В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 7
Текст из файла (страница 7)
3. Размерность линейного пространства. Определение. Натуральное число и называется размерностью линейного пространства Л, если: 1) в пространстве Л существуют и, линейно независимых элементов, 2) любые [и+ 1) элементоя пространства Л линейно зависимы. Обозначение размерности: л1пп Л = и. Размерность пространства, состоящего из одного нуленого элемента, считается равной нулю. Если йшЛ = и, то пространство Л называется и-мерным и обозначается Л„.
Если в пространстве Л существует любое (сллоль угодно большое) число линейно независимых элементов, то пространство Л называется бескакечиамерким [пишут йшЛ = сю). Примером бесконечномерного пространства является пространство С[а,Ь) непрерывных на сегменте [а, Ь) функций: при любом и функции ро(х) = = 1,. рл[х) = х,....,. р,(х) = х" линейно независимы (упр. 18, д) 5 3). В курсе линейной алгебры изучаютсн в основном конечномерные линейные пространства. Теорелла 7. Если с1шлЛ = и > 1, то в пространстве Л существует базис из и элементов.
В качестве базиса можно взять любые и линейно независимых элементов. Теорема 8. Если в пространстве Л сущвствувпл базис из и элементов, то л1пп Л = и. Из теоремы 8 следует, что йш 1~э = 3, л1нп 1гг — — 2, йш 1'л — — 1, йшХз~ = 6, йгпРг = 3. Размерность пространства симметричных 2 х 2-матриц равна 3. Теорема 9. Размерность любого надпространства не превосходит размерности всего пространства. Базис надпространства линейного прострпкства Л„можно дополнить элемекгпами из Л„до базиса всего пространства. Гл.
75 Линейные нространстеа 40 Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение базиса линейного пространства. 2. Что такое координаты элемента линейного пространства в данном базисе? 3. Образуют ли функции ре(х) = 1, р!Гх) = х, рз(х) = х базис: а) в пространстве Рз! б) в пространстве С)а, Ь]? Ответы обоснуйте. 4. Укажите базис в пространстне матриц Н! такой, что элементами базисных матриц являются только числа 0 и 1. Каково число базисвых /1 2 31 матриц? Найдите в этом базисе координаты матрицы 4 5 б 7 8 9 5. Может ли базис содержать нулевой элемент? Ответ обоснуйте. б. Известно, что некоторый элемент можно представить в виде двух различных линейных комбинаций одних и тех же элементов е!, ез, ..., е .
Являются еи элементы е!, еж ..., е„линейно независимыми? 7. Элементы х! и х! имеют в вевотором базисе координаты — 3,5, 7 и 10, О, 1. Чему равны координаты элементов х! — хз, 7х! + хз, 2х! + Зхз в том же базисе? 8. Дайте определение размерности линейного пространства. 9. Какое линейное пространство называется и-мерным и какое бесконечномерным? 10. Как связаны между собой размерность пространства и число элементов базиса". 11.
Известно, что элементы е!,ез,...,е„ образуют базис линейного пространства. Является ли базисом совокупность элементов с!с!,свез,... ...,с„е, где ср .. числа, не равные нулю? Ответ обоснуйте. 12. Сколько базисов имеется в я-мерном линейном пространстве? 13.
Может ли размерность линейного пространства быть меньше (равна, больше) размерности его надпространства'? Примеры решения задач 1. Доказать, что все координаты нулевого элемента в любом базисе равны нулю, и, обратно, если все координаты элемента в каколе-то базисе равны нулю, то этот элемент нулевой. Пусть в базисе е!, ..., е„разложение нулевого элемента 0 имеет вид с д = ~ срер. р=! Тогда все ср — — О, так как элементы базиса е!, ..., е„линейно независимы, и поэтому их линейная комбинация равна нулевогиу элементу только тогда, когда все коэффициенты ср равны нулю. Обратно: если все координаты элемента х равны нулю: х = О е! + ...
+ О е„, то х является нулевым элементом, так как согласно свойству 3' линейных пРостРанств (см. '3 Ц имеем О ер = О, и поэтомУ х = д. д р4. Базис и координаты. Размерность линедного пространства я 2. Доказать: для того чтобы элементы лы ..., ст были линейно зависимы (независимы). необходимо и достаточно, чтобы столбцы их координат в каком-нибудь базисе были линейно зависимы (независимы). г."й Возьмем какой-нибудь базис линейного пространства и запишем координаты элемента тй в этом базисе в виде столбца Хй (к; = 1, ..., т).
Пусть элементы шы, хт линейно зависимы, т. е. существует их 1П линейная комбинация ~сйщй, равная нулевому элементу Б, причеьч и=1 не все коэффициенты сй равны нулю. В силу теоремы 6 линейная т комбинация ~ сйХй столбцов Хы ..., Х,„дает столбец координат элей=3 мента О. Но все координаты нулевого элемента 0 равны нулю (задет ча Ц. Таким образолц линейная комбинация ~~ сйХй равна нулевому столбцу, т.
