В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Теорема о базисном миноре Найдем ее ранг. С этой целью прибавим первый столбец ко второму столбцу, затем к третьему столбцу и, наконец, умножив его на ( — 2), прибавим к четвертому столбцу. Получим матрицу того же ранга Третий и четвертый столбцы этой матрицы равны второму столбцу, умноженному соответственно на 2 и на ( — 1). Поэтому третий и четвертый столбцы можно вычеркнуть, пе изменив ранга матрицы. Получим матрицу, ранг которой равен 2. Итак, .ранг матрицы В равен 2, а в качестве ее базисного минора можно взять минор второго порядка, расположенный в левом верхнем углу.
Следовательно, два первых столбца матрицы В линейно независимы. Отсюда в силу результата задачи 2 на с. 41 следует, что матрицы Ае и Аз линейно независимы, и они являются базисом линейной оболочки Ь(Аы Аг, Аз, Аг), размерность которой равна 2. Базис пространства Нз, состоит из четырех элементов (четырех матриц). Матрицы Аы Аг, Аь, Ае составляют базис, если они, а значит, и столбцы из их координат, будут линейно независимы. Поэтому задача сводится к тому, .чтобы добавить к первым днум столбцам матрицы В еще два столбца так, чтобы определитель полученной матрицы был отличен от нули. Рассмотрим, например, матрицу 2 — 1 1 0 Вычислим ее определитель. Прибавив первый столбец ко второму и к четвертому столбцам, получим определитель — 1 0 0 0 1 2 1 3 2 1 1 2 3 4 5 13 Разлагая его по элементам первой строки, находим 2 1 3 ДебС= — 1 1 2 = — 4р':О.
4 5 13 Двум последним столбцам матрицы С соответствуют матрицы А5 1 5 О 10 Гл. Гй Линейные нроетранетеа 50 которые дополняют базис Ад, Аз линейной оболочки ЦАд, Аз, Аз, Ад) до базиса пространства Н~, д 6. Даны базис е!,ез,...,ен линейного пространства Пн и базис 1д,1з,...,1 подпРостРанства М, пРичем гп < п. Найти в базисе е!, ез,...,ен координаты каких-нибудь элементов /'„и+д,...,1н простРапства Лн, котоРые дополнЯют базис 1д,1з,..., 1 подпРостРапства ЛХ до базиса пространства П„!. Пусть разложение элементов !"!,!з,...,!е, по базису е!.....,е„ имеет вид и лд = ~ ордер, !1 = 1, ".,дп. р=! Рассмотрим п х т-матрицу (о ), столбцы которой составлены из координат элементов 1д,...,1 .
Выделил! какой-нибудь ее базисный минор. Он имеет порядок т, так как элементы 1д,...,1 линейно независимы. КооРдииаты орд (Р = 1, ..., и; !1 = пи+ 1, ..., п) искомых элементов 1,нч д, ...,1н нужно выбрать так., чтобы матрица (орд) с размерами и х и оказалась невырождепной. С этой целью достроим п х тматрицу (а д) до матрицы с размерами и х п следующим образом: если в я х пд-матрице (ард) какая-то строка является базисной, то до строки длины я (т. е, до строки с и элементами) дополним ее нулями; если же строка не является базисной, то дополним ее до строки длины и так, чтобы дополненные элементы пебазисных я — т строк образовывали единичную и!атриду с размерами (и — т) х (д! — дп). Нетрудно видеть, что абсолютная величина определителя полученной п х п,-матрицы (о д) равна абсолютной величине базисного минора и х т-матрицы (орд) и том самым определитель полученной п х и- матрицы отличен от нуля.
В последних п — т столбцах матрицы стоЯт кооРдинаты искомых элементов ~тч ы ..., 1н, таких, что совокУпность Г!,..., д"„ обРазУет базис в Лн. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 24. Докажите, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов. 25. Докажите, что операции над столбцами., не изменяющие линейной оболочки столбцов, це изменяют и ранг матрицы. 26. Докажите, что операции а) — д) над столбцами (см. с. 44) не изменяют ранга матрицы. 27. Докажите, что однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы ее коэффициентов меньше числа неизвестных. бб.
Ранг мазарини. Теорема о базисном миноре 28. Докажите, что определитель равен нулю тогда и только тогда когда его столбцы (строки) линейно зависимы. 29. Докажите, что однородная система линейных уравнений с квад ратной матрицей коэффициентов имеет ненулевое (только нуле- вое) решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен (не равен) нулю. ми; а) О, — 1, — 8, 1 б) 2, 3, 7 1 ' 1 ' О ' О 1 0 0 1 зз — ! ) "° ~ ше — 1 0 0 — 1 — 1 0 1 — 1 0 ' О ' 0 ' 0 32. Найдите максимальное число линейно независимых столбцов в системах столбцов из упр. 31, а)-д).
ЗЗ. Докажите, что ранг матрицы (аз . бб) (1,1 = 1, ...,н, бб -- символ Кронекера) равен числу отличных от нуля чисел аь 34. Найдите ранг и базисный минор матрицы; а) -1 0 0; б) 0 1 0 н) 0 0 0 ; г) 2 6 9 5 30. Докажите, что матрица ранга г представима в виде суммы г матриц ранга 1. 31. Выясните, являются ли следующие столбцы линейно зависимы- Гж 75 Линейные нреетранетеа 52 3 5 — 1 — 1 — 3 4 1 — 1 7 7 9 1 /2 — 1 3 д) 4 — 2 5 2 — 1 1 3 3 4 8 6 12 7 9 8 1 3 0 — 2 — 1 -3 — 3 — 1 0 0 0 0-1 О О 0-1 О О 1 Π— О 1 О 0 — 1 0 0 1 о — 1 о о о — 1 о о о 35.
