В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 74
Текст из файла (страница 74)
При этом если г — решение (114.4), то Аг = д, поэтому А'Аг = А'и и г является решением (114.5). Если же г — решение (114.5), то А'Аг = А"д или А'(Аг — д) = д. Значит, Аг — д б Е (сег А*= пп А. Но Аг б пп А, д б пп А, следовательно, Аг-д б пп А. Отсюда с учетом соотношения Аг — д ~ (щ" А, полученного выше, следует, что Аг — д = д, т.е. г является решением (114.4).
° Нормальное псевдорешение. Псевдорешение наименьшей длины называется нормальным псввдорвшением. Из теорем 114.3 и 114.4 следует, что нормальное псевдорешение существует и единственно для любого уравнения 1114.1). Сингулярные базисы оператора А позволяют получить явные выражения для псевдорешения и нормального псевдорешения. Пусть гбА = г, ег,...,е и 7м...,~„, - сингулярные базисы для оператора А, рг »... р„> 0 — сингулярные числа. н л не~юн вюзи н аюл~ичесия помпон 868 Глава ХИ. Линейные нормированные пространства Разложим псевдорешение гв по базису е!,..., е„: = аге!+ + ~Ьез +а~+!ег+! + ° -+ <Меь.
(114.6) Так как гв — решение нормального уравнения (114.5), то, подставив г+ в зто уравнение, получим а!р!ет + ... + а,р,е, = А'и. г Из ортонормированности базиса е следует„что (114.7) аз 4 = (А и, еь) = (и, Ась), л = 1, г. Учитывая, что рьг = (Аеы Аеь), й = 1, !', находим (А*и, ед) (и, Аег) (114.8) рь (Аеь Аеа)' Таким образом, получен ойций вид псевдореи!гнил (П4.6): г"'»= ~~> ааеы где а!,..., а„определены соотношением (114.8), а а,+!,..., а„произвольны. Ото!ода следует и ойций вид нормального псевдорешеьогл го! г. = г аьеь, о ч ь=! (114.9) где ам..., а„определены соотношением (114.8). Соотношения (114.9), (114.8) могут быть записаны по-другому: о а! ~./+ +'" Р! Рг го = /1!А /! + " . + !8.А*/г! (и, Я аь (и /ь) где !8ь = —, й = 1., г, так как Д, = — = Рь Рь (Рь/ь Рь/ь) Пример.
Найдем нормальное псевдорешение системы линейных уравнений с х!+хг — — 1, Ях,+ь/йхг =Л. Очевидно, что псевдорешение совпадает с решением в обычном смысле н имеет вид г+ = (х!, 1 — х!)т, 'тх!, при зтом га = (1/2, 1/2)г З 114. Линейные операторные уравнении — нормальное решение (прн я1 —— 1/2 вектор з+ имеет наименьшую длину). При вводе в память компьютера данной системы уравнений возможны ошибки представления числа з/2 рациональным числом, Пусть в памяти компьютера система приобрела вид я1 + зт = 1, 1,414я1 + 1,4142яз = 1,415. Эта система имеет единственное решение хе = (-4, 5)т, так что приближенное нормальное решение ве имеет мало общего с точным нормальным решением зе: )~зе — зе)~з = 9~/2/2. В 1965 г.
академиком А.Н.Тихоновым, организатором факультета ВМнК МГУ нм. М.В.Ломоносова, был предложен метод нахождения приближенного нормального реп1ения, устойчивого к малым возмущениям исходных данных. Этот метод получил название ма~пода регулярпзацпи. ПРИЛОЖЕник Проблемы оснований геометрии и обосновании метода координат $1. Аксиомы элементарной геометрии Будем рассматривать три множества объектов любой природы: объекты первого множества будем называть точками и обозначать большими латинскими буквами А, В, С,..., объекты второго множества будем называть прямыми н обозначать малыми латинскими буквамн а, б,с,..., объекты третьего множества будем называть плоскостями и обозначать греческими буквами ст, ??„у.... Будем считать, что в рассматриваемых множествах каким-либо способом определены с о от н о ш е н и я между объектами, выражаемые тремя терминами: припадлежиш, лежит между и иомгруэнтпемт.
Например, точка А принадлежит прямой а или плоскости ст; точка В, принадлежащая прямой а, лежит между принадлежапшми той же прямой точками А и С; отрезок прямой а, ограниченный принадлеисзтцими этой прямой точками А и В, конгруэнтен отрезку прямой 6, ограниченному принадлежшцими этой црямой точками С и В. Будем требовать, чтобы указанные соотношения удовлетворяли формулируемым нижедвадцати аксиомамз Бсе аксиомы разделяются на пять групп. Группа 1 содержит восемь аксиом принадлежности.
