В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Следствия (сформулируем их для столбцов, для строк имеют место такие же утверждения). 1. Для того чтобы столбцы матрицы были линейно зависимы (независимы), необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был лченыие числа (равен числу) столбцов. 2. Ранг матрицы равен разлчерности линейной оболочки ее столбцов. 3. Ранг матрицы равен лчаксилзальнолу числу ее линейно независимых столбцов. 4. Максимальное число линейно независильзх столбцов матрицы равно макс мальнолу числу ее линейно независимых строк.
Гл. Гй Линейные прое1пранетеа 3. Вычисление ранга матрицы. Перечислим операции пад столбцами матриды, не изменяющие ее ранга: а) перестановка столбцов местами, б) умножение столбца на число, не равное нулю; в) прибанление к столбцу линейной комбинации других столбцов; г) вычеркивание нулевого столбца; д) вычеркивание столбца, равного линейной комбинации других столбцов.
Аналогичные операции над строками матрицы также не изменяют ес ранга. С помощью указанных операций над строками и столбцами ненулевой матрицы А = (а„.) ее можно привести к матрице В следующего вида: ь„о о ... о Ь21 Ь22 О ... О В= Ье1 Ье2 Ь~ 2 ... Ье~ Ь„йг Ье, ... Ь,„ где Ь„ф О, 1 = 1, ...,г, а элементы Ь,, расположенные в 1-й строке (1 = 1,...,г — 1) правее элемента Ьп, равны нулю.
Отсюда следует, что минор матрицы В, образованный первыми г строками, равон Ь11 Ь22 ..... Ье, ф О, И, ЗНаЧИт, ГацйВ = Г. СЛЕдОВатЕЛЬНО, И гапйА = к Приведсние матрицы А к виду В состоит из т шагов. Первый шаг. а) Вычеркнем пулевые строки и столбцы матрицы А. Получившуюся матрицу снова обозначим буквой А, а ее элементы через аб. б) Если а11 = О, то переставим строки и столбцы так, чтобы в ловом верхнем углу оказался элемент, отличный от нуля.
Элементы получившейся матрицы А обозначим по. При этом аы ~ О. Если аы фф О, то нлатрица А это сама матрица А. в) Прибавим к й-му столбцу матрицы А (й = 2, 3, ...) первый столбец, умноженный на число — 311/а11. Получим матрицу С с элементами си, у которой с11 = а11 ~ О, а все остальные элементы первой строки равны нулю: (с11 О О ... О ) С = 1.'21 с22 1.'22 Если при этом окажутся равными нулю также все элек|енты каждого столбца, начиная со второго, то, вычеркнув нулевые столбцы, придем 55. Ранг матрицы. Теарееза а базиснаге гнинаре к матрице В, у которой г = 1. В протинном случае сделаем нторой шаг.
Второй шаг. а) Вычеркнем нулевые строки и столбцы матрицы С. Получившуюся матрицу снова обозначим С, а ео элементы через с, . б) Если сзз = О, то переставим строки и столбцы (причем первую строку и первый столбец не перестанлием) так, чтобы элемент с индексами 2,2 стал отличен от нуля. Элементы получиншейся матрицы С обозначим с„. При этом сзз — — сзз ~ О, сзз г- О. в) Прибавим к 1-му столбцу матрицы С 1Й = 3,4, ...) второй столбец, умноженный па число — Езь/сзз. Получим матрицу Р с элементами г?О, У котоРой е?зз = сы ~ О, г?зз = сгз ~ О, а все элементы пеРвой и второй строк, расположенные правее дзз и е?зз, равны нулю: О О ... О Вгз е?зг О ... О е?зз е1зз е?зз Если окажутсн равными нулю также все элементы каждого столбца, начинал с третьего, то, вычеркнув нулевые столбцы, придем к матрице В, у которой г = 2.
В противном случае сделаем третий шаг, полностью аналогичный первым двум шагам. Если ранг матрицы А равен г, то после г шагов получим матрицу В. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определения ранга матрицы, базисного минора, базисных строк и базисных столбцов. 2. Найдите ранг, все базисные миноры и соответствующие им базисные строки и столбцы матрицы О 2 1 — 2 3 3. Может ли ранг матрицы с размерами 5 х 6 быть равен; 3; 5; 6; 7? 4. Чему равен ранг транспонированной матрицы А, если гащ А = г? т 5. Сформулируйте теорему о базисном миноре.
б. Пусть ранг га х и;матрицы А равен г. Являются ли столбцы матрицы А линейно зависимыми, если: а) г ( п; б) г = п? 7. Могут ли быть линейно независимыми строки с тремя элементами, если число строя равно: 2; 3; 4; 5? 3. Может ли ранг матрицы быть равен г> если: а) какие-то г ее столбцов линейно зависимы; б) любые г столбцов матрицы линейно зависимы; в) какие-то г -~- 1 столбцов матрицы линейно независимы? Ответы обоснуйте. 9. Чему равно максимальное число линейно независимых столбцов (строк) матрицы, если ее ранг равен г? Гл. П.
Линейные нространотеа Примеры решения задач 1. В пространстве Т~ даны два столбца, е1= 1 и ез= О Доказать, что онн линейно независимы и подобрать столбцы ез и ел такие, что столбцы е1, ез, ез, ел также линейно независимы. О 1 ГО 11 Составим матрицу из столбцов е1 и еа1 „. Ее ранг ра- 1 О вон 2, так как выделенный минор второго порядка отличен от нуля (он равен — 1). По теореме о базисном миноре базисные столбцы е1 и ез линейно независимы.
