В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (другой скан) (1113057), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Пусть существуют указанные вещественные числа х. Каждое нз них мы назовем новой точкой и присоединим все новые точки к совокупности прежних точек прямой а. На пополненной прямой (назовем ее а) уже каждому вещественному числу отвечает точка, н обратно. Определим на а соотношения "лежит между" н "конгруэнтен". Будем говорить, что точка Мг прямой а лежит мв?тсду М? н Мз, если либо х? < хз < хэ, либо х? > хз > хз, где под х?,хз и хэ нужно понимать кОординату соот?ютствующей тОчки Мы Мг и Мг если эта точка прежняя, и саму эту точку, если она новая.
Очевидно, что в применении к прежним точкам определенное на а соотношение "лежит между*' сохраняет старый смысл. Будем говорить, по отрезок М?М? прямой а конгруэнптгн отрезку той же прямой М?М?, если хг — х? = хз — хм где под х?, хг, х', и хг нужно понимать координату соответствующей точки Мм Мю М? и Мг?, если эта точка прежняя, н саму эту точку, если она новая. Снова очевидно, что в применении к прежним точкам определенное на а оютношение "конгруэнтен" сохраняет старый смысл. Очевидно также, что для точек пополненной прямой й определен порядок следования и справедливы аксиомы конгрузнтности П1, 1-3 н аксиома Архимеда 1Ч, 1. Тем самым мы установили возможность пополнения прямой, щютиворечащую аксиоме линейной полноты 1У, 2.
Достаточность доказана. Необходимость. Докажем, что если эконома линейной полноты 1У, 2 не имеет места, то координаты всех точек прямой а не исчерпывают всех вещественных чисел. 31. Аксиомы элементарной геометрии 331 Если аксиома ?Ч, 2 не имеет места, то существует пополненная новыми точками прямая а, для всех точек которой определены соотношения "лежит между" и еконгруэнтен", определен порядок следования и справедливы аксиомы конгрузнтности 1П, 1-3 и аксиома Архимеда 1Ч, 1.
В силу первой основной теоремы на пополненной прямой а можно ввести координаты (в этой теореме аксиомы 1, 1-3 и П испол завались лишь в форме вазможности установления на данной прямой порядка следования точек). Мы получили, по каждой точке пополненной прямой а отвечает определенное вещественное число, причем разным точкам отвечают различные вещественные числа. Но отсюда следует, что те вещественные числа, которые отвечают точкам, производящим пополнение, не будут соответствовать ни одной тачке исходной прямой а, Необходимость доказана. й б. Аксиома параллельности.
Самая последняя аксиома играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделение геометрии на две логически.непротиворечивые и взаимно исключакнцие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии. В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так: Ч. Пустпь а — произвольная прямая и А — тпочка, леэтсащал еке прямой а, тпогда е плоскости а, определяемой точкой А и прямой а, существует пе более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей А. Долгое время геометры выясняли вопрос а том, не является ли аксиома параллельности Ч следствием всех остальных аксиом 1, П, ??1, 1Ч.
Этот вопрос был решен Н.И. Лобачевским, который доказал, что аксиома Ч не является следствием аксиом 1-1Ч. По-другому результат Лобачевского можно сформулировать так: если к аксиомам?-1Ч присоединить утверждение, отприцающее справедливость аксиомы 'и', тпо следствия всех этих положений будутп состпаелять логически непротиворечивую систему ?неевклидову геометрию Лобачевского). Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского излагается в 33 настоящего Приложения. Здесь же мы отметим, чта систему следствий, вытекающих из одних только аксиом 1 — ?Ч, обычно называют абсолютпной геометрией. Абсолютнвл геометрия является общей частью квк евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом 1-1Ч, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского ?примеры таких предложений читатель найдет в предыдущих пунктах). 'Николай Ивеиович Лобачевский — великий русский математик ?1793-1856).
Прнлаженве. Проблемы оснований геометрии $ 2. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида Наметим схему доказательства непротиворечивости всех пяти групп оконом геометрии Евклида. Для простоты ограничимся доказательством непротиворечивости плавнметрни Евкляда, т.е. установим непротиворечивость системы аксиом 1, 1 — 3, П вЂ” Ч. Для доквзательства досгаточно построить какую-нибудь конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих всем указанным аксиомам.
