В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Линейные пространства зависимы, что противоречит условию. Следовательно, элементы любой подсистемы линейно независимы, а 2. Доказать, что однородная система линейных уравнений АХ = О имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда столбцы матрицы А линейно зависимы.
Обозначим элементы столбца Х (неизвестные) через хы хз, ...., х„, а столбцы матрицы А через Аы ...,А„. Тогда систему уравнений АХ = О можно записать в виде хэйс + хз 1а + " + хпйп — О. (1) Отсюда следует, .что если система (1) имеет ненулевое решение хы ... ..., х„(хотя бы одно хь не равно нулю), то это означает, что линейная комбинация столбцов Аы ..., Ап с коэффициентами хы ..., хп является нулевым столбцом, т. е, столбцы Аы ..., Ап линейно зависимы.
И обратно: если столбцы Аы ...,Ап линейно зависимы, т. е. существуют числа хы ..., хп, не все разные нулю и такие, что выполняется равенство (1), то хы ...,хп ненулевое решение системы. а 3. Доказать, что матрицы (элементы пространства Нз) 4= 1 О 0 ' 5= О 1 0 ' б= О О 1 являются линейно независимыми, а любой элемент пространства Нзз есть линейная комбинации этих шести элементов. Составим линейную комбинацию данных элементов: /О 0 Оээ Она равна нулевому элементу О = „„только в том случае, когДа все с„= О, а это и означает, что элементы сы ...,еб линейно независимы. Эс сэ сз сз э~ Очевидно, любую матрицу С = ~ ~ з (произвольный эле- ~ сл сб св / б мент пространства Нз) можно представить в виде ~ ~с е, т.
е, любая р.=1 матРиЦа С ЯвлЯетсЯ линейной комбинацией матРиЦ еы ..., еб. а 4. Доказать, что в пространстве Рз многочленов степени не выше второй три мцогочлена, 1, х, хз, линейно независимы, а любой элемент пространства Рз есть линейная комбинация этих элементов. 4ок Линейная зависимость и независимость элементов Нулевым элементом в пространстве Рз является многочлсн, тождественно равный нулю. Состаним линейную комбинацию трех данных многочленов и приравняем ее нулевому элементу: а.1+Ь т+с.ха =О. Это равенстно справедливо для всех х только в том случае, когда а = Ь = с = О. В самом деле, если хотя бы один из коэффициентов а., Ь и с не равен нулю, то в левой части равенства стоит многочлен степени не выше второй, а он имеет не более двух корней, и потому не равен нулю для всех х. Следовательно, многочлены 1,х,хз линейно независимы.
Очевидно, любой многочлон а+ Ьх+ схз из Рз есть линейная комбинация многочленов 1, х и хз с коэффициентами а, Ьис. А (1 ОУ !О 11 5. ДОКаЗатЬ, Чта трн МатрИцЫ Ез = ~О О(, Еа = /О 01 ез = ~О 1~ линейно независимы и любой элемент линейного пространства симметричных 2 х 2-матриц есть их линейная комбинация. Составизи линейную комбинацию данных матриц: зсО О'! Она равна нулевой матрице О = ~О О) только в том случае, когДа сл = сз = сз = О,. а это и означает, что матРиЦы ем аз,ез линей- /С, С2 З но независимы. Любая симметричная матрица ' является, ~ Сз СЗ( очевидно, линейной комбинацией матриц еы ез, ез с коэффициентами С! С2 СЗ.
А 6. Доказать, что функции сов х, сов 2х, сов Зх ( — со ( х ( +со) линейно независимы. Допустим, что данные функции линейно занисимы, !'огда существует их линейная комбинация., равная нулевому элементу, т. е. тождественно равная нулю: а сов х + Ь сов 2х + с сов Зх = О, причем хотя бы один из коэффициентов а, Ь и с пс равен нулю. Продифференцировав это тождество два раза, а затем четыре раза, приходим к тождествам ассах+ 4Ьсов2х+ 9ссовх = О, асовх+ 16Ьсов2х+ 81ссовх = О. Гт П.
Линейные пространства Пологкив во всех трех тождествах х = О, получим однородную систе- му линейных уравнений относительно коэффициентов а, Ь и с а+ Ь+ г,=О а+ 4Ь+ Ос=О а + 16Ь + 81с = О. Эта система имеет только нулевое решение а = Ь = с = О. Получили противоречие с тем, что хотя бы один из коэффициентов а, Ь и с отличен от нуля. Следовательно, данные функции линейно независимы.
д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 13. Докажите теорему 3. 14. Докажите, что если элементы хм ха, ...,,с„линейно независимы, а элементы хы хз, ..., х„, х„ет линейно зависимы, то х„.н1 есть линейная комбинация элементов хы хз, ..., хн. 15. Докажите, элементов хз " хп) зависимы.