К данным столбцам добавьте еще один столбец так, чтобы все столбцы были зависимыми (независимыми): 1 0 а) О, 1 0 1 0 б) О, — 1, 1 0 0 — 1 0 0 0 7 — 1 3 3 2 — 1 1 0 — 1 0 0 0 в) 36. Используя результаты упр. 12 и следствие 2 из теоремы 10, докажите, что гап8(А В) ( гап8А. 37.
Используя результаты задачи 36 и операцию транспонировапия матриц, докажите, что гап8(А В) < гапКВ. 38. Докажите, что если один из сомножителей произведения А. В есть невырожденная квадратная матрица., то ранг произведения равен рангу другого сомножителя.
39. И пространстве Вз даны базис еы ез, ез и три элемента; хг = ег — ез + ез, хз = е1 + еа + ез, х1 = е, — оез + ез. Явлнютсп ли элементы хы хз, хз линейно зависимыми7 — 2 4 1 1 7; е) — 2 — 5 — 0~1 — 9 — 25 ~' — 5 — 15 7 4 4 2 5 6 1 6 о 4 0 4 8 2 2 3 0 2 1 0 1 3 — 4 1 14 4 3 3 1 0-1 О 1 0 1 — о 0-1 О 0 0 — 1 0 о 10 о 10 о о о о о о — 1 1 45. Ранг матрицы.
Теорема о базисном миноре 40. Найдите базис и размерность линейной оболочки элементов, за данных столбцами своих координат в некотором базисе линейного пространства: 41. Дополните базисы линейных оболочек из упр. 40 до базиса всего пространства. 42. Найдите какой-нибудь базис и размерность линейного прост- ранства: а) столбцов с п элементами (и, > 3), у которых сумма первых трех элементов равна нулю; б) симметричных 3 х 3-матриц; в) симметричных 3 х З-матриц, диагональные элементы которых равны нулю; г) многочленов р(к) степени не выше 4, которые удовлетворяют условию р(2) = О; д) многочленов р(х) степени не выше и, которые удовлетнорнют условию р(1) + р( — 1) = 0; е) матриц (ао) с размерами 2 х 3, элементы которых удовлетво- ряют условиям аы = О, азз = агз' ж) матриц Х, для которых выполняется равенство А Х . В = О, где А= О 1, В= о о 43. Найдите базис и размерность линейной оболочки многочленов рг(х) = Зхз + 2х + 1, рз(х) = 4хг + Зх + 2, рз(х) = Зхг + 2х+ 3, рдх) = хг + х+ 1, рзгх) = 4хг ж Зх+ 4.
44. Укажите линейное пространство Л, длн которого данное в упр. 42 а) — ж) пространство является подпространством, не совпадаю- щим с Л. Дополните базис данного подпространства до базиса линейного пространства В. а) Х, = б)Х,= 1 в) Хг = Хо= (,) "=Н Хг = 0 Хз = 1 , Хг = 4 "=6 Гл, Гй Линейные пространства й 6. Преобразование базиса и координат Основные понятия и формулы Рассмотрим в пространстве П,„два базиса; еы ..,, ен и ~м ..., 1и. п Разложим элементы второго базиса по первому базису: гд —— ~ ордер, р.—. д ц = 1, ..., п.
Запишем эти и равенств в матричном виде: Здесь е и 1 -- строки из базисных элементов, например, е = = (ед аз ...е„), А = (ард) - п х и-матрица. матрица А называется лдатрицей перехода от базиса ен ...,е„к базису Гы...,1„. Отметим, что в о-м столбце матрицы А стоят координаты аппазд, ..., а„элемента 1д в базисе еы ...,е„. Так как элементы Гы ..., 1'„линейно независимы, то столбцы матрицы А также линейно независимы, и, следовательно, тапиА = и и с1евА ф О. Поэтому сушествует обратная матрица А г, которая называетсн матРицей обРатного пеРехода от базиса 1ы ...,1„к базису еы ...,ен.
Справедливо равенство с=1 А'. Заметим, что это равенство можно получить из (1), умножив обе части (1) на А ' справа. Разложим произвольный элемент х по базису еы ...,е„и по базису й'ы ..., ~„: и е х = ~ Ьрер, х = ~ ~ср1р. р=д р=д Составим столбцы из координат элемента х в этих базисах: Имеют место следуюшие формулы преобразования координат элемента х при преобразовании базиса: (2) рб. Преобразование базиса и координат 55 Каждое из этих матричных равенств экнивалонтно соответственно и числовым равенствам 6р = ~~~ ароса, ч=г и р = 1, ..., гц р=1,...,п: где А - алгебраическое дополнение элемента ач„ матрицы А; — элементы обратной матрицы .4 Агр — г е1ес А Контрольные вопросы и задания Примеры решения задач 1.
Пусть П 1 координатные векторы прямоугольной системы координат на плоскости. Найти разложение вектора х = 1 +3 по базису е„ ег, если ег — — 71 + 41, ег = 51 + 31. Л По определению матрица перехода от базиса 1, 1 к базису еы ег есть матрица 4 3 Вычислим обратную матрицу: ( — 4 Т) Столбец Х координат вектора х в базисе 1,3 имеет вид г. = (1).
По формуле (3) находим столбец Х, координат вектора х в бази- сс емег: — 4 7 1 3 1. Квк составить матрицу перехода от одного базиса к другому'? 2. Может ли матрииа перехода от одного базиса к другому быть вырожденной' ? Ответ обоснуйте. 3. Составьте матрицу перехода от базиса ем ег,сз а базису тг,тг,тг, если З'г = ег 4 ег + ез, уг = — ег ж ег Ч- ез, ?г = Зег — ег -~- 4ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
