В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Найдем первое базисное решение Л"ы Для этого положим тх = 1, тл = та — — О. Система (3) примет вид с в из+ Зтз = — 2, — 2тх+ бтз = — 4. Определителем матрицы полученной системы является базисный минор, отличный от нуля. Следовательно, эта система имеет единственное решение, которое можно найти, например, по формулам Кра- 1 2 мера: тз = 2, тз = О. Таким образом, Хх = О . Полагая в систе- О О ме (3) тх = О, тл = 1, ха = О, аналогично находим тх = 13, тз = 5,. О 13 т. е. вторым базисным решением является столбец Лз = б 1 О Наконец, полагая ач = О, хл = О, те = 1, находим хх = 1, те = — 1. О 1 Следовательно, третье базисное решение есть Хз — — — 1 .
Итак, О 1 ФСР, состоящая из решений Хы Хз, Хз, построена. Отметим, что построенная таким образом ФСР называется нор нилиной ФСР. Подчеркнем, что столбцы ХыХз, Лз, образующие нормальную ФСР, линейно независимы, поскольку "свободные" неизвестные ты те,тэ были выбраны так, что выделенный рамками минор третьего порядка в Гл. 111. Системы линейных уравнений 70 матрице из этих столбцов 1 О О 2 13 1 О 5 — 1 О 1 О О О 1 отличен от нуля, и поэтому ранг этой матрицы равен 3, т. е. равен числу столбцов матрицы.
Напишем теперь общее решение исходной системы уравнений: Х = с1Х1 + сгХ2 + сгХз, или, в координатах, х1 = с1, хг = 2с1 + 13сг + сз, хз = бег — сз, хе = сг, хз = сз, где с1, сг, сз -- - произвольные постоянные. А 1 Π— 1 — 1 2. Известно, что столбцы Х1 = и Хг = образуют О 1 < амх1+ ащхг + а1зхт+ амхл = О, аггх1 + аггхг + агзхз + аглхе = О. (4) Нужно так подобрать коэффициенты а;„чтобы Х1 и Хг были реше- ниями системы (4). Подставив Х1 и Хг в эту систему, получим =О, а11 — ам =О, а21 а22 — а12 + 2а12 + а1,1 — а 2+2а э+ам =О, = О. ФСР некоторой однородной системы линейных уравнений. Из скольких уравнений может состоять эта система? Привести пример такой системы, состоящей из трех уравнений.
Ответим вначале на первый вопрос задачи. Так как столбцы Х1 и Хг имеют по четыре элемента, то число п неизвестных системы равно 4. Число решений в ФСР по условию равно 2, т. е. 11 — г = 2. Поэтому ранг матрицы системы уравнений равен 2. Следовательно, однородная система линейных уравнений с данной ФСР может содержать любое число, но нс менее двух уравнений. Систем линейных ураннений, имеющих ФСР, состоящую из Х1 и Хг, бесконечно много.
Построим одну из таких систем, содержащую три уравнения. Будем искать первые два уравнения в виде 43. Однородные еиетпелеы линейных уравнений Одним из решений последней системы является следующий набор чисел аб: 1 а11=а12=а21=а22=а14=1 а13=а24=0, а23= —. 2 При таких значениях ае система (4) имеет вид < хз+хз+ хл = О, х4 +хл+ 0,5 хз = О.
Решения Л~ и Лл образует ее ФСР. В качестве третьего уравнения системы можно взять произвольную линейную комбинацию найденных двух уравнений, например их сумму. Итак, одним из возможных ответов является система уравнений < Х4 + Хл +х4 =О, х4+ тл 4-0,5хз =О. 2х4 + 2хл+ 0,5 хе+ хл = О. а 3. В линейном пространстве Р2 многочленов степени, не превосходящей 2, найти надпространство многочленов Р(х), удовлетворяющих условиям Р(1) = О, Р(2) = О, и определить его размерность. 25 Пусть ЛХ вЂ”.- искомое подпространство многочленов. Произвольный многочлен из Р2 запишем в виде Р(х) = ай+ азх+ азхз. Тогда условия, определяющие принадлежность Р(х) подпространству ЛХ, примут вид с Р(1) =по+ а4+ ае =О, Р(2) = ао+ 2а4 + 4ал = О. Получилась однородная система линейных уравнений с тремя неиз- вестными ао, а~, .аз. Ранг матрицы (1 2 этой системы равен 2.
