В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(ь) и лмнейивв апгебд» н анвиам и 'аа й вмстуна 332 Глава Х1Х. Линейные нормированные пространства Согласно теореме 109.2, из сходимости хйй -» а по любой норме следует покоординатнал сходимость. Следствие 3. В конечномерном пространстве и еоиничная сфера Я = (х Е У ! 'Зх~! = 1) но любой норме является компактом, так как любая норма эквивалентна естественной норме ~( ° ~)з, а сфера Яз в силу теоремы 109.1 компактна. Замечание. В 5107-109 рассматривались специальные свойства вещественных и комплексных линейных пространств, связанные с возможностью определить в них понятие предельного перехода.
Этот материал, цо существу являясь элементарным введением в функциональный анализ, дает удобный инструмент для изучения пределов в линейном пространстве, сводя сходимость по норме векторной последовательности хйй -» а к сходимости числовой последовательности 3х(") — а3 — » О. Предельный переход в нормированных пространствах, как будет видно из последующего, позволяет строить "приближения" и находить оценки нх точности. 9 110. Линейные операторы в нормированных пространствах Непрерывность н ограниченность. Пусть Ъ' и И' — линейные нормированные пространства с нормами !) 3 и и 9 9 и соответственно. Линейный оператор А е .С(У, И') называется непрерывным в точке х е у, если для любой последовательности (хйй) с И, сходящейся к х по норме (~ ()», последовательность (Ахйй) сходится к Ах по норме !! !)и.
)(хвй — х()т — » 0 =ь )(Ах® — Ах()»г -+ О. Оператор А называется непрерывным в пространстве У, если он непрерывен для всех х е У. Линейный оператор А е ь(К Иг) называется ограниченным, если существует число с > О такое, что (110.1) !)Ах)(и < с)ф(», Чх Е К Теорема 110.1.
В конечномернмх нормированных пространствах У и И" любой линейный операвюр А Е ь(Ъ; Иг) оераничен, Доказательство. Пусть еы..., е„— базис пространства У и х = 1 ', х;еь Тогда согласно аксиомам нормы и неравенству Коши- Буняковского » »/з 3Ах)) < ~)хД 3АеД < ~ ~, ()Ае,9з ) ~ ~ 1х,)з) = М)Щю где М = О ",, '3АеД~) . Отсюда с учетом (109.3) получим, что ))Ах!) < с))х3„где с = М/сз > О. ° у 110. Линейные операторы в нормированных пространствах 353 Сл с до т е и е 1. В конечном грных нормированных простпрансяюах И и И' любой линейный оператор А й ь(У, И') непрерывен. Это следует нз неравенства !!Ах~ ~ — Ат!!и = !!А(х~ ~ — х)!!и~ < с!!х1 1 — х!!у. Пример неограниченного оператора следует искать в бесконечно- мерном пространстве.
Так, если С(0,2! — множество непрерывных и дифференцируемых на [О, 2] функций с нормой !!Дх)!! = шах ! У(х)! е!е,г! и 'Р— оператор дифференцирования: Щх) = ~'(х), то Лля ~„(х) = = гших выполнено !!1„(х) !! = 1, вместе с тем !!Юг„(х)!! = и. Норма оператора. Пусть У н В' — линейные нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные).
Линейное пространство ь(Ъ'„И'), как и любое линейное пространство, можно сделать нормированным, введя на нем норму опграпгора Однако для нормы оператора нет той свободы выбора„которая имеет место для векторных норм, так как помимо линейных операций (заложенных в аксиомах векторной нормы) оператор связан с другими операторами еще и операцией умножения; кроме того, оператор действует на векторы н его норма должна быть связана с векторными нормами.
Вводя нормы оператора, в той нли иной форме принимают во внимание операцию умножения операторов н векторные нормы пространств У' н И~. Норма оператора называется мультипликатиеной, если вьшолнено неравенство !!4В!! < !!А)! - !!В!! для любых операторов А, Н, для которых определена операция АВ. Свойство (110.2) назывгетсл свойством мультипликативности нормы. Норма оператора называется согласованной с векторными нормами )! - !!у, !! .
!!щ пространств И и И", если для любого оператора А б ь(У, Иг) справедливо неравенство !!Ах!!и < !!А!). !!хЬ. ~х б К. Замечание 1. В дальнейшем в символе )!. !!у индекс У будет опускаться, если из контекста ясно, о каком пространстве идет речь. Т е о р е м а 110.2. Собственное значение линейного оператора А й ь(К И) не превосходит по абсолютной величине любую его согласованную норму. Доказательство. Если Ах = Лх, то для любой согласованной нормы оператора имеем !!Ах)! = !Л! !!х!! и !!Ах!! < !!А!! ° !!х!!, откуда следует, что !Л! < !!А!!. и Подчиненная норма.
