В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 76
Текст из файла (страница 76)
$. Обоснование метода координат. Прервем на время изложение аксиом геометрии, чтобы на основании уже изложенных аксиом дать обоснование метода координат на прямой. Сначала докажем следующее утверждение. Первая основная птеорема, Аксиомы 1, 1-3, П, П1, 1 — 3 и аксиома?Ч, 1 Архимеда позволяют ввести на любой прямой а координатам так, что выполнены следующие требованшь: 1'.
Каждой точке М прямой а соотпеетствует опредеяеттое вещественное ~осло х, нозываелтое ее координатой. 2 . Разньтгг точкам соответствуют разные координаты, причем точка Мг л ежит меэюду Мг и Мз тогда и толик т тогда, когда либо хт < хг < хз либо хт > хг > хз (здесь хм хг и хэ — координаты тачек Мм Мэ и Мг соответственно).
31. Аксиомы алементарлой геометрии 3". Оглрезки М1 Мг и М1 Мг конгрузнтны тогда и только тогда, когда хг — х~ = хг — х', (здесь хы хг, х1 к х~ — координаты точек Мм Мъ М," и Мг соответственно). 4 . Если вещественные числа х1 и хг представляют собой координаты некоторых точек, то и вещественное число х1 х хз вредставллет собой координату некоторой точки. Доказательство. Выберем на прямой а произвольную точку О в качестве начала координат н произвольную отличную от О точку Е в качестве точки с ююрдинатой единица.
Пусть М вЂ” произвольная точка прямой а. Для определенности предположим, что М лежит с той же стороны от О, что и Е (аксиомы 1, 1 — 3, П и Ш, 1 — 3 обеспечивают возможнссть установления порядка следования точек иа прямой а. Каковы бы ни были целое положительное чнсло я и целое неотрицательное число т, мы можем, откладывая отрезок ОМ в одном и том же направлении последовательно п рвз, построить отрезок и . ОМ и аналогично построить отрезок гл ° ОЕ (возможнос1ь откладывать конгрузнтный отрезок в любом направлении н строить сумму конгрузнтных отрезков, не имеющих общих внутренних точек, вытекает из аксиом 1, 1-3, П и 1П, 1-3).
В силу только что упомянутых аксиом любые два отрезка мы можем сравнивать. Следовательно, и отрезки и ОМ и т ° ОЕ при различных и и т будут связаны либо знаком <, либо знаком >. Рассмотрим все возможные рациональные числа т/и. Их можно разбить на два класса, относя к верхнему классу те из них, для которых и ОМ<т ° ОЕ, (П.1) к к нижнему классу те, для которых (П.2) и ° ОМ > т ° ОЕ. Убедимся в том, что зти два класса однозначно определяют вещественное число х„которое мы и поставим в соответствие точке М и назовем ее координатой.
Сначала убедимся в том, что любое рациональное число из верхнего класса больше любого рационального числа из ниоюнего класса, Приведя любые два рациональных числа из разных классов к общему знаменателю и обозначая последний через и, мы из (П.1) и (П 2) получим, что числитель числа из верхнего класса больше числителя числа из нижнего класса. Отсвща и вытекает, что число из верхнего класса больше числа вз нижнего класса. Далее заметим, что оба класса не лвллкнасл иустыми: нижнему классу заведомо принадлежит рациональное число нуль, а для установления непустоты верхнего класса достаточно положить и = 1 и заметить, что аксиома Архимеда 1У, 1 гарантирует существование те кого натурального числа т„что при и = 1 справедливо неравенство Приложение.
Проблемы оснований геометрии 378 .ОМ» > .ОЕ, мы получим, что и ° ОМ» < (т+1) .ОЕ, и в силу сделанного выше выбора номера п и - ОМ2 > (тп + 1) ОЕ. (П.З) (.) Из (П.З) заключаем, что рациональное число (т + 1)/и относится к верхнему классу по отношению к точке М», т.е. (т + 1)/и > х», а из (П.4) заключаем, что то же самое рациональное число (т + 1)/п относится к нижнему классу по отношению к точке Мг, н поэтому хг > (т+ 1)»»п.
тем самым неравенство хг > х» докгзано. Если теперь мы имеем на прямой а какое угодно число точек, идущих в порядке О, М», Мг,..., М„(в сторонугЕ), то из только что доказанного утверждения для координат этих точек получим О ( Х» С Хг ~ .. 'С Хо. Тем самым для случая расположения точек »то ту же сторону от О, что и Е, требование 2 доказано. Для точек М, лежащих на прямой а по другую сторону от О, аналогично вводится отрицательные »См. например, основную теорему 2.1 иэ (11), ч.1. гТот факт, что длн любого номера и вайдетсл уюаанный номер о» (такой, что справедливо (П.»)), снова вьпокает иэ аксиомы Архимеда»»С, 1.
В дальнейшем эта сторона нменуетсл полонсвтельной. В силу теоремы о точных гранях непустого ограниченного сверху (сиизу) множества» существует точная верхняя грань х рациональных чисел нижнего класса и точная нижния грань й рациональных чисел верхнего класса. Убедимся в том, что эти грани х и х заключены между как угодив близкими рациональными числами и поэ»»нину совпадают Достаточно доказать, что существую»о как угодно близкие числа разных классов, а это вытекает из того, что для как угодно большого номера и найдется номер тп такой, что рациональное число (т + 1)/и принадлежит верхнему классу, а рациональное число т/и принадлежит нижнему классуг.