Поэтому размерность и — г пространства решений равна 1. Нормальной ФГР этой системы является, например, решение а общее решение системы получается умножением найденного решения на произвольную постоянную с: ао = 2с, аз = — Зс, аз = с. Итак, любой многочлсн из надпространства М имеет вид Р<х) = = с(2 — Зх+ хз).
В качестве базиса этого надпространства лзожно взять многочлен 2 — Зх+ х'-. Так как базис состоит из одного элемента, то размерность подпространства Л1 ранна 1. а 72 4. Найдите ФСР и запишите общее решение однородной системы линейных уравнений: хт+ЗХ2+охз Х1=0, 2х1 — хз — Зхз + 4хл = О, 5хт+ хз — хз+ 7хе = О, 7хт + 7хз + 9хз + х4 —— 0; а) хт+хз+хз+хе =0:, б) в) Х1 + Х2 4- хз = О, хт + хз — тз = 0; г) 0.21+0.хз+О.ха+1.х4 = 0; 4Х1 +4хз+ 8Х4 = О, 2х1+ 2ХЗ+ Зхз =О, 2Х1 + Хз + Х4+ 10ХЗ = О, ЗХ1 — 4ХЗ + хз + 14Х4 = О, 4х1+Зхз+Зхз+ хе+10хз= О; д) и з хт — Хз + 2х;1 — хз = О, Х1 — х +2хз+ха = О, Х1 — Х2 + 2ХЗ вЂ” хз = 0 имеет бесконечно много решений, причем в каждом ее реше- Гл. 111.
Сиетелеи1 линейных уравнений Задачи и упражнения для самостоятельной работы 5х1+ 6ХЗ вЂ” 2хз+ 7х4+4хз = О, Хт Хз+ е) 2Х1 + Зхз — хз + 4Х4 + 2хз = О, 7хт + 9х — Зхз + 5хл + 6хз = О., ж) — хз+ — хз+ 5хт + 9хз — Зхз + хе + бхз = 0; Х1 )Матрицы систем б), д), е), ж) взяты соответственно е), з) и), к) из гл. П.) 5. Найдите две различные ФСР длн системы уравнений: а) хт+хз+хз+х4 = 0; б ) 9хт+ 21хз — 15хз + 5хл = О,. < 12хт + 28хз — 20хз + 7х4 = 0; х1+ 5хз+ 7хз+ 2хе+ха = О, 2Х1+ хз+ 5хз+ 4хе —— О, в) — Зхт — хз — 7хз — 6тт = О, 8х1 + 4хз + 20хз + 16Х4 — х" = О, 10Х1+ Зхз+ 23хз+ 20хе+ хз = 0:, г) 0 хт+О хз+О хз+1 Х4=0. 6. Докажите, что система уравнений хз =О, Х4 =О, хз — хз = О, хз = О, хз + хе = О.
из упр. 34, 4е. Однородные системы линейных уравнений 73 пни щз = О. 7. Укажите все группы неизвестных, которые могут быть "свободными' неизвестными при решении системы уравнений 8. В линейном пространстве Р, многочленов степени, не превосходящей п, найдите размерность подпространства многочлснов Р(щ), удовлетворнюших условиям Р(а,) = О, 4 = 1, 2,, й (ь- < < 'и), и1, аз, ..., о1, различные числа. 9. В линейном пространстве Рл многочленов степени, не превосходящей 4, найдите какой-нибудь базис надпространства многочленов Р(щ), для которых Р(О) = Р(1) = Р(2) = О.
