В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве Мы отмечали (3102), что ни канонический базис, ни канонический внд квадратичной формы не определены однозначно; цднозначно лишь число всех ненулевых квадратов (в произвольном линейном пространстве) н число положительных н отрицательных квадратов (в вещественном и комплексном пространстве). В евклидовом пространстве (в унитарном пространстве для эрмитовых квадратичных форм) положение иное, если рассматривать ортонормированиые базисы. 'Т е о р е м а 104.1.
Для любой квадратичной формы в евкяидовом (и унио«аркам) пространен«ве '««сущесп«вует ортонормированный базис, в котором она имеет канонический вид. Доказательство. Пусть У вЂ” евклидова пространство, е — ортонормированный базис Ъ', А, — матрица квадратичной формы А(х, у) в базисе е. Тогда А(х, т) = х,' А,хе, где Ае — симметрическая матрнпв. Известно (393), что симметрическая матрица ортогонально подобна диагональной матрице Л = дйай(1м..., 1„)„так что Л = «',«тА,Я, (104,1) Глаза Х7П. Билинейные я квадратичные формы 322 где Ц вЂ” ортогональная матрица. Это означает, что в ортонормирова- нием базисе 1" = е9 матрица А « = Л вЂ” диагональна, а квалюати щая форма А(х, х) имеет канонический вид «« «« (х,х) = ~~ 1;х;, 'гх = ~ х;1о «=« «=1 (104.2) Если г' — унитарное пространство и е — ортонормированный бе зис ««, то А(х, х) = хггАех„где А«(следовательно, и Аг) — зрмитова матрица.
Известно (293), что зрмитова матрица унитарно подобна вещественной диагональной матрице Л = Йаб(Лм..., Л„), так что Л = 9нА,Я = 4~тА,Я, (104.3) где Я вЂ” унитарная матрица. Это означает, что в ортонормнрованном базисе 1 = в(~ матрица А « — — Л вЂ” диагональна, а квадратичная форма А(х, х) имеет канонический вид «« «« (х,х) = ~ь Л,$х;!~, Ух = ~сх,~,. ° (104,4) г=г «=1 (104.5) А(х,х) = (24х,х).
Операция построения ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется приведением квадратичной формы к агавнъм ослм. Из теоремы 104.1 следует, что любая квадро«аичнвл форма проводив«ся к главнъм осям. Теорема 104.2. Канонические коэффициенты квадратичной формы, криведениой х главным осям, определены однозначно. До к аз а те л ь с т в о, Действительно, соотношения (104.1) и (104.3) говорят о том, что канонические козффициенты являются собственными значениями матрицы А, (или А, в комплексном случае) квадре тичной формы в ортонормированном базисе е и не зависят от выбора базиса е, так как все матрицы квадратичной формы в ортонормированных базисах подобны и, следовательно, имеют одинаковые собственные значения.
Е Что же касается канонического базиса, то он состоит (кзк следует нз (104.1), (104.3)) из ортонормированной системы собственных векторов матрицы А, (или А,) и определен с той же степенью произвола, с кисой определена полная ортонормированная система из собственных векторов матрицы, Теорема 104,3.
Длл любой квадратичной формы А(х,х) в евклидовом (и унитарном) пространстве У су«цестеует, и притом едиксп«ванный, симметрический (своп«веп«ственно эрмитов) операоюр Я е Ю(К4«) п«акой„что З 104. Квадратичные формы н евклидовом пространстве 323 Доказательство. Существование. Если е — ортонормированный базис г' и А — матрица кнадратнчяой формы А(х,х) в базисе е~ то 4(Х1 х) — хз Азха (сООтнетсгвеннО А(х~ х) хе 4ехз) нлн в соответствии с (99.2) А(х, х) = (А,ха, х,) (соответственно А(х, х) = = (А~хе хл)).
Если Я б Е(К г') — линейный оператор, имеющий в базисе е матрицу А, (соответственно г(,), то А(х,х) = (Ях, х), чх б У. Так как А, (н А,) — самосопряженнвя матрица, е — ортонормированный базис, то Я вЂ” самосопряженный оператор. Единственность. Если Я1, Яз -самосопряженныеоператоры, удовлетворяющие (104.1), то (Я!х, х) = (Язх, х), Чх б Ъ', или ((Я! — Яз)х,х) = О, Чх б К (104.0) Оператор Я! — Яз самосопряжен, для него существует ортонормиро- ) ванный базис из собственных векторов, а все собственные значения а.) силу (104.6) равны нулк!. Следовательно, Я! — Яз — — ь), ° Теорема 164.4 (о паре квадратичных форм).