Мы построим тпк называемую декартову или арифметическую реализацию совокупности объектов, удовлетворяющнх аксиомам планиметрнн. 'Тем самым вощюс о непротиворечивости планиметрии Евклида будет сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики, Назовем !пачкой любую упорялоченнуго пару вещественных чисел (х, у), а прямой — отношение трех вещественных чисел' (и: е: и!) при условии, что иг + ег ф О. Будем говорить, что точка (х, у) принадлежит прямой (и ! е: ш), если справедливо равенспю (П.б) Докажем справедливость аксиом 1, 1-3. Каковы бы ни были две различные точки (х1, у1) и (хг, уг), прямвяг ((у1 — уг); (хг — х1): (хгуг — хгу1)), как легко убедиться, содерхсит эши пючки (пкснома 1, 1). Далее вз уравнений ихг+оу1+ю=О, ихг+еуг+гп=О вытекает, что и: п: гп = (у1 — уг): (хг — х1) ! (хгуг — хгу1), так что точками (х1, у1) и (хг, уг) определяется шольио одна прямая (и; о: ш) (аксиома 1, 2).
Наконец, справедливость аксиомы 1, 3 вытекает из того, что уравнение (П.б) с двумя неизвестными х и у всегда Имеет бесчисленное множество решений н не всякая пара х и у есть решение уравнения (П.б). Теперь определим соотношение "лежит между". Так как иг+ог ф О, то либо и ф0, либо и ф0. Если в ,-Е О, то будем говорить, что точка (хюуг) .аежиш между (х1, у1) и (хз, уз), ес,вв либо и1 ( х2 ~ хз, либо х1 ) х2 ) хз, Если же е = О (при этом заведомо и ~ О), то будем говорить, что точка !отношением (и: о: ю) иавываеии совокуппокть трех вепыствевв чисел и, и, ы при условии, что ппи любом Л т О совокупности и, в, 1в и Ап, Ао, Аы рвссматривюотсп квк тоиовютвенкые. 2тв как точки (х1,в1) и (п2,ю) р апи ив1, то (к! — п2)2+Ь! — $2)гав 32. Схема д~ка~~т~л~с~ва Иепротяворечявостя 383 (хг,рг) лежит между (хт,ут) и (хз,рг), если либо ут < уг < уз,либо ут ) рг > РЗСправедливость аксиом П„1-3 проверяется тривиально.
Несколько кропотливую проверку аксиомы Паша П, 4 мы опустим. Обратимся теперь к определеиию соотношения "коигрузнтен". С этой целью рассмотрим так иазываемое ортвгоиальное преобразование. Преобразование х' = атх+ Ьтр + ст, у" = агх + Ьгу+ сг, (П.7) переводящее произвольную точку (х, у) в определенную точку (х', у'), называется ортаогоиальии.ч, если выполнены соотиошения ат~+Ьт~ =1, а~~+Ьг = 1, атаг+ЬтЬг =О. (П.З) Легко доказать, что всякое ортогональное преобразование (П.7), (п.й) можно представить в одной из следунпцих 4орм: либо в виде и' = стх — 11р + см у = )тх+ гту + сг, (П.9) либо в виде х' = Ох+ тЗу+ сы у' = тЗх — Ор + сг, (П.10) причем в обоих случаях Ог + 11г = 1, Преобразования (П.9) и (П. 10) обычно называют ортногояальиими преобрааоваиилми соответственно первого и втпорего роде.
Пусть даны произвольная прямая (и: в т ш) и на пей некоторая точка (хо, ро), так что ихе * ьуе + ю = О. Легко убедиться в том, что совокупность точек (х, р), где (П.11) принадлежит прямой (и: е: ю) для любого веществениого числа й Далее ясно, что при г > О все указанные точки (х, у) лежат по одну сторону от точки (хе, ре), а при г < О эти точки лежат по другую стороиу От (хе, ре). Иными словами, уравнения (П. 11) при всевтггможных положительных 1 определяют все точки полупрямой, исходящей из точки (хо, уе) и лежащей иа прямой (и: е: ш).
Эту яслупрвмую мы будем Обозначать символом (хе, уо в и). Оказывается, всякое ортогональное преобразование (как первого, так и второго рода) переводит жобую полупрямую снова в полупрямую. Более точно„справедливо следующее утверждение: ортпогональное преобразование (П.9) или (П.10) переводит полупрямую (хе,уе, е, — и) в полупрлмую (хе„ре,е', — и'), где длл случаю превбраговаиил (П.9) хо = тгхо — Руе + сы ре = Рхе + тгре + сть Приложение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
