В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Если точка В лгзюит на отрезке АС, а то"аса С вЂ” на отрезке ВР, то тпочки В и С лежат ма отрезке АР. Т е о р е м а 10. Если точка С лежит на отрезке АР, а то ока  — на отрезке АС, то В лежит также на отарезке АР, а С вЂ” на отрезке ВР. Т е о ре м а 11. Между любыми двумя различными точками прямой существуета бесконечно много других ее точек. Теорема 12. Пусть каждая из тпвчекС и Р лежит лтежду тиочками А и В. Тогда если М лежит межтя? С и Х?, то М лежит и между А и В.
Т е о р е м а 13. Если тпочхи С и Р лежат между точхами А и В, то все точки отрезка СХ? принадлежат отпрезку АВ (в этом случае мы будем гоиориттч что отрезок СР лежит внутри отрезка АВ). Т е о р е м а 14. Если точка С лезтсит между янтчхами А и В, то: 1) накакал точка отпрезка АС не лтожет быть точкой онтрезка СВ, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отпрезху АС, либо отпрезку СВ. Указанные утверждения позволяют упорядочитаь множество точек любой прямой и выбрать на этой прямой направление.
Будем гонорить, что две различные точки А и В прямой а лежат по разные стороны 1по одну сторону) от третьей точки 0 той же прямой, если точка О лежит 1не лежит) между А н В. Из укаэанных выше утверждений вытекает следующая теорема. Теорема 13. Произвольная тпочха О каждой прямой а разбиеаета есе остальные точки этой пряятой на два непустпых класса так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному и тпозеу же классу, лежат по одну сторотгу отп О, а любые две точки, принадлежащие разнылт классам, .вежат по разные стлороны от О.
Таким образом, задание на любой прямой двух различных точек 0 и Е определяет вв этой прямой луч или полупряятую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая ее точка н точка Е лежат по одну сторону от О. Выбрав на прямой а две различные точки 0 и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек на прямой по следующему правилу: 1) если А и  — любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О н В", 2) будем говорить, что точка 0 предтаествугт любой точке луча ОЕ; 3) будем говорить, что любая точка прямой„не принадлежащая лучу ОЕ, предшестпеуетп как точке О, так и любой точке, принадлежащей лучу ОЕ; 4) если А т Под термином "прямая пересекает отрезок" мы подразумеваем, что указанная прямая содержит некоторую внутреннюю точку етого отрез~в.
374 Приложение. Проблемы оснований геометрии н  — любые точки прямой, не принадлежащие лучу ОВ, то мы будем говорить, что А предшествуесп В, если В лежит мюкду А и О. Легко проверить, что для выбранного порядка следования точек прямойасправедливосвойство транзнтнвности: еслиА предиэествует В, а В предшествует С, то А предшествует С. Аксиомы, приведенные выше, позволяют упорядочить и точки, прингдлежзщие произвольной плоскости а, Предлагаем читателю доказать следующее утверждение. Теорема 16.
Каждая прямил а, принадлежащая плоскосспи а, ровде сает не лежащие на ней точки этной плоскость на два непустых класса так, что любые две точки А и В из разных классов определяюгп отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любые две пю оси А и А' из одного класса определанна отпреэок АА', внуспри копэорого не лежит ни одна точка прямой а.
В соответствии с утверждением этой теоремы мы будем говорить, что точки А и А' (одного класса) лежатп е и скости а по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов) лежат в плоскости а по разные стпороньс от прямой а. 3. Аксиомы конгрузнтности. П1, 1, Если А и  — две тон~и на прямой а, А' — точка на той же прямой или на другой прямой а', пю ио даннусо от точки А' сспорону прямой а' найдепэся, и пригаом пюлькв одна, точка В' гаакал, что отрезок А'В' конгрузнтен отпрезку АВ.
Каждый отрезок АВ конгруэнпсен отрезку ВА. П1, 2. Если отрезки А'В' и АпВл конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгрузнганы и между собой. 1П, 3. Пусть АВ и ВС вЂ” два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А'В' и В'С' — два отрезка той же прямой или другой прялсой а", также не имеющие общих внутренних в~очек. Тогда если отрезок АВ конгрузнтен отрезку А'В', а оспрезок ВС конгрузнт;ен отрезку В'С', то отрезок АС конгруэнтен отрезку А'С'. Сформулированные трн аксиомы относятся к конгрузнтности отрезков. Для формулировки двух следующих аксиом нам понадобится понятие угла н его внутренних точек. Пара полупрямых Й и к, выходящих из одной и той же точки О и не лежащих на одной прямой, называется углом и обозначается символом ~(й, й) или гАк, Ь).
Если полупрямые 6 и й задаются двумя своими точками ОА и ОВ, то мы будем обозначать угол символом ~АОВ или дВОА. с Из этой аксиомы вытекает возможность керемещения отрезка АВ вдоль прямой, на которой он лежит (с сокранением его длины и направления). Будем говорить, что покрое мнима огарсзок СВ получен е результате неремесценнл направленного отрезка АБ, если отрезок СВ коигрузнтеи отрезку АБ и если либо отрезок АВ лежит внутри отрезка БС', либо отрезок БВ лежит внутри отрезка АВ. 51.