что если максимальное число линейно независимых в системе, порождающей линейную оболочку А(хы равно г (г ( и) и элемепттп хм хе, ..., х, линейно исто Цхы хз, ..., х,) = Цхт, хз, ..., хс, хсч ы ..,, хн). что любые четыре геометрических вектора линейно 16. Докажите зависимы. а) ее=, сз= еп=, снз т —— О О ... О О О ...
О е„н = в пространстве Н„ ', О О ... 1 17. Докажите, что следующие функции линейно независимы: а) з1пх, зш2х, зтпЗх; б) 1, е'"', ез*', сзе. 18. Докажите, что данные элементы линейно независимы и любой элемент соответствующего линейного пространства есть их линейная комбинация; ЗХ Линейная зависимость и независимость элементов ОО...О О1О...О ООО...О ООО...О ОО...О ООО...О б) аз= ез— ООО...О ООО...О О О О ООО...О О О О ... О О 1 О ... О еа= О О О ... О, с+с= О О О ... О 1 О О ... О О О О ...
О О О О ... О О О О ... О О О 1 ... О О О О ... 1 еалз —— О 1 О ... О, ..., езо з — — О О О ... О О О О ... О О 1 О ... О О О О ... О О О О ... О е.зь„= О О О ... О в пространстве симметричных 2 О О О ... 1 и х н,-матриц; 1 О О 1 в) ез —— , еа —— О О в пространстве еа = О О 1 Тн столбцов с и элементами; г) ез = (1 О ... Π— 1). ез = (О 1 ... Π— 1), ..., е„ с = (О О ... 1 — 1) в пространстве строк с п элементами такими, что сумма элементов равна нулю; д) Ро = 1, Р1 = х, ..., Рн = .та в пРостРанстве Рн многочленов степени не выше и; е) рз(х) = х, рз(х) = х-, ..., р„(х) = х" в пространстве многочленов р(х), степень которых не превосходит п и которые удовлетворяютт условию р(О) = О; ж) зз(х) = а1пх, )з(х) = сове в пространстве лДзшх,сов х) (линейная оболочка функций з1пх и соя х).
19. Пусть Л* линейное пространство положительных чисел, в котором сумма элементов х и 9 определена как произведение х . у, а произведение элемента х на вещественное число о как степень х (пример 2 па с. 2б). Докажите, что в пространстве Л* любые два элемента х и р линейно зависимы. Гл. П. Линейные яространетва 20. Докажите, что если столбцы квадратной матрицы А линейно зависимы (независимы), то столбцы транспонированной матрицы Ат также линейно зависимы (независимы). 3 4. Базис и координаты.
Размерность линейного пространства Основные понятия и теоремы 1. Базис и координаты. О п р е д ел е н и е. Совокупность элементов еы ез, ..., е„называется базисом линейного пространства П, если: 1) элементы еы ег, ..., е„линейно независимы; 2) каждый элемент пространства П можно представить в виде линейной комбинации элементов ем ез, ..., е„, т. е. чх Е П существуют числа хы ...,х„ такие, что справедливо равенство П хесе. р=п Равенство (1) называется разложением элемента х, по базису ем еэ, ..., е„, а числа хм ха, ..., х„называются координат ми элемента х в этом базисе.
Теорегиа 5. Разлозкение элемента х по данному базису единственно, т. в. существует единственный набор чисел хы ..., х„такой, что элемент:г можно представить в виде (1). Теорегиа 6. При сложении элементов линейного пространства их координаты в данком базисе складываются. При умножении элемента на число его координаты умножаются ка эта число. Таким образом, если введен базис, то действия над элементами линейного пространства (сложение элементов и умножение элементов на числа) сводятся к таким же действиям над числами - — координатами элементов. 2. Примеры базисов. 1) Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов является базисом в пространстве Рз, .любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов из 1' является базисом в пространстве 1сг; любой ненулевой вектор из 1'~ является базисом в пространстве 1).
2) Матрицы еы ег, ..., еа с размерами 2 х 3 (см, пример 3 на с. 34) образуют базис в пространстве Ы~. В самом деле, эти матрицы линейно независимы, и любую 2 х 3-матрицу можно представить в виде их линейной комбинации. з4. Базис и координата. Размерность линейногв пространства Зо 3) Многочлеллы ро(х) = 1, рл(х) = х, рз(х) = хг образуют базис в пространстве Рг.
Действительно, .эти маогочлены линейно независимы, и любой многочлен р[х) = а+ Ьх + схз из Рз можно представить в виде линейной комбинации многочлепов ро, ры рз (см, пример 4 на с. 34). Отметим, что координатами элемента р(х) в базисе ро, рл, рг являются числа а, Ь, с. 4) Симметричные матрицы ел,ез,ез [см. пример 5 на с. 35) образуют базис в пространстве симметричных 2 х 2-матриц, так как матрицы ел, ег, ез линейно независимы, и любой элемент данного пространства влажно представить в виде их линейной коьлбинации. 5) Функции зл [х) = зшх и зг[х) = сов х образуют базис линейной оболочки Ца1п х, соа х), поскольку они линейно независимы [докажите это) и любой элемент линейной оболочки есть линейная комбинация этих функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
