В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Квадратичные формы А(х, х)„для которых А(х, х) > О, ~гх б Ь", или А(х,х) < О, дх б д, называются кеазизнаконостолннмми. Квадратичные формы, для которых существуют векторы х и у такие, что А(х, х) > О, А(у, у) < О, называются знаконгременнь»ни. Из (101.9) н (99.2) следует, что квадратичная форма А(х, х) положительно определена тогда и только тогда, .когда в любом базисе пространства оиа имеет положительно определенную матрицу (это же, очевидно, относится ко всем зивкоопределенныьд квадратичным формам). Пример. Примером положительно определенной квг1пратичной формы в вещественном пространстве может служить скзлярный квадрат в евклндовом пространстве, т.е. отображение А: Е -+ Й, определенное равенством А(х) = (х,х), Чх б Е.
Это следует иэ того„ $102. Квадратичные формы в вещественном пространстве 317 что скалярное произведение (х, р) является слмметрнчной билинейной формой (в силу аксиом 1 — 3 из (68.1)), а скалярный квадрат — положительно определенной квадратичной формой (в силу аксиомы 4). Теорема 102.3. Квадратпичнал форма А(х,х) полоотситпельно (отприцапюльно) определена оюгда и тполько тогда, когдп ее пагогтсигпгльныт1 (совтветспменно отприцапмльнмй) индекс инерции совпадаепт с размерностью простпрансщва. До к аз ате л ь ст во.
Докажем сначала вариант теоремы, относящийся к положительно определенной форме. Пусть е — канонический базис квадратичной формы А(х, х) и Лм..., 1„— ее канонические коэффициенты. Необходимость. Если А(х,х) > О, тх ф д, то, в частности„ А(е„ет) > О, т = 1, п. Но А(ео е;) = 1,, следовательно, все канонвческие коэффициенты положительны н з = п. Достаточность. Если Лт > О, 1 = 1, и, то, согласно (101.9), А(х, х) = ~', Атхг > О, тх = Х , 'хте; Ф й.
т г тгп Дяя доказательства второго утверждения достаточно рассмотреп квадратичную форму — А(х, х): А(х,х) < 0 с=» -А(х,х) > О в=» о = дпаT. ° Сл е де пт в и е, Определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы положителен, так как если е — канонический базис, то в произвольном базисе У, согласно (101.6), Щ = =л ....1„.Ю >о. Теорема 102.4 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма А(х,х) пазозтсиптельно ('оптрицаптельноХ определена птогда и птолько тогда, когда угловые миноры Ь», й = 1, п, ее »тая»рицы в произеольнолт базисе пологтситаельнм (соотпвептстпеенно чередуквп знаки, начиная с отарицатаегьного) т т3» >О, й=1,п (Х1»А, т <О, й= 1,п). Доказательство.
Докажем первоеугвержденне. Н е об х од и и ос т ь. Пусть А(х, х) — положительно определенная квздратичнзл форма, А, — ее матрица в произвольном базисе е = (е„..., е„). Рассмотрим подпространства Х,» = С(ем..., е»), й = 1, п, н квадратичные формы А(х, х) на Х». Очевидно, А(х, х) > О, 'т'х е Х», х ф Р, и, значит, ее матрица А» в базисе ет,..., е» пространства Х» имеет положительный определитель ~А»~ (следствие нз теоремы 102.3), Но )А»~ = Ь», й = 1, п, следовательно, Ь» > О, й = 1„п. До с т а то ч н ос т ь вытекает из теорем 102.2 и 102.3.
Для доказательства второго утверждения рассмотрим квадратичную форму -А(х, х) с угловыми минорамв д». Отрицательная определенность А(х, х) равносильна положительности формы -А(х, х), т.е. условию д» > О, й = 1,п, или ( — 1)»Л» > О, й = 1,п. Так клк тле = 1 > О, то это условие означает, что Х»»Ь» т ( О, й = 1„п. ° Глава ХУП. Билинейные и квадратичные формы Общий вид скалярного произведения в вещественном пространстве.
