В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035)
Текст из файла
УДК 512.64 ББК 22.143 Б90 Бутузов В.Ф., Крутицкая Н. Ч., ?Пип!к ин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие/ Под ред. В.Ф. Кутузова.. 2-е изд., испр. -- Ми ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с. — ?ВВг? 5-9221-0285-0. Пособие охватывает все разделы курса линейной алгебры. По каждой теме кратко излагаютсн основные теоретические сведении и предлагаются контрольные вопросы; принодится решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения лля самостоятельной работы с ответами и указаниями.
Первое издание 2001 г. Для студентов высших учебных заведений. Рецензент: нафедра высшей математики Московского энергетического института. © ФИЗМАШ! ИТ, 2001, 2002 © В.Ф. Бутузов, И.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин, 2001, 2002 ?ЯВК? 5-9221-0285-0 ПРЕДИСЛОВИЕ Данное учебное пособие является результатом существенной переработки одноименного пособия, вышедшего в 1985 г.
(Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. "Линейная алгебра в вопросах и задачах." Мл Высшая школа). Оно отражает многолетний опыт авторов по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на физическом факультете Московского государственного университета.
Линейной алгебре посвящена обширная литература, имеются прекрасно написанные учебники и задачники. Вместе с тем ощущается недостаток пособий, помогающих студентам выработать навыки решения задач по различным разделам линейной алгебры. Авторы данной книги ставили перед собой цель в какой-то мере ликвидировать этот пробел. Назначение пособия мы видим в том, чтобы активизировать самостоятельную работу студентов при изучении линейной алгебры, помочь активному и неформальному усвоению этого предмета. Пособие охватывает основные разделы линейной алгебры.
По отношению к предыдущему изданию в нем наряду с существенной переработкой всех глав исключена глава "Численные методы решения систем линейных уравнений", но добавлены две новые главы: "Тензоры" и 'Труппы", что особенно важно для подготовки специалистов в области физики. Структура пособия подчинена решению поставленных выше учебно-методических задач. Материал каждого параграфа разбит, как правило, на четыре пункта.
В пункте "Основные понятия и теоремы" приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. Эти сведения иногда сопровождаются поясняющими примерами или комментариями, направленными на то, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. В пункте "Контрольные вопросы и задания" содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение.
Назначение пункта .-- помочь студенту в самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать ему воз- Предисловие можность самому проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспектам лекций. Однако для решения задач часто достаточно понять смысл теоремы (или формулы). Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этого смысла. Из данного пункта преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к семинару по той или иной теме.
В пункте "Примеры решения задач" представлены решения типичных задач по изучаемой теме. При этом уделяется внимание не только "техническим приемам", но в ряде случаев и поиску наиболее простого пути решения задачи, в частности с помощью геометрической интерпретации алгебраических понятий. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности темы. В конце книги даны ответы и указания к задачам и упражнениям.
Начало и конец решений задач отмечены соответственно знаками сл и д. Вместо слова "Указание" используется знак *. Назначение пункта "Задачи и упражнения для самостоятельной работы' отражено в его названии. Мы ограничились определенным минимумолл упражнений, достаточным, на наш взгляд, для усвоения основных приемов решения задач по каждой теме. При подборе задач и упражнений использовались различные источники, в том числе известные задачники по линейной алгебре; Проскуряков И.В. "Сборник задач по линейной алгебре" (М.; Наука, 1978), Икрамов Х.Д. "Задачник по линейной алгебре" (М.: Наука, 1975), Беклемишева Л.А,, Петрович А.Ю., Чубаров И.А.
"Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре" (М.: Наука, 1987). Мы надеемся, что пособие будет полезным как для студентов, так и для преподавателей, ведущих занятия по курсу линейной алгебры. Авторы ГЛАВА 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ й 1. Матрицы Основные понятия 1.
Понятие матрицы. Прямоугольная таблица чисел (вещественных или комплексных) а11 Ол 2 .. а1о — 1121 а22 " а2 11т1 атз " Ото называетсЯ числовой матРиЦей (или пРосто л1атРиавй). Числа ао называются элементами л1атрицы; первый индекс 1 обозначает номер строки, а второй индекс 2 номер столбца, на пересечении которых стоит элемент а, Например, элемент а12 стоит на пересечении первой строки и второго столбца.