Группа 1? содержит четыре аксиомы порядка. Группа Ш содержит пять аксиом конгруэнтности. Группа ?Ч содержит две аксиомы непрерывности. Группа Ч содержит одну аксиому параллельности. Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновременно будем приводить пскоторыс утвсрждеппп, вытекаюацю нз формулируемых аксиом.
Это поможет нам выяснить основные принципы логического развертывания геометрии и обосновать вазможность установления взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, те. обосновать метод ксюрдинат. ' То есть "равен".
зно всем осталыюм квк природа самим объектов, твк п способ задвимк пкттпожвлпи между зтимп обьектвмв лвлпктпж произвольными. з1. Аксиомы элементарной геометрии 1. Аксиомы принадлежности. 1, 1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямал а, которой принадлеясачп Обе эгпи точки, 1, 2. Каковы бм ни были дее различные точки А и В, существует не более одной прямой, хоторой аринадлежат эти точки. 1, 3. Каждоб прямой а принадлежат по крайней мере две точки.
Существуют по крайней мере три то"оси, не принадлежащие одно6 прямой. Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрни. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя аксиомами завершают список аксиом принадлежности стереометрин. 1, 4. Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость о, которой принадлежат эти п1ри точки. Кахсдой плосхос1пи принадлежит хотя би одна гаечка. 1, 5. Каковы би ни были три пючхи А, В и С, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эгпи точки. 1, 6. Если дее принадлежащие пряной а различные точки А и В принадлежат некоторой плоскости о, то каждая принадлежащая прямой а точка принадлежит указанной плоскости.
1, 7. Если существуегп одна точка А, принадлежащая двум плоскостям о и б, то существует по храйней мере еи1Л одна точка В, принадлемсащая этим плосхостпям. 1, В, Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. С целью использования привычной для нас геометрической терминологии договоримся отождествлять между собой следующие выражения; 1) "точка А принадлежит прямой а (плоскости сг)'*; 2) "прямая а гплоскость о) проходит через течку А", 3) "точка А лежит на прямой а (на плоскости а)"'; 4) "точка А является точкой прямой а 1плоскости о)" н тль С помощью указанных аксиом уже могут быть доказаны некоторые теоремы.
Так, нз аксиомы 1,2 непосредственно вытекает следующее утверждение. Т е о р е м а 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей пачки. Предоставляем читателю доказательство следующих утверждений, вытекающих из аксиом 1, 1-8. Теорема 2. Две плоскости либо не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на хо~порой леэсат есе их общие точки. Теорема 3.
Плоскость и не лежащая на ней прлмал не могут иметь болыае одной общей точки. Приложение. Проблемы основалий геометрии Т е о р е м а 4. Через прямую и не леэссащую на ней точку или через две различные прямые с общей точкой щюходит одна и только одна плоскосспь. Теорема 5. Каждая плоскосгпь содержит ио крайней мере три гаечки 2. Аксиомы порядка. П, 1, Если точка В прямой а лежит между пючками А и С пюй же прямой, то А, В и С вЂ” различные то аси указанной пря.ой,, причем В лежит также и между С и А. П, 2.
Каковы бы ни были две раазичные точки А и С„ на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С леэссит между А и В. П, 3. Среди любых трех различных пючек одной прямой существует не более одной точки, лезссащей мезссду двумя друзами. Сформулированные три аксиомы относятся к расположению геометрических объектов на прямой и поэтому называются линейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того чтобы сформулировать зту аксиому, введем понятие отрезка. Пару различных точек А н В назовем отрезком н будем обозна, чать символом АВ или ВА. Точки А и В будем называть концами отрезка АВ, Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между А н В, будем называть внутренними точками нлн просто точками отрезка АВ.
Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ. П, 4 (аксиома Паша). Если А, В и С вЂ” три точки, не лежасцие на одной прямой, и а — некоторая прямая в плоскости, определяемой этими гаечками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую гао псу отрезка АВ, то зта прялсал првходшп тпакже либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некотпорую точку отрезка ВС.
Подчеркнем, что из одних аксиом порядка П, 1-4 еще не вытекает, что любой отрезом имеет внутренние точки. Однако, привлекая еще аксиомы принадлежности 1, 1-3, можно доказать следующее утверждение. Теорема 6. Каковы бы ни были две различные точки А и В, на прямой, ими опредсллемой, существует по крайней мере одна точка С, лезссащая между А и В, Предлагаем читателю, опираясь на аксиомы 1,1 — 8 принадлежности н аксиомы Б, 1-4 порядка, последовательно домазать следующие утверждения.
Т е о р е и а 7. Среди любых трех различных гаочек одной ирямой всезда сущесгавует одна точка, лежащая между двумя другими. Ц. Аксиомы элементарной геометрии 373 Теорем а а. Если точки А, В и С не принадлежатп одной прямой и если нетсоторал прялтал а пересекает' какие-либо два из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прижал ме пересекает тпретий из указанных отрезков. Теорема 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
