В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 2
Текст из файла (страница 2)
=~ Ь,!а|2, 1=1,...,кц» =1,...,.т. 1=1 Отсюда, учитывая равенства (3) и (2), получаем ||!1= 2 Ьни;1="„| а,!Ь1,=с„=с|,, 1=1,...,Ь; !'=1,,пт т |=1 1=1 Таким образом, элементы матриц Р и Ст соответственно равны, поэтому С = Р, т. е. (АВ) = В Ат, что и требовалось доказать. В Гл. Е Матрицы и определители /1 4. Для матрицы А = ( 2 3( найти обратную.
Ь Положим По определению обратной матрицы А 'А = Е, т, е. с 24 2 3 О 1 Перемножая матрицы н левой части равенства и приравнивая элементы полученной матрицы соответствующим элементам матрицы в праной части равенства, приходим к системе уравнений о+26=1, о+ЗЬ=О, с+221=0, с+34=11 откуда находим и = 3, Ь = — 1, с = — 2, А = 1. Итак, матрица ( — 2 1) удовлетворяет условию А тА = Е. Нетрудно проверить, что равенство АА ~ = Е также выполняется.
Таким образом, найденная матрица А ' обратная по отношению к матрице А. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы / — 1 222 / О 1. Даны матрицы А = 1 О 1) и В = ~1/2 — 1/2 — 3 Π— 1 4 Найдите: а) ЗА+ 2В; б) А — 4В: в) числа х и р такие, что все элементы матрицы хА Ч- дВ равны нулю. 2. Докажите свойства 1' — 5' линейных операций над матрицами. /3 1 -2') ГО 2 4') Да ° м-р.цы-4=~ 3 О( и В=~ — ( Найдите: а) Ат; б) 2Ат + Вт; в) ЗАт — 2Вт. 4. Докажите справедливость равенств: а) (хА)т = х 4г (х число); б) ( 4 + В)т Ат ь Вт. в) (Ат)т — А 4й матрицы ы 5. Найдите АВ, ВА, Ат Вт и Вт Ат, если а),4= 10 '= 10: б)А= 2 1 ' В= 1 О в) А = (боа;,)„,„, В = (ЬОЬо)„,а, Ьо символ Кронекера; г)А=, В= 1 О:, — о д) А= о 6. Докажите свойства 1'-3' умнов.ения матриц.
7. Докажите, что для любой т х и-матрицы А справедливо ра- венство; а) АЕ„ = А, где Е„ единичная матрица и-го порядка; б) Е А = т1, где Ет единичная матрица т-го порядка. 8. Найдите матрицу Х из уравнения а) 2 3 Х= б) 2 1 Х= в) Х г) Х 2 1 0 = 4 3 2 1 О Х О 6 О 1 9. Найдите обратную матрицу для матрицы: 8 О lа Ь\ в) при условии ад — Ьс ~ 0; ~с д( Гл. 1 Матрицы и определители г) 0 1 2; д) 1 — 1 О е) (а гб, )„„и, где б,.
символ Кронекера, ац ~ 0 при т = 1, ...,и. /сова — гйпо г 10. Дана матрица А(о) = ~ ." ). Докажите, что: ~ гйпо саво)' а) А(о)АЯ = А(о+ Д); б) А '(о) = А( — о); в) А т(о) = 4тЯ /1 11 пт 11. Дана матрица А = ~О 1). Докажите, что А" = ~О 1) при п=х1,т2,...,гдеА "=(А т)". 3 2. Определители Основные понятия и теоремы 1. Определитель и-го порядка. Квадратная матрица п-го порядка аи атг ... ат агт агг ... агп ап~ ц„г ... а„п содержит пг элементов.
Выберем какие-нибудь п элементов так, чтобы среди них было ровно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца, и составим их произведение, расположив сомножители в порядке возрастания номера столбца: ца,гаа,г ..а„„„ Здесь оы о, ..., оп -- - не равные друг другу натуральные числа (номера строк), каждое из которых принимает какое-то значение от 1 до п, т. е. от,ог,..а о„ перестановка чисел 1, 2,..ап. Говорят, что числа о; и о образуют беспорядок в перестановке от,ог,...,о„, если о, > о и о; расположено левее о , т. е. г < < тй Число всех беспорядков в перестанонке оы ог,.,ао„ обозначим 2У(оыог,...,о„).
Например, гУ(3,1,4,2) = 3, Х(1,2,3,4,5) = О. Составим всевозможные произведения вида (1). Число таких произведений равно числу всевозможных перестановок чисел 1, 2, ..., и, т. е. равно и.'. Умножим каждое из этих произведений на ( 1)ы(аеаь" .~ 1 и сложим. Полученная сумма 1 1)те(аеаа,...,а„]а т ц г ц д г. Определители называется определителем матрицы А или определителем п-го по- рядка и обозначается одним из следующих символов; аы асг ащ азг а1п СС'гп Р = с1ес А = ап1 Сепг " Счпп с1есА = с1е1А 2'. При перестановке местами двух столбцов определитель меняет знак, а его абсолютнал величина не изменяется.
