В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Введем в У н И' векторную норму !1 !1„согласно (107.10). Будем считать, что в пространствах У и И' введены нормы одинакового типа. Обозначим через 1!А!!р норму оператора, подчиненную векторным нормам !! !1ю через А = (аи) — матрицу оператора А в базисах е и у. Т, ее р ем а 111.1. Для любого оператора А Е ь(У, И') !!А!!т = д Е! и! Глава Х1Х. Линейные нормированные пространства Доказательство. Пусть я = ~ ". э яуеу, тогда Ая = 1" я Аеу — — ~ я 1 а,,~; = ~(~ аг я,)~ь г 1 .«=1 «ыг « 1 1=1 Согласно (10 «,10), ««««« ««««« «« ««« ~!А Ь=~~' !',~ оухА ~.~! Щ=~~.1*А~.! '.~ (ПП1) ьы у=г «ьз г=г у=г $=г Пусть й-й столбец матрицы А имгит максимальную столбцовую сумму, т.е.
~;™,(ац,! = п«ах ~, 1~а; ~. Тогда нз (Ш.1) следует, что цАя(~~ < ~" ~ (ху~ ~", ~ ~ад:,! = ЙЩ ',С, ~ ~аьь!. Это означает, что 'зАя~(~ < ~ ~м, ~а;ь! для любого вектора я, у которого )ф~г = 1, и ~)Ая~)г = ~„,, ~а;ь~ для вектора я = еь (очевидно, ~~еД г = 1). Следовательно, ~'„, ~ага( = впр РАяЦ. ° 1~1« =« Т е о р е м а 111.3.
Длл любого онлран«ора А 6 ь(1«, И') !1А!! = и х Е!о-„). Д о к а з а те л ь с т в о аналогично доказательству теоремы 111.1. Оно предоставляетсв читателю. ° Замечание. Векторные нормы 1. (~г пространств У и И" порождают спектральную норму оператора 0А(~г, так как норма (( ° )(г совпадает с евклнцовой нормой )~ ° )~и, если в пространствах Ъ' н И« ввести скалярное произведение так, чтобы базисы е и у стали ортонормированнымн. Евклидова норма оператора. Можно строить норму линейного оператора и как норму вектора в линейном пространстве ь(1«, И«). Одна из таких норм представляет интерес.
Евклидовой кормой оператора А называетси число Корректность этого определения следует из легко проверяемых для ))А~(н аксиом нормы. Как видно из (111.2), евклидова норма оператора легко вычисляема (по сравнению, например, с 1А~Ц. При этом она обладает многими свойствами подчиненных норм. Перечислим их. $112. Экстремальные задачи для самосспряженного оператора 357 1. Сеойставо согласованности: ((Ак)~н < 1~АЩЩн, так как в силу неравенства Каши-Буняковского ((Ал((й = 2,. г~Я" ~ а,гтг~ < < ~ (~ » ( ~г ~-3 ( (г) ~ (. (г ((Алг с Ц((г ((к((г 2 Сеойсшео мультпиплпхйтпиеностпп: сАВле < сА~~н!16~(ж, ибо ((АЩгк = ~~ (~ агаЬь,~ < ~~ (~~~,!а;ь!(5ь1!) < а„у ь а~ Й < ~-(~~.„~ . Г(5„,(г) = ~(.,„( ~-(Ь„Рг = (~А((г ~~В((й.
ьг ь ь ьа 3. 5А5гн = сгА'А = 1гАА'. Эти равенства легко проверяются непосредственно. 4- лАЦ = р~~+ "° + рг„где рь...,р, — сингулярные числа оператора А и з = ппп(п,гп). Это следует из свойства 3 и теоремы 92,2 (следствне). 5. 5А((н ) сАсг в силу теоремы 110.4. б. ~(А()н не изменяется при умножении оператора А на ортого. нальные (унитарные) операторы. Это следует из свойства 4 и теоремы П0.5. Норма матрицы вводится аналогично норме оператора, гю существу, весь 3110 относится и к матрицам, с очевидной заменой термина "оператор" на термин "матрица".