Для лю- 1 6ой норы кепдратиичных фарм А(х„х) и 6(х,х) е есщсстиееннам (и комплексном) иространстиее У, одна из котпоръ»х палас»сительно Определена, существует общий базис, в котором 06е квадратичные формы имеют конаническиб еид. Доказательство. Пусть Б(х,х) > О н 8(х,р) — билинейная (соответственно полуторелинейная) форма, полярная к квадратичной форме В(х, х).
В соответствии с теоремой 102.5 введем скалярное произведение (102.3). Тогда пространство У станет евклндовым (соответственно унит!пуным) и в ием согласно теореме 104.1 существует ортонормированный базис 01,..., е, в котором квадратичная форма А(х, х) имеет канонический внд, при этом в силу (70.7): для любого ч и векторах= т ч ! х!е, а 8(х,х) = (х, х) = ~ )хг)з. ° (104.7) »=1 Замечание. Один и! спагабаз паяска абщвга базиса ем...,еь, а котором формы А(я, я) к В(з, я) имеют какаяячасккй акд, састаяг а следующем. Пусть А к  — матрацы каадратячкык фарм А(я,я) к В(я,я) а некотором базисе / я пусть е = Я. Тогда 12ХЩ = Л, где Л = 4(зб(Лт,, Л„), я !2тВ!2 = 1.
Следозателька, А = (!7т) гЛ!2 г, В = (!2т) г!2 ! В ! = ту!7Х,В тА =12Л!2 к В ' А(7 = !2Л. Паследкее рлаеястза азяачаег, чта столбцы матрицы 12 (т.е. каср-» дкяагы векторов яскамага какаяячаскага базиса е а кскадкам базисе т) являются аабатзаклымя лактарамл матряцы В гА, атлачающямм сабстзакяым зкачакяям Лм..., Лю Таким абразам, лляапячеакяе казффкцяакты Лта ., Л„являются каркямк уразкепял )В тА — ЛП = 0 яля, л равяасяльвай завися, ураянепяя )А — ЛВ( = О, (104.8) а зектары канонического базиса — яатряаяальяммя рещакяямя однородной скстемы ураакаяяй Ая = ЛВк.
(104.9) Таарама 104.4 обеспечивает сущесгяазакяе паляага кабара амцастлзякык каркай уразкеякя (104.0) к для каждого кратяага корня — наличие саатяеггтаующага Глава ХИг. Билинейные и квадратичные формЫ числа линейно пезввисимых решений системы (104.9). Вообще говоря, опнсанньтй алгоритм (хак и доказательство теоремы 104.4) решает поставленную зедачу е усиленном варианте: пшквквтельно определевнап форма 6(х,х) приводитси к каноническому виду с югзффнциеитами, равными 1.
В дейегвительвости зто пе требуетск: без существенных изменений приведенный здесь алгоритм врнменнм и дла случаи, когда 14тВЯ = Й1ай(ры...,ра). 'Узким образом, козффициеигы преобразуемых форм не определяются однозначно. Однако, квк легко показать, шшииасина Лг/и; «акочических козффициешное ке зависят от способа одновременного ариеедснол форм А(х, х) н В(х, х) к каноническому енбр. В вычислительной алгебре задачу (104.9) называют обойценное проблемой сагааюенизгх значснне. Глава ХИП.
Геометрия квадратичных форм и поверхности второго порядка $ 105. Гиперповерхности второго порядка в евкгшдовом пространстве Общее уравнение. Пусть А(х, х) — ненулевая квадратичная форма, д(х) — линейная форма, заданные в евклидовом пространстве Е, и с — вещественная константа.
Множество всех векторов х е Е, удовлетворяющих условию А(х, х) + 2д(х) + с = О, (105.1) а;.хх +2~~ 6х;+с=0, ав =ага 61=1 э=1 или, в компактной форме, Х'ЛХ+ 26'Х+. = 0 Л = Лт (105.2) (105.3) Гдв А = (Х1,..., Ха)т, 6 = (Ьм -., 6„)т, Приведенные уравнения. Исследование гиперповерхности второго порядка в и-мерном пространстве проводится по той же схеые, по которой исследуются линии второго порядка на плоскости (й58, 59). Отметим основные моменты этого исследования с общих позиций. Пусть е — ортояормнрованный базис Е и пусть в этом базисе уравнение гиперповерхности имеет вид (105.2). 1.