Как следует нз примера положительно определенной квадратичяой формы, скалярное произведение в евклидовом пространстве является билинейной формой, полярной к положительно определенной квадратичной форме. Оказывается, что такими билинейными формами исчерпываются все скалярные произведения в вещественном пространстве. Т е о р е м а 102.3. Пусть г' — ве'щесгпвенное линейное просгпранстео. Отвбразюение А: У х У -+ К есть скалярное произведение в простпранстве У' тогда и только пюгда, когда вно является билинейной фермой, полярной к палогюительно определенной квадратичной форме.
Доказательство. Необходимость рассмотрена в примере. Достаточность. Пусть А(к,у) — билинейная форма, полярная к положительно определенной квадратичной форме. Тогда отображение А: Ъ' х %' -+ К, определенное правилом (з,у) = А(к,у), Чк,уе У, (102.3) является скалярным произведением, так как оно удовлетворяет всем аксиомам (63.1) скалярного произведения. ° Представление (102.3)„в котором А(х,у) — билинейная форма, полярная к положительно определенной квадратичной форме, называется общим видом скалярного произведения в вещественном пространстве. Пользуясь общим видом (101.3) билинейной формы в базисе е, равенство (102.3) можно записать в виде (к1 у) = ул Аюзов~ гк~ у ь к~ (102.4) где Аг — положительно определенная матрица.
Равенство (102А) дает общий вид скалярного произведения в базисе е вещественного пространства. 3 а м е ч а н и е. Матрица билинейной формы, задающей скалярное произведение, совпадает с матрицей Грама базисных векторов: А, = = С(ем...,е„).
3 103. Квадратичные фервгы В кОмнлекснем щюстранстие В комплексном пространстве полным аналогом вещественных квадратичных форм являются тпк называемые зрмнтовы квадратичные формы. Полуторалииейные формы. Пусть к — комплексное линейное пространство. Отображение А: У х К -+ С называется полуторалинвйной формой, если для любых к, у, г б У, а Е С: э103. Квадратичные формы в комплексном пространстве 319 1) А(х+у,г) = А(х,г)+А(у,г); 2) А(срх,у) = срА(х, у); 3) А(х, у+ г) = А(х, у) + А(х, г); 4) А(х,рту) =ргА(х,у). Полуторалинейную форму называют эрмитовой, если А(у,х) = А(х,у), эх,у Е 1. Примеры. 1. Скалярное произведение (х, у) в унитарном пространстве является эрмнтовой полуторэлннейной формой.
2. Примером полуторалинейной формы в и-мерном комплексном пространстве р с базисом еы...,,е„может служить функция, определеннви Равенством: Чх = ~„",, х,е,, У = 2„"р Уге; А(х, у) =. ~~р айхруг, рд=г (103.1) где ау (р,у = 1; п) — фиксированные коМплексные числа. Для полуторалннейных форм имеют место все утверждения, касакяцнеся билинейных форм, при этом остаются в силе их доказательства Незначительные изменения носят очевидный характер.
В частности: — обигий вид иагуторалииейиой 13ормм в базисе е = (еы...,е„) определен равенством (103.1), или, в компактной форме, А(х,у) = ~Мр ипи А(х,у) =у" ~~хр,' — если е и 1 = еЯ вЂ” два базиса пространства, то Достаточность вытекает из равенства 4( ( у' у) ( у' у)+ +1А(х+ 1у, х+ 1у) — (А(х — уу, х — гу)) „Ух, у й 1г, (Р33.2) которое справедливо для любой полуторэлинейной формы А(х, у). а Зрмитовы формы. Пусть А(х, у) — эрмитова полуторалинейная форма в комплексном пространстве У'.