ВыбеРем столбЦы ез и ел так, чтобы матРица из столбЦов е1е ез, ез, ел имела определитель, отличный от нуля. Тогда ранг матрицы будет равен 4, и по теореме о базисном миноре столбцы е1, ез, ез, е,1 будут О О линейно независимыми. Возьмем, например, ез = О е!4= О О 1 О О О 1 О 1 Тогда 1 О 1 Π— — 1 ф О, и, следовательно, столбцы 1 О О О линейно независимы. д ЕЕ,Е,ЕЗ,Е4 10. Линейные оболочки ь(е) и ЦСЕ, Са), где Г, С1 и Сз -- столбцы, совпадают. Являются ли столбцы С1 н Сз линейно независимыми? Ответ обоснуйте. 11.
Матрица А имеет п столбцов А1,..., Аео а матрица В т столбцов ВЕ,..., Воо причем Ь(А1,..., А„) = ЦВЕ,...,В, ). Равны ли ранги матриц А и В? Ответ обоснуйте. 12. Перечислите операции цад столбцами (строками) матрицы, которые нс изменя1от ее ранга. 13.
Каким может быть ранг матрицы, полученной из матрицы ранга т вычеркиванием: а) одной строки; б) двух строк? 14. Как связаны размерность линейной оболочки столбцов матрицы с рангом матрицы? 1б. Найдите размерность и базис линейной оболочки столбцов матрицы 45. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре 2. Доказать следующее утверждение (следствие 1 из теоремы 10): для того чтобы столбцы матрицы были линейно зависимыми, необходиью и достаточно, чтобы ранг г матрицы был меньше числа и, ее столбцов. Хь Необходимость.
Пусть столбцы матрицы линейно зависимы. Если бы г = п, то все столбцы были бы базисными, и тогда по теореме 10 они были бы линейно независимыми, что противоречит условию. Следовательно, г < в. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть г < в. Тогда матрица имеет г базисных столбцов и хотя бы один (так как и — г > 1) не базисный столбец, который по теореме 10 является линейной комбинацией базисных столбцов, а значит, линейной комбинацией и — 1 столбцов матрицы (в их число не входит сам этот столбец). По теореме 3 столбцы матрицы линейно зависиы|ы. а 3.
Доказать следствие 2 из теоремы 10: ранг матрицы равен размерности линейной оболочки ее столбцов. Пусть ранг матрицы равен г. По теореме 10 г базисных столбцов матрицы линейно независимы, а любой столбец матрицы являетсн линейной комбинацией ее базисных столбцов. Поэтому любая линейная комбинация всех столбцов матрицы является линейной комбинацией ее базисных столбцов, а значит, .г базисных столбцов матрицы составляют базис линейной оболочки столбцов матрицы. В силу теоремы 8 размерность этой линейной оболочки равна г, т. е.
ранна рангу матрицы. д 4. Найти ранг и базисный минор матрицы; 0 — 10 5'| 1 0 4 — 5| а)А=~ — 2 8 — 10); б)А=~ — 1 — 3 0 1). 4 — 12 18 — 2 — 9 4 — 2 .6 а) Матрица А имеет л|инор 2-го порядка, отличный от нуля, на- 0 — 10 пример, ЛХ = 2 8 — — — 20 ~ О, а |1е1А = О. Следовательно, гапйА = 2, минор ЛХ является базисным. Отметим, что н качестве базисного можно взять любой минор второго порядка матрицы, так как все они отличны от куля. б) 1 способ, У матрицы А имеетсн минор второго порядка, не 1 0 равный нулю, например, М = = — 3 ф О.
Поэтому г > 2, а из размеров матрицы А следует, что г < 3. Обозначим строки матрицы через .4|, Аа, Аз и предположим, что гапйА = 2. Тогда строки А|, Аз,.4з линейно зависимы, и так как .4| и Аз линейно независиы|ы, то Аз — — и А| + Ь ..4з, где а и Ь ". некоторые числа. Это матричное Гл. Ьй Линейные пространства равенство эквивалентно четырем числовым равенствам. Напишем их для элементов первого и второго столбцов: — 2 = а — Ь., — 9 = О . а — 3 .
Ь. Отсюда и = 1, Ь = 3. Нетрудно проверить теперь, что действительно имеет место равенство Аз = А1+ ЗАэ. Итак, строки Аы Лги Аз матрицы А линейно зависимы, поэтому гапКЛ = 2. Базисным минором нвляется, например, указанный минор ЛХ. Н способ. Вычислим ранг матрицы А способом, описанным на с. 44. Умпожим первый столбец матрицы на ( — 4), а в другой раз па 5 и прибавим соответственно к третьему и четвертому столбцу. Полу- чим матрицу Умножим теперь второй столбец матрицы С па 4/3, а в другой раз на -4/3 и прибавим соответственно к третьему и четвертому столбцу.
Это дает матрицу Р= — 1 — 3 О О Вычеркивая нулевые столбцы матрицы П, получим матрицу в= (-~ -з), ранг которой равен 2. Следовательно, и гап3.4 = 2. Л 5. Найти базис и размерность линейной оболочки ЦАг, Аа, Аз, Лл), О 5 Дополнить базис этой линейной оболочки до базиса пространства Н.. Рассмотрим в пространстве Нзэ базис, состоящий из матриц; О О '-'= О О ез= 1О "= О /са Ь1 Координаты произвольной матрицы а в этом базисе равны с а, Ь, с, г1. Запишем координаты данных матриц Лы Лз, Аз, Лл в базисе ег, еэ, ез, ел в виде столбцов и составим матрицу В из этих столбцов: 2 — 1 О 3 45. Ранг матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