Среди норм матрицы А = (а, ) с И™хм (или С~'х") наиболее употребительны следующие нормы: с'А!И = шах,~ М!' 1(1<ч ш1 '5А3, = шах ~~~ (счг); ((А((г = максимальному сингулярному числу матрипы А; гуг ~а л иь= ',))„Е(;,~' ъ=~ 1=~ $ 112. Экстремальные задачи для самосопряженного оператора Под экстремальными задачами понимаются задачи, связанные с нахождением экстремумов функций. Изучение таких задач составляет содержание так называемого еарпационного исчосленмл, Большинство методов, существующих в вариационном исчислении, связано со специальным видом тех функций., экстремальные значения которых ищутся. В случае самосопряженного оператора в качестве такой функции рассматривается функция 358 Глава ХИ.
Линейные нормврованные пространства у(х)ш — *, хфд, (Ах, х) (112.Ц (х, х) называемая отпношгнмем Рэлгл Вариационные свойства собственных значений. Пусть А— самосолряжеиный оператор в евклидовом (унитарном) пространстве Г Построим в пространстве у ортонормированный базис (112.2) еы "1ея из собственных векторов оператора А, отвечающих собственным значениям Л, >Л »."Л„, (112.3) Такой нумерации собственных векторов и собственных значений будем придерживаться всюду в этом параграфе.
Под нормой й - 'й будем понимать евклндову норму )! - (~л, так что если х = '~ ,'", х;е;, то ~И = Л( * ) = (2.,"= 5 ' . Отношение Рзлея может быть записано в виде У(х)ш (.4*,х), И ш 1. (112.4) Т е о р е ма 112.1. Даа самосопрлэтсенного опсратпора А сараегдливы ролгнстпеа Лт = шах(„4х,х), Л„= ппп (Ах,х).
'таз=1 1х1 Г Доказательство. Для любого вектора х = 2 ";, х;ег ч 1т имеем Ах = 2,"ы,х,Л,ет б $" и, с Учетом оРгоноРмнРованности базиса, (Ах,х) = ~С,"., Л,~х;(з. В силу (112.3) отсюда следует, что Л, > > (Ах, х) > Ля, если йх~( = 1; причем (Аеы ет) = Лм (Ае„, е ) = Л„и 'йетй = 1, йе„й = 1. Следовательно, Л1 и ˄— наибольшее и наименьшее значения (Ах, х) на единичной евклидовой с4тере. а 3 ам г ч а н ив. Эта теорема дает экстремальные свойства я квадратичной формы в евклндовом (унитарном) пространстве: на единичной сфере кеадратпичнал форма А(х, х) прнннмаенз экстрсмальныг гначенил на пмх еектпорат, хопюрые леллкепса собстпагнными еектпорамн самосепрлхсгннога оператпора тт (теорема 104.3).
Кстати, в терминах квадратичной формы У(кы..., зя) от переменных кп ..., к„задача поиска зкстремавьнык значений квадратичной формы предсшяавет совой квассическую задачу на усяоавый экстремум. Одням из методов ее решения яввяепн метод Латрентка П Ц. Теорема 112.2.
Еслы Х -линейнал оболочка собстпеснных егктпорое еп,...,е;„(зт < . < за) иг базиса (112.2) симосопрлэтсенного опгранзора А, нто Л;, = пптх (Ах, х), Л;„= шш (Ах, х). (112.5) 1зу=кзеь ' * " 1кй-д еь у'112. Экстремальные задачи длл семосолрялсенного оператора 359 Доказательство »нелогично доказательству теоремы 112.1. и Теорема 112.3 (теорема Куранта-Фишера). Для собственных значений слмосопряженноге оператора А справедлива своткоихения Л» = п1ах ппп (Ах, х), сх 1х1=1,»е»„ Л» = щ (А,х), с -»+1 1хг=пхес х+~ (112.6) пйп Х(х) < Л», 1х1=ахгь» шак ппп Х(х) < Л». Ь» 1х1=пхе»» равенство в (112,7) достигается для Х» = Е(ем..., е»).