Аксиомы элементарной геометрии 375 Б силу теоремы 4 любые два луча й и й, составляющие угол с'.(й, й), определяют, и притом единственную, плоскость а. Внутрекни ми точками угла с(й, й) будем называть те точки плоскости а, которые, во-вервых, лежат по ту же сторону от прямой, содержащей луч й, что и любая точка, луча й, и, во-вторых, лежат по ту же сторону от прямой, содержащей луч й, что н любая точка луча й. 111, 4. Пусгпь даны угол с'.(Ыс) на плоскости а, примоя а' на этой же или на какой-либо другой плоскости а' и задана определеннал сторона плоскости а' относительно прямой а'.
Пусть й' — луч. прлмой а', исходящий из некоторой то оси О'. Тогда на плоскости а' существует один и только один луч й' пзакой„что с'.(Ь, й) кокгруэнтен ~(К й'), и при этом есе внутренние точки с(К й') лежат зю заданную спюрону от прямой а'. Каждый угол конгрузктек самому себе. Ш, 5. Пусть А, В и С - три точки, не лежащие на одной прямой, А', В' и С' — другие три точки„также не лежащие на одной прямой. Тогда если отрезок АВ кокгрузнтен отрезку А'В', отрезок АС конгрузнзпен отрезку А'С' и КВАС конгруэнтен с'.В'А'С', то сАВС кокдрузкпзен хА'В'С' и с'.АСВ конгрузнтен ЛА'С'В'.
Договоримся теперь о сравнении неконгруэнтных отрезков и углов. Будем говорить, что отрезок АВ балансе отрезка А'В', если на црямой, определяемой точками А и В, найдется лежащая между этими точками точка С такая, что отрезок АС конгруэнтен отрезку А'В'. Будем говорить, что отрезок АВ мениие отрезка А'В', если отрезок А'В' больше отрезка АВ. Тот факт, что отрезок АВ меньше отрезка А'В' (конгрузнтен отрезку А'В'), символически будем записывать так: АВ < А'В' (АВ = А'В'). Будем говорить, что с'.АОВ больше с'.А'О'В', если в плоскости, определяемой с'.АОВ, найдется луч ОС, все точки которого являются внутренними точками с'.АОВ, такой, что ~АСС конгруэнтея г'.А'О'В'.
Будем говорить, что сАОВ меньизе лА'О'В', если с'.А'О'В' больше сАОВ. С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности можно доказать целый ряд классических теорем элементарной геометрии. Сюда относятся: 1) три широко известные теоремы о конгруэнтности (равенстве) двух треугольников; 2) теорема о конгруэнтности вертикальных углов; 3) теорема о конгруэнтности всех прнмых углов; 4) теорема о единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую; 5) теорема о единственности перпендикуляра, восставленного из данной точки прямой; 5) теорема о внешнем угле треугольника; 7) теорема о сравнении перпендикуляра и наклонной.
Предлагаем читателю самому последовательно доказать только что перечисленные теоремы. Приложение. Проблемы оснований геометрии 4. Аксиомы непрерывности. С помощью аксиом принадлежности, нарядна н конгрузнтности мы произвели сравнение отрезков, позволяющее заключить, каким из трех знаков <, = илн > связаны данные два отрезка, Укгзанкых аксиом, однако, недостаточно: Ц для обоснования втюможнастн измерения отрезков, позволяющего поставить в соответствие кзэкдому отрезку определенное вещественное число; 2) для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным. Для проведения такого обоснования следует присоединить к аксиомам 1, П, П! две аксиомы непрерывности.
?Ъ', 1 (аксиома Архимеда), Пусть АВ и СП вЂ” произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой тпочками А и В, существует конечное число точек АмАг,...,А„, расположенных так, чтпо точка Ат лежит между А и Аг, тпочка Аг лежипт между Ат и Аэ,..., точка А„т лежит между А„г и А, причем отрезки АА г, АтАг,..., Ап- т А„конгруэнтнм отрезку СЮ и точка В лежит меж- дуАиА . 1Ч, 2 (аксиама линейной полноты).
Совокупность всех точек произвольной прямой а нельзя пополнить новыми обвектами (пнтчками) так, чтнобы: 1) на пополненной прямой были определены соотношения "лежит между" и еконгруэнтен", определен порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтностпи Ш, 1-3 и аксиома Архимеда ?т', 1; 2) по отпношению к прежним точка'ц прямой определенные на пополненной прямой соотношения "лежит между" и "конгруэнтпен" сохраняли стпарый смысл. Мы сейчас докажем, что присоединение к аксиомам 1, 1-3, П и П1, 1-3 аксиомы Архимеда ?Ч. 1 позволяет поставить в соответствие каждой точке произвольной прямой а определенное вещественное число х, называемое координатой атой точки, а присоединение еще и аксиомы линейной полноты Ж, 2 позволяет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпыватот множество всех вещественных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