Зрмивирвой кеадрарпичиой формой (или, короче, эрмитовой 13ормой) называется отображение и ливер~ию югабрр и внаппмч~риаи пвэстрмр — полутораэинейная форма эрмитова тогда и только тогда„когда ее матрица в любом базисе эрмитова. Т е о р е м а 103.1. Иолуторалинейиал Форма эрмипюва тогда и только тогда, когда А(х,х) й К, Чх й Ъ', Докаэатель.ство. Необходимость очевидна, так как А(х, х) = А(х, х), Ух й У. Глава ХИХ. Билинейные и квадратичные формы 320 А: У -+ С, которое каждому вектору х е 'г' ставит в соответствие число А(х„х).
Полуторалинейная форма А(х, у) при этом называется нсллрнеб полутерааинебноб формой к эрмитовой форме А(х, х). Эрмктова квадратичная форма обладает всеми свойствами (с очевидными изменениями) обычных квадратичных форм (з101). Отметим некоторые из них. 1. Полуторвлинейиая форма, полярная к эрмнтовой форме, определена однозначно. Действительно, А(х + у + у? = А(х, х) + А(у, у) + А(х, у) + А(, у), А(х+»у. я+1у) = А(х х)+ А(у,у) — 1А(х,у)+1А(х,у) и так квк А(х, х) б К, 'гх ~ У, то з (А(х + у, х + у) — А(х, х) — А(у, у)) = Не А(х, у), (102.З) 1(А(я+ау, х+ 4у) — А(х, х) — А(у,у)) = ХША(х, у). 2, Матрица эрмнтовой квадратичной формы в любом базисе эр- митова: А, = А, (или Ат = А„). Отсюда следует, что: а) бе»А, б и; б) все угловые миноры Ь» матрицы А, действительны: Ь» б К, й=1,д; в) все канонические коэффициенты Л» б К, Й = 1,н (так как Л» = А(е»,е»)).
3. Общий вид эрмитовой квадратичной формы: Ух = 2 "., х;е; А(х,х)= Е апх,ху, З—- ,, (»,3=1,п), ю0=1 или, в компактной форме, А(х х) хе ~е~а хе Ае хе = х~»Леха где А = Ае 4. Ксли е н у = еЯ вЂ” два базиса пространства, то Ау = ЯтА,(;>. Комплексные матрицы А и В называются эрмитаово конгруэнтнмми, если онн связаны соотношением В = ьгтАф длв некоторой невырожденной матрицы Ц. Таким образом, матрицы Ау н А, эрмнтово конгруэнтны. 5. Канонический вид эрмнтовой квадратичной формы: А(х,х) = ~ Л»~х»~з, Ух = ~ х;е;, »=1 а=1 где г = гй А(х, х), Л» Е К (й = 1, г). б. Метод Лагранжа приведения к каноническому виду применим и для зрмитовой формы. Изменение алгоритма, описанного и доказательстве теоремы 101.7, состоит лишь в том, что на каждом шаге 3104. Квэдратнчлые формы в евклндовом пространстве 321 выделяетсе полный квадрат модуля (например, на первом шаге; У(хм"., ) =а««1х«+Ее"=э — хэ! +у(хм ",х )) аы 7. Остаются справедливыми и формулы Якоби (101.14), 8.
Как следует из теоремы 103.1, эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения, Это свойство сближает ее с вещественной квадратичной формой (1102). В частности, для эрмитовых квадратичных форм справедливы заков инерции, сигнатурное правило Якоби, критерий Сильвестра. Практически без изменения остаются и доказательства этих фактов. 9. Наконец, отображение А: У х У -«С есть скалярное произведение в комплексном пространстве Ъ' тогда и только тогда, когда оно является полуторэлинейной формой, полярной к положительно определенной эрмнтовой форме. Это утверждение определяет общий вид скалярного произведения в комплексном пров«пранстве« (х,у) = А(х,у), Чх,уй К где А(х,у) — полуто(п«линейная форма, полярная к положительно определенной эрмитовой форме, илн (х,у) =х, А,у„Чх,у б У, где А, — положительно определенная матрица. 5 104.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