Положим теперь х = х = х и поставим вещественное число х в соответствие точке М, назвав его координатой этой точки. Требование 1' обосновано. Пусть теперь М» и Мг — какие угодно две точки, лежащие по ту же с»лорану отл О, чтв и Е, и такие, что М» лежит между О и Мг, т.е. ОМг > ОМ». Дою»жом, чтв если х» и хг — кооРдинаты точек М» и Мг соотвстпственно, .тв хг > х». Выберем номер и настолько большим, чтобы разность отрезков ОМ2 и ОМы повторенная и раз, превзошла отрезок ОЕ (это можно сделать в силу все той же аксиомы Архимеда 1У, 1).
Тогда, обозначая через т наиболыиее целое число, для которого з1. Аксиомы элементарной геометрии координаты и повторением тех же рассуждений мы устанавливаем требования 1' и 2' в общем виде. Для установления требований 3' и 4' мы сначала докажем, что если на прямой а в полозюительную сторону от О взяты гпочми Мм Мг и М, причем М1 лежит между О и М и отрезки М~М и ОМг монзРУзнтны> то х — х1 + хг (здесь х1 хг и хг кооРДинаты точек М, Мг и Мг соответственно). Возьмем из нижних классов, отвечающих координатам хг и хг, два произвольных рациональных числа, обозначив их (после приведения к общему знаьгенателю и) соответственно через тг/и и тг/и. Тогда п ОМ1 > гпг ОЕ, и ОМг > тг.ОЕ.
Складывая последние два неравенства, получим и ОМ > (тг + тг) ОЕ. (П.5) Точнее говоря, в левой части (П.5) мы получим сумму н раз отложенного отрезка ОМ~ и п раз отложенного отрезка ОМг, но после перегруппировки слагаемых мы и получим н рвз повторенную сумму отрнгков ОМг и ОМг, те.г и ОМ. Из неравенства (П.5) заключаем, что рацион авьное число — „г + ~~ принадлежит нижнему клзссу, отвечающему координате х.
Аналогично, взяв любые рациональные числа т1/и и тг/п из верхних классов, отвечающих координатам хг и хг, мы убедимся в том, что рациональное число жл+ — „г принадлежит верхнему классу, отвечающему координате х. Но тогда из определения суммы вещественных чисел н из того, что рациональные числа как из верхнего, так и из нижнего классов как угодно точно приближают соответствующую координату, мы получим, что вещественное число х равно сумме хг + хг. Тем самым нами доказано, что отллохсить от томки М1 с координатой х1 (в полохситааьную спюрону) отрезом ОМг — згпо все равно, что построить' гпочму М с координатой х, удовлетворяющей условию х = хг + хг, где хг > Π— координата пючми Мг.
Это утверждение мы доказали для случая хг > О, но легко распространить его и на общий случай (предоставляем зто читателю). Из доказанного утверждения сразу же вытекает требование 4', а для доказательства утверждения 3' достаточно заметить, что откладывание данного отрезка равносильно добавлению к координате точки постоянного слагаемого. Первая основная теорема полностью докззанаг.
® То, что в геометрической сумме отрезков мы можем, не меняя суммы, переставлять слагаемые, вытекает из следующих соображений. Достаточно убедитьсв в возможности перестановки дав двух слагаемьпс, а это непосредственно вытекает нз аксиомы 111, 3, в формуляровке которой ничего не сказано о перлине, в котором "приставляются" друг к другу слагаемые отрезки А'В' и В'С'. При любом их порядке сумма А" С' конгруэнтна отрезку АС. гПодчеркнем, что при доказательстве первой основной теоремы аксиомы 1, 1-г н П оспользоеа ись лишь для рспюноеленил порядка следованию гаачек на прямой.
33О Приложение. Проблемы оснований геометрии Замечание. Особо подчеркнем, что в первой основной теореме нг утверждается, что каждому вещественному числу х соотнетствует определенная точка на прямой (т.е. не утверждается, что оютветствие между точками прямой и вещественными числами является взаимно однозначным). Мы сейчас увидим, что зго невозможно доказать, опираясь только на аксиомы 1, 1 — 3„П, П1, 1-2 и 1Ч, 1 н не привлекая аксиому линейной полноты 1Ч, 2. Втпорал основная тпеорелга.
Пусть справедливы аксиома 1, 1-3, П, П1, 1-3, Гт', 1 и на прямой а введены координаты. Тогда, длл того чтобы каждому вещественному числу х отвечала некоторая точка прямой а, т.г. для того чтобы между всеми точками прямой а и всеми вещественными числами существовало взаимно однозначное соотпветствие, необходимо и достаточно, чтобы 6ь?ла справедлива аксиома линейной полнотпм 1Ч, 2. Доказательство. Достаточность. Докажем, что если существуют вещественные числа х, которым не отвечает никакая точка прямой а, то аксиома Ж, 2 заведомо несправедлива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
