В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Проблемы оснований геометрии и алл случал преобразования (П.10) хо= о+Вуо+с уо =В о — уо+ ъ о =по-фи, и =-Вв-ои. з Теперь назовем отрезок АВ нонгруэнпзнымотрезку А'В', если существует ортогонольное преобразование, которое переводит точку А в точку А', а точку В в точку В'. Угол л(а,х) назовем конгруэнтюным углу л(Ь', й'), если существует ортогональяое преобразование, переводящее полупрямую Ь в полупрямую й' и полупрямую Й в полу- прямую й'. Далее нужно перейти к проверке аксиом Ш, 1-5.
Аксиома П1, 2 вытекает из групповых свойств ортогонального преобразования, в силу которых как последовательное проведение двух ортогональных преобразований, так и преобразование, обратное к ортогональному, снова являются ортогонольными преобразованизпли. Проверка остальных аксиом группы Ш требует кропотливой техники и использования указаняого выше утверждения, н мы ее опустим. Что же касается аксиом непрерывности, то аксиома Архимеда 1У, 1 проверяется непосредственно, а справедливость аксиомы полноты 1Ч, 2 вытекает нз того, что между всеми точкамн любой прямой и всеми вещественными числами можно установить взаимно однозначное соответствие (см.
вторую основную теорему из п. б $1). Нам остается еще проверить справедливость аксиомы параллельности У. Пусть (и: о: ю) — произвольная прямая и (хо, уо) — точка вне ее, так что ихо + вуо+ зо Ф О. Пусть (и': и': зо') — прямая, проходящая через точку (хо, уо), т.е. удовлетворяющая условию и'хо+йуо+и/ =О. (П.12) Поскольку эта прямая не пересекает прямую (и: и: ю), должна быть несовместна система уравнений и х + о у+ зо = О, их + оу + чо = О. (П.13) Из несовместности системы (П,12) заключаем, что и': и = й: о, или, что то же самое, й = Аи, в' = Аи, где А — некоторое число.
Но тогда из (П.12) получим та' = — А(ихо+иуо), т.е. и': й: в' = и: с: -(ихо+оуо). Итак, отношения й: с': из' однозначно определены, т.е. существует единственная прямая (и': й: щ'), проходящая через (хо,уО) и не пересекающая прямую (и: и: ш). Тем самым доказательство непротиворечивости планиметрин Евклида завершено.
Вам с чан и е. Аналогично доказывается н е п р о т и в о р е ч нв о сть с те реп метр ни Евклида. Для этого мы называем 2 3. Схема доккзательства непротиворечивости точкой любую упорядоченную тройку вещественных чисел (х, у, г); прл,мой — совокупность всех троек (х, у, к), элементы х, у, к которых связаны системой двух линейных уравнений; плоскостью — совокупность всех троек (х, у„к), элементы х, у, к которых удовлетворяют одному линейному уравнению.
$ 3. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского Для простоты ограничимся доказательством непротиворечивости планиметрии Лобачевского, т,е. построим конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам 1, 1-3, 1-1Ч и аксиоме, отрицающей справедливость аксиомы Ч. Для построения указанной реализации мы будем опираться на уже установленную нами непротиворечивость планиметрии Евклида, т.е. сведем вопрос о непротиворечивости плаинметрни Лобачевского к вопросу о непротиворечивости планиметрин Евклида. Излагаемая в этом параграфе модель принадлежит А.
Пуанкаре с. Рассмотрим на евклидовой плоскости горизонтальную прямую х и опирающуюся на нее верхнюю полуплоскость. Бсе точки этой верхней полуплоскости мы назовем неевклидовсами то ахами, а все лежащие в верхней полуплоскостн полуокружности с центром на прямой х и все вертикальные полупрямые, исходящие из точек прямой х, назовем неевклидовесми прлкссами (кстати, указанные полупрямые удобно рассматривать как полуокружности бесконечно большого радиуса). Между неевклидовыми точками и неевклидовыми прямыми определим соотношения кпринадлежит", "лежит междук и "конгруэнтен" в убедимся в справедливости всех аксиом абсолютной г е о м е т р н и (т.е.
аксиом 1, 1-3, П вЂ” 1Ч). После этого мы покажем, что в построенной модели справедлива аксиома параллельности Лобачевского (те. отрицание аксиомы Ч Евклида). Мы будем говорить, что неевклидова точка А принадлежит неевклидовой прямой а, если точка верхней полуплоскостн А лежит на полуокружности а. Справедливость аксиом 1, 1 — 3 устанавливается тривиально. Так, аксиомы 1, 1 н 1, 2 эквивалентны утверждению, что через две точки верхней полуплоскостн можно провести только одну окружность, нмеклцую центр на прямой х.
