Л(х,х) > О, где (х,х) > О, Значит, Л> О. Достаточность. Если А — самосопряженный оператор, то существует ортонормированньтй базис из собственных векторов ем, е„ опе)тагора А. При этом соответствующие собственные значения Л, > О, г = 1, и. Тогда для любого вектора х = ~ "., хге; эг о имеем (Ах,х) = д„, х,Лге„~,, хеет — — ~ „, Л,)х;~г > О, ° Следстпеие ЕсгнА > О ~нлиА < О), тпо операпторА обратпим, так как дегА = Лт °...
Л„. 300 Глава ХУ1. Линейные операторы в унитарном пространстве Т е о р е и а 99.4. Операпюр, воротний и полоэсительно /отрицательно/ опредаленнолгу оператору, иолоясительно (соопыетсгпвенно отрицательно/ определен. Доказательство, Если А — самосопряженный оператор, то А 1 — тоже самосопряженный оператор, так как согласно теореме 94.4 (А 1)* = (Аь) = А 1. Если А > О (А < О), то все собственные значения оператора А 1 положительны (соответственно отрицательны), так квк опи обратны собственным значениям оператора А, Из теоремы 99.3 следует, что А г > О (А 1 < О). ° Т е о р е м а 99.5. Дю любого неотрицательно (положительно/ определенного операв1ора А существует, и иригполг единственный, неотрицательно (соогпветственно положительно) определенный оператор В такой, что В = А.
Доказательство. Существование. Построим оператор В. Пусть ем...,е„- ортонормнрованный базис просгоюгства из собственных векторов оператора А н Ае; = Л;е,, г = 1,п. По условию теоремы Л, > 0 (Л, > О), 1 = 1, и, Положим Ве; = ~/~е,, г = Т, и. (99.3) Из (99.3) следует, что оператор В > О (В > О), так как  — нормальный оператор (ибо существует ортонормированный базис ем...,е„ вз собственных векторов В), прв этом он самосопряжен (нбо его собственные значения йЛ; й И) и, кроме гого, /К > 0 (~/Лг > О). Оператор 6 — искомый, так как асину (99.3) Вге; =Лсе+ —- Ае;, а = 1,п.
Единственность, Пусть существует другой оператор С > О (С > О) такой, что С~ = А, Тогда существует ортонормированный базис Д,..., У„пространства из собственных векторов оператора С. Если СЛ = рл/и г = 1, и, то А/г = Сг/г = рггз'о 1 = 1, и. Значит, числа Д,..., рг являются собственнымн значениями оператора А и, следовательно, совпадают с числами Лм..., Л„. Покажем, что Се; = ~/Л;е„г = 1, и, (99.4) тем самым в силу (99.3) будет доказано, что С = В. Разложим вектор е; по базису /: н е; = ) аь/ь. Отметим, что в этом равенстве участвуют оэбетвенные векторы еь /и...,~„оператора А, отвечающие собственным значениям Ло Ргг, ..., /г„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
