В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Будем считать, что А, ~ О (еслн А, = О, то е — искомый базис). Обозначим через Ьэ к...,ь деловые мпнодм $-го поРЯдка матРиЦы А„те. А, = Лд г""ле х = 1, и., и положим Ье = 1. 1. Рассмотрим сначала случай, когда Ьь ф О„й = 11, и — 1, В этом случае процесс приведения к каноническому виду состоит из и. — 1 однотипных шагав. Первый ~иаг основан на том, что Ь| р О, т.е. ам ф О. Сгруппируем все члены квадратичной формы д(хм..., х„), содержащне хм и вы- делим из ннх полный квадрат: А(х„х) = д(хп..., х„) = амхд + 2 2 " даыхгхь + Я",. ь амхгхь = аы '1 / . агь = ам хг + ~,ь д — ха~ — аы ~~ э д — хь + ~ „ь д а~ьхдхю Перейдем к новым координатам: пдй хг — -хд+ ') — хь и и', = х пРи У' 16 1, ь дам очевидно выполнив при этом невырожденное преобразование коорди- нат с матрицей 3101. Билни, нквелр.
формы влинейном пространстве 313 Тогда квадратичная форма А(х, х) в новых координатах примет вид А(х, х) = ам х~з + И(хз,..., х'„), где а(хз,..., х'„) — квадратичная форма от переменных хз,...,х"„. При этом матрица А1 = Я1 А~1~з ква- дратичной формы А(х,х) и новом базисе будет иметь вид ам О ... 0 О азз ... аз„ =[ / 0 аэзт ... а„„ к азз = Ьз/Ь1 Ф 0 (101.П) Второй шаг основан иа том, что Ьз ~ О„т.е. а~аз у1 О, и состоит в применении действий первого шага к квадратичной форме Ь(х',,..., х'„): выделяется полный квадрат среди всех членов, содержащих хз, выполняется невырождеяное преобразование координат в хз = аз+ Е >" хь н и," = и,' при 3 Ф 2 ь=з азз и квадратичная форма А(х, и) приводится к виду А(х,х) = аых~1'з + + азэхз" + е(хз,..., х'„'), где э(хз,..., х'„') — квадратичная форма от переменных хз,..., х'„', а ее матрица — и виду аы 0 О,- О 0 а~зэ 0 ...
0 азз ° .. аз 0 0 а'„'з ... а"„"„ По-прежнему угловые миноры матрицы Аз совпадают с Ьм Ьз,..., Ь„, поэтому азз '~з/~'~з ~ 0 (101.12) Повторяя этот процесс, через (и — 1) шагов мы придем к базису, в котором матрица квадратичной формы А(х, х) имеет диагональную форму: А„1 = йай(Ам..., Л„), где с учетом (101.11), (101.12) и обозначения Ье = 1 Лз —— Ьз/Ь; и з = Т, а.
(101.13) Отметим, что каждый шаг (для определенности г-й шаг) процесса начинается с проверки условии Ь; ф О, так как только при выпалив. нии этого условия можно провести з-й шаг. Метод приведения к каноническому вццу, описанный здесь, называется методом Лаграниса. аждэя строка (столбец) матрицы Ам начиная со второй, получена из оютветствующей строки (соответственно столбца) матрицы А, вычитвнием из нее первой строки (соответственно столбца) матрицы А„умноженной на некоторое число, поэтому угловые миноры матрицы А1 совпадают с Ьм..., Ь„. Следовательно, Ь| = ам, Ьз = ама~з и й1А Глава Хг'П.
Билинейные и квелратнчгпге формы П. Пусп теперь среди угловых миноров Ьм..., Ь„з могут встретиться нулевые. Модифицируем мегод Лагранжа. Опишем гтй шаг. Пусть после (1 — 1)-го шага матрица квадратичной формы А(х, х) имеег вид аы , где С = а; ц, з О (здесь штрихи опущены для упрощения записи). Будем считать, что С -,6 О (равенство С = О означает, что канонический базис уже построен). 1. Если ан э' О, то выполним г-й шаг метода Лагранжа. 2. Пусть ан = О. а) Если среди диагональных элементов матрицы С существует элемент а" ф О, у > г, то перенумеруем переменные (т.е. векторы базиса): хг = хд, х'- = х; в х~» — — х» при й ф г,у.
Тогда в матрице А з поменяются меегами строки (сголбцы) с номерами г и у, поэтому в позиции (г,г) окажется ненулевой элемент аи = агу, с помощью которого вьшолним г-й шаг метода Лагранжа. б) Пусть все диагональные ъэементы матрицы С равны нулю, тогда в ней существует внедиагонвльный элемент а» ~ О, к,у > г, й ~ у. Это означает, что в квааратичной форме от переменных х,,..., х„отсутствуют квацраты хг,..., хг, но содержится член вида 2а» х»х . Перейдем к новым координатам, положив хь = х» + х', х = х» — х' и х', = х, при г Ф й„,г.