3'. Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю. 4'. Если элементы йыго столбца определители Р имеют вид аб = хЬ, + Ус„с = 1,2, ...,пп (т. е. если бый столбец является линейной комбинацией столбцов < Ь1 чс 1г сс ч1 ) и 1: ~ с коэффициентами х и у), то Р = хР, (Ь,) + Ь„ с„ + уР Ссс), где Р (1,) определитель, получающийся из определителя Р заменой бцго столбца на столбец с элементами 1, (1 = 1, 2, ..., и). 5'. Общий множитель элементов какого-либо столбца определителя можно вынести за знак определители.
Другими словами, если для элементов диго столбца определителя Р выполняются равенства ао — — хЬ„1= 1,2,...,п, то Р = хР,.1Ьс). 6'. Если все элементы какого-либо столбца определители равны нулю, то определитель равен нулю. 7'. Если к элементам какого-либо столбца определителя прибавить соответствующие элементы любого другого столбца, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. Свойства 2'-7' имеют место и для строк определителя. Теорема 1.
Если А и  — квадратные матрицы одного порядка, то с1е1АВ = с1е1А сЫВ. Эстементы, столбцы и строки матрицы А называются также элементами, столбцами и строками ее определителя. Говорят, что элементы асс, азсо ...,ап„Расположены на главной диагонали опРеДелителя, а элементы асп, аг и 1, ..., а„с на побочной диагонали.
2. Свойства определителей. 1'. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т. е. м Гл. Х. Матрицы и определители 3. Алгебраические дополнения и миноры. В сумме десА = ( — 1)' ~"е"'""' " а„ыае,з...ае „выделим ту группу слагаемых, =Е- '"'"' "'-" -" которые содержат в качестве сомножителя определенный элемент асо и в этой группе слагаемых вынесем аю за скобки. Число, получившееся в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента аю и обозначается Ао. Если в матрице А = (а;,.)ее„вычеркнуты-ю строку и учй столбец, то получим квадратную матрицу (и — Ц-го порядка.
Определитель этой матрицы называется минором элемента аб и обозначается ЛХ,:. Справедливы следующие утверждения. 1. А, = ( — 1)еьХЛХ, . 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого- либо столбца (строки) на алгебраические дополнения этих элементов, т. е. е е е ге= т „е ~е ы=т члк). е=1 Это равенство называется разложениел~ определителя по элементам у-го столбца (1-й строки). 3. Сумина произведений элементов какого-либо столбца (строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю, т. е. е е =е '1л,,А;=0), е=1 Квадратная матрица А называется неаырожденной, если е1е1 А ф О. Теорема 2.
Для того чтобы матрица А имела обратную леатрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была нееырожденной. Элементы Ь; обратной матрицы А е еычисляются по формуле Ь;.= ~, Сч'=1,2,...,п, А, йеФА' где .4; алгебраическое дополнение элемента а ч матрицы А. 4. Практическое вычисление определителей. Вычисление определителя и-го порядка на основе определения, т, е, нахождение суммы п! слагаемых, не является эффективным способом при п > 4.
Волее удобно сначала преобразовать определитель, не меняя его значения, к такому виду, чтобы все элементы какого-то столбца (например, бчго) равнялись нулю, за исключением, быть может, одного элемента. Это можно сделать путем прибавления к строкам определителя какой-то одной из строк с соответствущими сомножителями. При этом в силу свойства 7' определитель не изменится. Далее нужно разложить определитель по элементам бчго столбца. Так как лишь З 2. Определители зз один элемент Х-го столбца отличен от нуля (пусть это будет а, ), то в разложении останется лишь одно слагаемое: с1еь А = а„..Аои В свою очередь А, = ( — 1)' ЮЛХсо где М; определитель (ге — 1)- го порядка (минор элемента а;,), Для его вычисления можно воспользоваться тем же приемом приведением к такому виду, в котором все элементы какого-то столбца определителя ЛХ;, (за исключением одного) равны нулю.
Применение этого приема показано в примере 2 на с. 17. Вычисление определителей второго и третьего порядков можно проводить, опираясь непосредственно на определение. В соответствии с определением с1ет(аи)зез = аыазз — а, озы т. е. определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стонщих па побочной диагонали. Определитель третьего порядка равен сумме шести (3! = 6) слагаемых.
Для их составления удобно использовать правило треугольников. Произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а также произведения элементов, являющихся вершинами двух тре- Рис. ! угольников на рис. 1, а, берутся со множителем +1, а произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а такеке произведения элементов, являющихся вершинами двух треугольников на рис. 1, б, берутся со множителем — 1, т. е. с1ет А = амаззазз + агзаззаз~ + ащ а~зазз— — пшоезоз! — Оьеоз! изз — Оыяззозз. Для определителей с буквенными (не числовыми) элементами иногда удается получить рекуррептное соотношенио, что дает возможность найти определитель (сьь пример 3 на с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