е. столбцы Хы ..., Х линейно зависимы. Обратно: пусть столбцы Хы ..., Х, линейно зависимы, т. е. сущест'П~ вует их линейная комбинация ~ ~ей.Хй, равная нулевому столбцу, й=й причегя не все коэффициенты сй равны нулю. Рассмотрим линейную комбинацию ~ ~сйилй элементов шы ...,ш,„. В силу теоремы 6 столбец й=л координат этой линейной комбинации равен ~ сйХй, т. е. все коордий=й наты линейной комбинации равны нулю. Следовательно, ~~~ сйхй = О Л:=-1 (задача 1), а это и означает, что элементы лы ...,.г,„линейно зависимы.
Итак, мы доказали, что необходимым и достаточным условием линейной зависимости элементов является линейная зависимость столбцов их координат. Отсюда следует аналогичное утверждение о линейной независимости элементов. А 3. Доказать,. что размерность линейного пространства не меньше размерности любого его подпространства.
Предположим, что размерность т подпространства М линейного пространства Л„больше и. По определению размерности в М существуют т линейно независимых элементов. Поскольку они являются элементами пространства Ла, то тем самым в Л„существуют т линейно независимых элементов. Но в пространстве Л„любые и+1 Гл. Гй Линейные пространства элементов линейно зависимы, и, следоватечьпо, линейно зависимы любые ьч элементов, если |и > н.
Получили противоречие. Следовательно., |Пш ЛХ < п. А 4. Найти базис и размерность линейного пространства Х много- членов р(х), степень которых не выше двух и которые удоялетворяют условию р(1) = О. Любой многочлен Р(|г) = с| + сзх + сзхз из Х УдонлетвоРЯет Условию р(1) = с| + сз + сз = О. Отсюда сз = — с, — сз, и поэтому р(х) = = с| + сзх+ ( — с| — сз)хз = с|(1 — хз) + сз(х — хз), т. е. любой многочлен из Х представим в виде линейной комбинации многочленов Р|(х) = 1 — х- и Рз(х) = х — хз. Покажем, что многочлены р|(х) и рз(х) линейно независимы. Составим столбцы их координат в базисе 1,х,тз пространства Р|н Эти столбцы линейно независимы, так как их элементы не пропорциональны, и, следовательно, многочлены р|(х) и рз(х) линейно независимы (задача 2).
Итак, многочлены р|(х) и рз(х) образуют базис в пространстве Х, и, следовательно, по теореме 8 |И|и Х = 2. д Задачи н упражнения для самостоятельной работы 21. Используя результаты упр. 18 из З 3, яайдитс базис и размерность; а) пространства Нт матриц с разыерами |и х и: б) пространства симметричных а х п-матриц; в) пространства Т столбцов с п, элементами; г) пространства столбцов с и элементами, сумма которых (элементов) равна нулю; д) пространства Р„ многочленов степени, не превосходящей и; е) пространства многочленов р(х) из Р„, удовлетворяющих условию р(0) = О.
22. Докажите, что два вектора коллицеарны тогда и только тогда, когда столбцы из их координат в каком-либо базисе линейно зависимы. 23. Докажите, что три вектора некомпланарны тогда и только тогда, когда столбцы из их координат в каком-либо базисе линейно независимы. з5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре 2 5. Ранг матрицы.
Теорема о базисном миноре Основные понятия и теоремы 1. Определение ранга матрицы. Пусть А = (а1з) чп х пматрица и пусть натуральное число г удовлетворяет условию 1 < г < ш1п(гп, и). Рассмотрим какие-либо г строк и г столбцов матрицы А. Элементы, находящиеся на их пересечении, образуют квадратную г х гзиатрицуч Ее определитель называется минором порядка г матрицы А.
Определение. Число г называется рангом матрицы А, если у матрицы А имеется минор порядка г, отличный от нуля, а все ео миноры более высокого порядка (если таковые имеются) равны нулю. Обозначение: ганя А = г. При этом минор порядка г, не равный нулю, называется базисным минором матрицы А. Столбцы и строки матрицы А, содержащие элементы базисного минора, называются базисными столбцами и базисными строками. Отметим, что у матрицы может быть несколько базисных мино- /1 — 1 — 21 ров. Например, ранг матрицы ) О 1 ), равен 2, базисными 1 — 1 1 — 2 являются миноры О 1 — — 1 и О 2 — — 2. В первом случае базисиыми будут первый и второй столбцы матрицы, во втором первый и третий.
Ранг матрицы не изменяется при ее транспонировании. Если златрица А нулевая, т. е. все ее элементы равны нулю, то и все миноры матрицы равны нулю. Ранг такой матрицы считается равным нулю. 2. Теорема о базисном миноре. Теорема 10 (о базисном миноре). Базисные столбцы (строки) матрицы линейно независимы. Любой столбец (строка) матрицы является линейной комбинацией ве базисных столбцов (строк).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