Матрица А имеет 1п строк и о столбцов. Поэтому ее называют т х и-матрицей или матрицей с размерами т х и. Длн т х п-матрицы А можно использовать краткое обозначение (а1, ) „, „„, а если размеры матрицы заранее оговорены, то, не указывая их., бУДем писать (1пз).
Если т, = п (число строк матрицы равно числу столбцов), то матрица называетсн квадратной матрицей о-го порядка. Две т х и-матрицы А = (а, ) и В = (б, ) называются равными (А = В), если их элементы соответственно равны: об = Ь;,„1 = 1, ..., т; 2 = 1,...,п. 2. Линейные операции нед матрицами. Суммой (разностью) т х и-матриц А = (аь ) и В = (б,з) назыааетси т х о-матрица С = = (с, ), элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матРиц А и В: со — — ао + бб (сьз = ао — Ьб). Обозначение: С = А+ В (С = А — В). Подчеркнем, что сложение и вычитание вводятся дли матриц только с одинаковыми разл1ерами.
Произведением т х п-льатрицм А = (а12) на число и называется пь х о-лзатРиЦа В = (б,з), элементы котоРой Равны пРоизвеДенинм соответствующих элементов матрицы А на число аз Ьо — — ха, . Обозначение; В = хА. Гл. Ь Матрицы и определители Введенные действия (сложение и нычитание матриц, умножение матрицы на числа) называются линеиныли операии лш над матрицами. Они обладают следуюшими свойствами.
Для любых т х о-матриц А, В, С и любых чисел т и у справедливы равенства 1о 5о 1'. А + В = В + А (коммутативность сложения). 2'. (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность сложения). 3'. х(А + В) = хА + лВ (распределительное свойство относительно числоного сомножителя). 4'. (о + у) А = оА + уА (распределительное свойство относительно матричного сомножителя). 5'. ш(уА) = (ху)А. 3. Транспонированная матрица. Расположим строки т х оматрицы А = (а, ) в виде столбцов, не меняя их порядка (т. е, первая строка станет первым столбцом и т. д.).
Получится и х т-матрица с ОЗ2 аьц ... ОжЗ О12 а22 " ° Шп2 которая называется тронспонировонной по отношению к матрице А и обозначается АТ. Обозначим элементы матрицы Ат через аг (1 = 1, ..., и; з' = 1, ..., т). Согласно определению транспонированной матрицы справедливы равенства (1) Операция транспонирования (т. е.
переход от матрицы А к матрице АТ) обладает следуюшнми свойствами. Для любых т х и;матриц .4 и В и любого числа х справедливы равенства 1', 2'. 1о (А + В)Т АТ + ВТ 2'. (лА)Т = шАТ. 4. Умножение матриц. Произведением матрицы 21 = (а, ) на матрицу В = (Ь,,з)о хе называется матрица С = (со)„,ь, элементы которой определяются формулой с,з — — ооЬ12 + аоЬлз + ...
+ аыЬ,о — — ~~~ анЬзз, С=1 1=1,...,т; з =1,...,Й. Обозначение: С = АВ. Подчеркнем, что произведение АВ определено только для таких матриц, у которых число столбцов матрицы А (первого сомножителя) равно числу строк матрицы В (второго сомножителя). При этом 4д Матрицы число строк матрицы С =.4В равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В. Умножение матриц обладает следующими свойствами.
Для любых матриц А, В, С и любого числа з справедливы равенства 1'- 4' (предполагается, что размеры матриц А, В, С таковы, что левые части равенств определены, тогда будут определены и правые части равенств). 1'. А(ВС) = (.4В)С (ассоциативность умножения). 2'. А(В+ С) = АВ+ АС (распределительное свойство). 3'. (оз4)В = А(хВ) = х(АВ). 4и (4В)Т ВТАТ Отметим, что умножение матриц не обладает свойством коммутативности.