Приведем квадратичную форму А(х,х) к главным осям, т.е. найдем ортонормированный базис 7', в котором квадратичная форма А(х, х) имеет канонический внд. Отметим, что канонические козффнциеяты 51,..., А„будут при этом определены однозначно (теорема 104.2). Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что Аь ~ 0 при 6 < т (где т = уй А(х, х)) и Лг = 0 при и > т.
гВ случае, когда гйтЕ = т, геометрическай обрез, оаредеаяеммй урааиеиием (100. Ц, кэль|яаетса линией второго порядка. Однако асещу а дальиейшем мм уиотребляем общий термия "оояеркиость", яе оговаривая особо этот саучай. называется гпперпоеерхностью второго порядка е еек вдовом просвграисвэее Е . Уравнение (105.1) называется общим уравнением гиперповерхтюспги еиюрого порядка Пусть е = (е1,..., е„) — базис пространства Е, Л = (а; ) Е гтака— матрица квадратичной формы А(х, х) в этом базисе, 6; = д(е;), г = 1, 11, — коэффициенты линейной формы и х = ,'>," 1х;еь Тогда в соответствии с (101.7), (81.1) общее уравнение (105Х) может быть записано в виде Глава ХОП.
Геометрия квадратичных форм При переходе от базиса е к базису / = еЯ уравнение (105.2) ортогональным преобразованием координат (теорема 70.5) преобразуется в уравнение 'СЛ т7„2+2ЕЬ',Р)„+с=0. (105.4) 2. Пусть а е Е. Отображение ~р: Е -> Е, определенное равенством у(х) = х+ а, Из б Е, называется параллелъным переносом пространства Е на еекнюр а. Очевидно, 1щ ~д = Е. Если в уравнении (105.4) Л» ф 0 для некоторого Й, то Лая~~+ + 2Ььзь — — Ль(хь + Ьь/Ль) з — Ь~ьз/Ль. Положив зь — — зь + Ьа/Ль, можно избавиться от переменной ж~~ в первой степени. Выполнение таких преобразований для,всех Й = 1, г равносильно параллельному переносу на вектор с координатами (Ь',/Лм..., Ь'„/Л,О,...,О). В результате этого переноса уравнение (105.4) преобразуется в уравнение Л1У1а+ ° "+Л„з'„а+2 Х Ььзь'+с'=О, (1055) а=1+1 с' = с — ~."„, Ь,"/Л- 3.
Исследуем уравнение (105.5). Возможны два случая: а) Ь„'+1= =Ьа=О; б) ЗЬ~фО,Ь>г. В случае "а" уравнение (105.5) имеет вид Л1т',"+ "+Л,я'„'+с'=О. В случае "б" выполним еще одно ортогональное преобразование координат. Матрица Я этого преобразования строится следующим образом. Рассмотрим арифметический вектор (Ь +ы,Ь,',) 6 К" ', По услови1о он ненулевой и его можно нормйровать: если а = = О ь,+ ~ Ььт), то вектор е1 = (Ь,+,/а,..., Ь'„/о) представляет собой ортойормированную систему нз одного векторе,.
Дополним этот вектор до ортонормированного базиса выев,..., е„„пространства К" ". В обозначениях в; = (вь,+ы. ° .. вы),1 = 1,п — г, искомая матрица Я имеет вид лиг+1 у 105. Гнперпаверхности второго нарядив Матрица Я ортагональна (так как ге строки ортонормированы), поэтому преобразование базиса с помощью матрицы перехода В приводит к новому ортонормированному бгзису. При этом преобразование координат осуществляется ио закону х~в —— хтьт при Й = 1,г, х'„'+т — — а т Щ + 5'халат, хт~в = 2 "„+ гмх," при Й = с+2,п, и приводит уравнение (105.5) к виду Лтхта + - ° ° + Л,х',"г + 2ах"+т + с' = О.
В последнем уравнении можно освободиться от свободного члена с', есэи выполнить параллельный перенос на вектор, у которого все координаты, кроме (г+ 1)-й (равной с'/(2а)), равны нулю. Итак, с помощью параллельного переноса и перехода к новому артонормированнаму базису общее уравнение (105.2) приводится к одному вз двух типов уравнений: Л~х~т+ ° - ° + Л„хг+аз = О, Лт ...Л ф О, (105.6) Л. +.--+Л,. „+5 х„+ — — О, Л ...Л„ь ~О, (105.7) которые принято называть приввдекнмлги 1травкекиялти гиперпаверхнас|пи. Инварианты гинерпеверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