Второе соотношение в (112.6) доказывается аналогично. и Варин»Лионные свойства сингулярных чисел. Пусть Ъ', И"— евклидовы (яли унитарные) пространства, Йш$' = и, о)шй" = ш. В обоих пространствах рассматривавися евклидовы нормы: Йх)~и = =»Л(, ) Теорема 112.4, Пусть р1 » ... р„в = шш(т,п), — сингулярные числа оператора А е Е('г', Иг).
Тогда для любах Й, Й = 1, з, справедлива соотношения р» = шал пйл 6Ах6, Ь» 1хг=ьхеьх р» = ш!и шах (~Ах)~, — »»м 1»1=дхе»» — ».и (112.8) где максимум (в первом соотношении) берется по всевозможным Й-меркам подпространствем Х», а минимум (ео втором соольно- шении) — по всевозможным (и — Й + 1)-мернам подпространсгпвам Х,„»+» пространство У, где максимум (е первом соотношении) берется по всевозможнам Й-меркам подпростракством Х», а минимум (ео втором соотношении) — по всевозможным (и — Й + 1)-мернам подпространствам Х»+1 пространства у'. До к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Х» — произвольное Й мерное подпространство н 1У„».~1 — линейная оболочка собственных векторов е»,..., е„из (112.2) оператора А. Так как ббшХ» + йпп 1х'„»+1 = и+ 1, то Х» П И'„»+1 ф (9). Пусть хе Е Х» г1 Ие»+1 и ~(хе(~ = 1. Так как хе б И"и *+и то из первого равенства (112.5), примененного к подпространству И'х-»+ы следует; что У(хе) ~ Л». С другой стороны, хо Е Х» и следовательно, сУществУет вектоР хе б Х», )1хо1 = 1 такой, что х(хе) < Л». Таким образом, для лшбого Й-мерного подпростраль ства Х» имеем 360 Глава ХИ.
Пинейные иормщюванные пространства Доказательство. Известно (г100), что А А Е,С(1г 1г) — само- сопряженный оператор с собственными значениями дг, » ... рг. Из теоремы Куранта-Фишера следует, что рь = шах гшп (А*Ах, г), Ьг 1Щ 1,гегг р~ = гшп шах (А'Ах, х). ь~,-1~! !!г1=кгеь„-*+1 Отсюда, если учесть, что (А'Ах,х) = (Ах,Ах) = ЦАхйг, следует утверждение теоремы. н Разделение собственных значений. Главной нодмотрицгй г-го порядка матрицы А называется матрица, составленная нз элементов матрицы А, расположенных в и строках и й столбцах г.
одинаковыми номерами. Т е орем а 112.5. Пусть охмосоврлзсгнног матрица А имеет собстегнныг значения л, »...л„ и пусть  — ге глоенол подмотрица (и — Ц-го иорлдко. Гогдо собстегиныг зночгнил р1 > рг » ... р 1 матрицы В разделяют собствгнныг значения матрицы А, т.г. (112.9) Л, > р, > Л, » .. Л. , > р„ , > Л„.
Доказательство. Бгз ограничения общности можно считать, что подматрица В находится в левом верхнем углу матрицы А. Матрицу А будем рассматривать как матрипу свмосопряженного оператора А е Е(1г'г") в некотором ортонормированном базисе ды...,д„ пространства )г, а матрицу  — как матрицу самосопряженного оператора В е Е(У, Ч) в базисе дм... „дн 1 подпространства г' пространства 1г.
Очевидно, что для векторов г е г' (Вг, х) = (Аг,х). (112.10) Пусть ~н...,У„1 — ортонормированный базис Ч, состоящий из собственных векторов оператора В, а д1 » ... ,и„1 — соответствующие собственные значения. Обозначим бг = Е(гм..., ~г), Х.~ г = = Е(уг, „, . „Д„, ). На основании теоремы 112.2 с учетом (112.10) иг = ппп (Ах, г), ~ц, = шах (Аг, к). ~щ=цьгьг ))х1=1леь„-ь Так как Хг — одно нз й-мерных подпростргнств пространства 1г, то в силу теоремы Куранта-Фишера дг < шах ппп (Ах,г) = Лг, те. иь ( Ль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