Аксиома 1, 3 эквивалентна утверждению, что на любой полуокружности имеются по крайней мере две точки н имеется хотя бы одна точка вне этой полуокружносгн. Перейдем к установлению соотношения "лежит меж,лу". Пусть А, В, С вЂ” трн точки неевклидовой прямой, изображаемой полуокружностью а. Будем говорить, что точка В (в неевклидовом смысле) сАврк Пуаккаре — фракцуксккя математик (1854-1912). 386 Приложение, Проблемы оснований геометрии заисит между А и С, если В на полуокружности а лежит между А и С (в евклидовом смысле).
При таком определении соотношения "лежит между" легко устанавливается справедливость аксиом И, 1 — 3. Впрочем, порядку следования тачек на неевклидовой прямой, изображаемой полуокружностью а, можно придать и более наглядный вид. Проведя из центра 0 полу- окружности а всевозможные лучи, мы с помощью этих лучей можем взаимно однозначно спроецировать все точки полуокружности а на все точки некоторой прямой у, параллельной к и лежащей выше полуокружности а. Тогда порядок следования тачек неевклидовой прямой а соответствует порядку следования образов этих точек на прямой у. Попутно докажем, что есе точки любой неевклидовой прямой а находятся ео взаимно однозначном соответствии с мноясестеом всея вещестеенниз чисел.
Нам еще следует проверить аксиому П, 4 Паша, но доказательство этой аксиомы является наглядно вполне очевидным, н мы его опустим. Теперь мы перейдем к определению соотяошения "конгрузнтен". В надлежащем его определении и состоит остроумие модели Пуанкаре, Не вдаваясь в детали, остановимся на основных клеях определения этого соотношения. Введем в рассмотрение специальное преобразование евклидовой юихзгости, известное под названием инверсии. Пусть фиксирована произвольная окружность радиуса г с пентром в точке А. Инверсией относительно указанной окрулсности называется такое преобразование точек плоскости, прн котором любая отличная от А точка плоскости М переходит в точку М', лежащую на одном с точкой М луче, выходящем из А, и такую, что выполнено условие АМ' ° АМ = гз.
Назовем неевклидов отрезок АВ конгрузнтним неевклидову отрезку А'В', если существует такая последовательность инверсий, что их произведение отображает евклидову круговую дугу АВ в круговую дугу А'В'. Неевклидовым углом будем называть совокупность двух неевклидовых полупрямых, исходящих из одной точки. Назовем неевклидов угол ~(Ь', Й') конгрузнтным неевклидову углу с'.(Ь, й), если существует такая последовательность инверсий, что их произведение отображает стороны первого угла на стороны второго. После принятых определений проверка аксиом коигруэнтности Ш, 1 — 5 превращается в техническую работу, которую мы можем опустить. Проверка аксиомы Архимеда 1Ъ", 1 также не вызывает никаких трудностей н использует лишь свойства инверсий. Последняя аксиома абсолютной геометрии — аксиома полноты ХЧ, 2 справедлива вследствие того, что (как это успьиовлено выше) между всеми точками любой "неевклидовой прямой" и всеми веществениы- у 4.
Заключительные замечания о проблемах аксиоматнки 387 ми числами можно установить взаимно однозначное охггветствие (см. вторую основную теорему из и. 5 31). Итак, для рассматриваемой модели справедливы все аксиомы абсолютной геометрии (1, 1 — 3, П-1У). Как же обстоит дело с аксиомой параллельности У? Возьмем любую "неевклидову прямую", изображаемую нолуокружностью а, и любую точку А, ей не принадлежащую.
Легко проверить, что через точку А проходит бесконечно много различных полуокружностей, имеющих центры на прямой х и не имеющих общих точек с полуокружностью а. Это означает, что в рассматриваемой нами модели справедлива аксиома параллельности Лобачевского. Тем самым мы завершили доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что аксиома параллельности Ч Евклида не является следствием аксиом 1, 1-3, П-1Ч абсолютной геометрии. 54. Заклгочительные замечания о проблемах аксиоматики При изучении любой системы аксиом естественно возникают следующие три проблемы: 1) проблема непротиворечивости системы аксиом; 2) проблема минимальности системы аксиом (выясняющая вопрос о том, не является ли каждая из рассматриваеьпэх аксиом следствием остаэьных); 3) проблема полноты системы аксиом (принято систему аксиом называть полной, если между элементамн двух любых ее реализации можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее установленные между элементами соотношения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