Более того, если А т х п-матрица, а В и х 1-матрица, то произведение АВ определено, а произведение ВА при й ф т нс определено. Если же й = т, то произведение ВА также определено, но при т ф п АВ и ВА — квадратные матрицы разных порядков (соответственно порядка т и и.), так что вопрос об их равенстве некорректен. Если же т = и = 1э то обе матрицы АВ и ВА квадратные матрицы и-го порядка, но и в этом случае, вообше говоря, АВ ф ВА. 5.
Обратная матрица. Введем так называемый символ Бро- венера: 1 при 1=?, О при гр?, где ч и? произвольные натуральные числа. Матрица 1 О ... О О 1 ... О Е = ~дб)ихи = О О ... 1 называется единичной матрицей и-го порядка. Для нее используются также следуюшие обозначения; Вт 1, Т„. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А с такими же размерами, если АВ=ВА=Е. Обратная матрица обозначается символом А Контрольные вопросы и задания 1. Что такое числовая матрица? Могут ли все элементы матрицы равняться нулю? 2.
Какие матрицы называются равными? Равны ли матрицы О Гл. Д Матрицы и определители 3. Как сложить две матрицы? Можно ли слолеить две матрицы с размера- ми2хЗ и Зх2? 4. Как нычесть из одной матрицы другую? Можно ли из матрицы А вычесть зту же матрицу А? Что получится? 5. Докажите, что: а) А Ч-В = В -ь А; б) А — В = А л-( — 1)В. 6. Какая матрица называетсн транспонированной по отношению к матрице А? Для любой ли матрицы А сущестнует транспонированная? 7.
Может ли выполняться равенство Ат = А? Ответ обоснуйте. 8. Длн каких матриц А и В определено произведение АВ? Как вычислнютсн элементы матрицы .4В? 9. Известно, что (1 2 3) А = (О Ц. Каковы размеры матрицы А'? 10. Можно ли умножить строку с и элементами (1 х и-матрицу) на столбец с п элементами? Что получится? 11. Всегда ли выполвнется раненство: а) А(ВС) = (АВ)С; б) АВ = ВА; в) (А 4- В)С = АС+ ВС? 12. Что такое единичная матрица? Является ли единичной матрица: а)',',; б) ', О, ) О 13.
Дайте определение обратной матрицы Примеры решения задач О 2) /О 3! и В=~3 Найти: а) А+ В; б) 2В; в) Вг; г) АВт; д) ВтА. Ь а) По определению суммы матриц -2+3 1+1 3+2 1 2 5 б) По определению произведении матрицы на число 2 3 2.1 2 2 6 2 4 в) По определению транспонированной матрицы Вт= 1 1 г) По определению произведения матриц А — 213 11 1 О+6.1+2 (-1) 1 3+О 142 2 ) (-2 ( — 2) .0+ 1. 1+3. ( — 1) ( — 2) 3+1.1+3 2) (х — 2 1) 2|.
МатРиЦы д) Аналогично пункту г) находим В А= 1 1 2 1 3 — — 1 1 5 .а 2. Дана система |и линейных уравнений с п неизнестными о11и! + а12 |2 + "° + о1п'тп = Ь1, О21»1 + а22Х2 +" + О»пХп = Ь2~ От1»1 + а1пи С| +" + Пппзп = Ьт Здесь; а,, Ь, (|', = 1, ..., .п|; 1' = 1, ..., п) известные числа: х| (| = 1, ...,п) — — неизвестные. Записать зту систему в матричном виде. 2"| Введем |и х и-матрицу А с элементами а,.
и столбцы В с элементами Ь|,...,д и Х с элементами л|,...ыап. Тогда данную систему можно записать в виде АХ = В. л 3. Доказать равенство (АВ)т = В Ат. ПуСтЬ А = (а,.) 2п, В = ((1,.)пх|.. СОГЛаСНО ОПрЕдЕЛЕНИЮ ПрОИЗВЕ- дения матриц элеыенты с;. матрицы С = АВ вычисляются по фор- муле со — — ~ ~ааЬ1„., | =1,...,|п; | =1,...,п. (2) |=1 Элементы матриц Ат, Вт, Ст и Р = В»А» обозначим соответственно через а|,, Ь»., ст и а|о. Тогда в соответствии с равенством (1) имеем т т Ь, = Ь»|, с; = си н т об = о||1 (3) а элементы 11!1 матрицы Р = В| А| вычислнютсн по формуле ||,.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