Тогда квадратичная форма будет иметь квадраты х»г, х'г и мы окажемся в ситуации "а". Отметим, что все преобразования координат были невырожденными. ° Теорема 101,8. Если е матрице квадратичной формы А(х,х1 ранга г перемс г угловых минорое отличим от иулл: Ь» ф О, Й = 1, г, то суигФстеует базис е, е котором матрица квадратичной ферми имеет диагонагьньй еид А, = дзэн(1м..., Л„„О,..., О), где (1О1.14) 1» = Ь»/Ь»-м й =1,г Доказательство. Напомним, что г»о = 1, Для квадратичной формы А(х,х) в условиях теоремы выполнимы первые г шагов метода Лагранжа. После г-го шага матрица А„квадратичной формы примет взщ $102.
Квапратвчвые формы в веществеююм пространстве 315 где, согласно (101.13), й» = Ь»/Ь» м Й = 1,г, а С вЂ” некотораяматрица. Так как гйА„= г и Л» ~ О, й = ),г, то гйС = О и С = О. Следовательно, матрица А; имеет искомый вид. ° Соотношения (101.14) называются формулолгн Якоби. Замечанпе. Если в матрице квадратичной формы А(х,х) в базисе е угловые миноры д»м..., Ь„, » отличны от нуля, то можно провести п — 1 шагов стандартного метода Лаграюка. На каждом шаге матрица перехода Яь 1 = 11, и — 1, к новому базису согласно (101,16) имеет верхнюю треугольную форму, так что для последнего базиса у имеет место соотношение У= е»гАг" Я -~ =еЮ, где Ч вЂ” верхняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами. Таким образом, квадратичная форма А(х, х) гпреугольн»»м преобразованием ксюрдинат приводится к каноническому виду с каноническими коэффициентами Л»=, 1=1,а. Ь» Теорема 101.9.
Коадрашпчнал форма А(х,х) емролсдеяо пюгда и шолько шогда, когда сущесшеуеп» векпюр х ~ Р такой, что Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из теоремы 101.5 и канонического вида (101.9) квадратичной формы ранга г < йпп 1'. в 9 102. Квадратичные формы в вещественном нространстве Ни канонический базис, ни канонический внд квадратичной формы не определены однозначно. Например, любая перестановка векторов канонического базиса приводит вновь к каноническому базису. Что общего у различных канонических видов одной и той же квадратичной формыУ В (101.9) мы отмечали, что чисво ненулевых канони юских коэффициентов равно рангу квадратичной формы и не зависит от выбора ввноничесюго базиса. В вещественном простршстве можно говорить н о знаках канонических юэффициентов. Пусть квадратичная форма А(х, х) ранга г в вещественном прост-: ранстве г приведена к каноническому виду (101.9).
Число э положительных квадратов в (101.9) н число о = г — я называются по. ложишельнь»м н ошрпцашельнмм индекса»»п ииерцпп квадратичной формы А(х, х), их разность о = я — и называется спгиап»урой А(х, х). Корректность определения вытекает из следующей теоремы. З10 Глава ХдП. Билинейные и квадратичные формы Т е о р е м а 102.1 (закон инерции).
Полоо|ситсльнмй и одариидтгльнмй индексы инерции згдцественной кеадратдгчной формы нг заеислт от выбора канонического базщп. До к а э а т е л ь с т во. Пусть с и» вЂ” канонические базисы квадратичной формы А(х,х) рангаг и для х =~,". хге, =~,". уг»д А(х,х) = агхгг+ ... +архг — ар+гх~ „—... — а,х,', ( ) А(х х) ЬгУ1 + ' " ' + Ьдуд Ьд'~ дрдд г ' ' Ьдуг где а, > О, Ь; > О, г = 1,г. Докажем, что р < 9. Пусть р > 9. Рзссмотрим надпространства уг = С(сы...,ер), 1э = Е(»д+ы...,»„).
Согласно (65.2), дпп11 г1 Ьг = р+ (и — 9) — йш(Х» + 1г). Так как дпп(гч + 1г) < к, р > о, то пппЬд г1 1г > О. Следовательно, существует ненулевой вектор хо Е 1 г П Ьг. Пусть хо = дггег + ... + + о рер = Д,д.1»о+1 +... + )г~»„. Тогда согласно (102.1) А(хо,хо) = пгниг+... + арпр —— -Ьдд.д))г+, — ... — Ь,»|~. (102.2) Так как хо ф б, то агат» +...
+ враг > О, — Ь .»1|Эг+, — .. — Ь„Щ < О. Это противоречит (102.2), и, значит, р < 9. Аналогично покззывается, что 9 < р. Следовательно, р = 9. ° Сбо Р(д»„»Л„...,»Л») и 1(2„г).„...,11») ело совпадений н перемен знаков в последовательности |ло, |2 г,... „»»». Теорема 102.2 (снгнатурное правило Якоби). Пусдаь О,» — угловой минор Й-го порядка матрицы квадратичной формы А(х, х) ранга г и гг» дг О, Ь = 1, г.
2Ъгда и = Р(|2о 11ы." Ь ) г| = 1г(г1о ~1м. |1|) гдг аде = 1. Утверждение теоремы вытекает иэ формул Якоби (101,14), так квк Л, > О, если гип г1д = зйпг1г ы и Л; < О, если эйп Ь, ф зйп,|~, ь ° Знакоопределенные квадратичные формы. Квадратичная форма А(х,х) называется положительно (отрицательно) определенной, если А(х,х) > 0 (соответственио А(х,х) < О), дх Ф д. Такие формы называют знакоанредслгннмми (или знаколостолннмми).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