Пусть У, И' — конечномерные пространства и А е ь(Ъ', 1т'). Из теоремы 110.1 следует ограниченность оператора А, т.е. существование числа с > О такого, что !!Ах!! < с!!х!!, Ух е И илн, в равносильной формулировке, !!Ах!! /!!х!! < с, Ух ф 9. 334 Глава Х1Х. Линейные нормированные пространства Это означает, что числовое множество ограничено сверху и, следовательно, для него существует точная верх- няя грань.
Положим и(А) = впр —. !!Ах!! дв !!х!! (110.3) Т е о р е м а 110.3. Отобрахсеиие р(А) леллетсл леультияликотивиой нормой в простраисоэве Е(У, И~), согласованной с векторными иорлоьии пространств И и ИГ. Доказательство. Очевидно, что р(А) > 0 для любого оператора А б Ю('г,И~'), при этом равенство р(А) = 0 означает, что !!Ах!! = О, Чх и Ъ', т.е. Ах = й, Чх е У или А = О. Аксиомы 2 и 3 вытекают из свойств точной верхней грани. Таким образом, р(А)— векторная норма в пространстве Е($Г, Иг).
Проверим свойство мультипликативности. Из (110.3) следует, .что )!Ах!! <,и(А)!!х!!, 1ех б К, так что р(А) обладает свойством согласованности с векторными нормами пространств У и И'. Отсюда получаем р(АВ) = впр < вирр(А) — =,и(А) зпр — =,ы(А)р(6). ° !!Авх!! (!Вх!! )!Ох!! *Фв !!х!! Фв !!х!! *Фв !!х(! Норма р(А) называется нормой оператора А, подчиненной (порохсдеиной) векторным нормам пространств Ъ' и Й~.
Обозначение: !!А!!. Итак, !!А!! =епр — = зпр !!Ах!!. (!Ах(! *~о !!х!! !1.1=1 11Ч~~ = р 3А*Ь- о н7А*,Л) Попутно показано, что подчиненная норма — наименьшая из всех согласованных норм, так как является точной верхней гранью множества, а согласованная норма — одной из верхних граней этого множества.
Замечание 2. Подчиненная норма определяется не только самим оператором, но и векторными нормами пространств У и И'. Меняя векторные нормы, можно изменить и норму оператора. Ржсмотрим наиболее часто употребляемые нормы. Спектральная норма. Пусть У, И' — евклидовы (унитарные) пространства. Норма линейного оператора А е ЕЯ Иг), порожденная евклидовыми нормами вектора, называется спектральной нормой. Обозначение. !!А!!я.
Итак, 3 Ш. Матричные нормы оператора и нормы матрицы 355 Теорема 110,4. Спентпральная норма оператора равнамаксимальному сингулярному числу этого оператора. Доказательство. Пусть п = г(ппУ, т = дтштУ и ем...,е„— правый сингулярный базис, а р > ° . > р, (э = ппп(п, тп)) — сингулярные числа оператора А (5100), х = ~"., х,ео Положим р,+г = ...
= = р„= О, если э ( п. Тогда !!Ахь = (Ах,,Ах) = (А Ах,х) = Ц,, ргтте,, ~.,хуст) = ~,. р(!хг1~ < Д~,, !х,1з. Отсюда следует, что 1!Ах!!и < рм если !1и1!и = 1, и 1!Ах!1и = рм если х = е1 (очевидно, 1!ед1!и = 1). Значит, рт = тпах !1Ах!1н = эпр !!Ах!!и = !И в=т 'ггге=т = 11А11 . ° Следствие 2. Спектпральная норма нормального оператора равна абсолютной величине максимального по модулю собственноео значения этого оиератпора. Т во ре м а 110.5, Сингулярные числа линейного оператора в евклидоеом (унитарном) простпранстпве не изменяются при умножении оператора ка ортогональный (унитарный) оператор.
Доказательство. Пусть 6 = ПАЪ', где И'П = Х, 1т'1т = Х. Тогда 6'В = У'А'АР, следовательно, матрицы операторов 6'В и А'А подобны и их собственные значения совпадают. ° Следстпеие 3. Спектральная норма линейного оператора ке изменяется при умножении оператора на ортогональный (унитарный) оператор. ~ 111. Матричные нормы оператора и нормы матрицы Спектральная норма линейного оператора является, по существу, единственной подчиненной нормой, не связанной явно с базисами пространств У и Ит. Если же в пространствах У и И' зафиксированы базисы, то возможность введения операторных норм существенно расширяется. Пусть е = (ем..., е„) и 1 = ()м...,,тта) — базисы пространств У и Ит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