10. Найдите однородную систему линейных уравнений, состоящую; а) из двух уравнений; б) из трех уравнений; в) из четырех уравнений; образуют ее ФСР. 11. Существует ли однородная система линейных уравнений, для которой каждая из совокупностей трех столбцов Х1 — 1 Хз — Хз— 8 является ее ФСР7 7л1 — 4хз + Отз 5л1+ 8тз+ 7лз Зщ1 — 8хз + 5тз 7л1 — 2хз + 2щз для которой столбцы 1 Х, = -2 , Хз 2 — 1 +2щ4+2тз = О, — 4л4+2хз = 0 +4хл+2аз = О, + щ4 — 5аы = О. 3 2 13 7 — 1, Хз= — 8 2 1 — 5 Гл.
Пй Системы линейных уравнений 3 3. Неоднородные системы линейных уравнений Основные понятия и теоремы Рассмотрим неоднородную систему т линейных уравнений с и неизвестными (обозначения те же, что и в З 1, столбец В ненулевой). Будем считать, что система (Ц совместна и ранг матрицы А равен г. Теорема 6. Общее решение неоднородной систпемы уравнений (1) имеет вид п — г Х = Хо+ ~ слХь, л — ~ (2) Контрольные вопросы и задания 1. Может ли неоднороднак система линейных уравнений быть несовместной? 2. Какой формулой описываетсн общее решение совместной неоднородной системы линейных уравнений? 3. Образует ли множество всех решений неоднородной системы линейных уравнений линейное пространство? Примеры решения задач 1.
Доказать, что система линейных уравнений < 2х1 — хз + Зхз — 2хч + 4хь = 1, 4х1 — 2хз + 5хз + х4 + ?хь = 1, 2х1 — хл + хз + 8хл + 2:гь — — — 1 (3) совместна и найти се общее решение. способ. Столбец свободных членов, .умноженный на 6, равен разности пятого и четвертого столбцов основной матрицы данной системы уравнений. Поэтому ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы, .и, следовательно, система совместна.
Общее решение однородной системы уравнений, соответствующей (3), было найдено в примере 1 (с. 68). Чтобы найти частное решение системы (3), выделим в основной матрице А базисный минор, стоящий на пересечении первых двух строк со вторым и третьим где Ло какое-нибудь (частное) решение системы (1), Хт,Лз,... ...,Хи „ФСР соответствующей однородной системы линейных уравнений, с„сз, ..., с„„произволькыв числа. уо. Неоднородные системы линейных уравнений столбцами (т.
е. тот же минор, что и в упомянутом примере), отбросив последнее уравнение системы (3), а первые два запишем в виде — хз + Зхз = 1 — 2хг + 2хл — 4хз; — 2хз + 5хз = 1 — 4х~— Эта система равносильна исходной системе (3). Положим в ней "свободные" неизвестные равными нулю, т. е. хг = хл = хз = О.
В результате придем к системе уравнений г ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~! — тз + Зхз —— 1, — 2хз+ 5хз = 1. Опа имеет единственное решение хз — — 2, хз — — 1. Таким образозц най- 0 2 дено частное решение системы (3): Ло = 1 0 0 Общее решение системы (3) запишем по формуле (2): хг 0 хз 2 хз = 1 + сз х ~ 0 Г5 0 1 2 +сг 0 0 0 0 13 5 1 0 0 1 + сз — 1 0 1 или, в координатах, хг = с„хз = 2+2с, +13сз+аз, хз = 1+ 5сз — сз, хл = сг, хв = сз.
(4) П способ. Применяя к строкам расширенной матрицы элементарные операции, нс изменяющие ее ранга, преобразуем расширенную матрицу А' к виду ,г2 -1 3 -2 4 15, Аг = < 0 0 — 1 5 — 1 — 1), 0 0 — 2 10 — 2 — 2 Чтобы получить матрицу Аз, ко второй строке матрицы А* была прибавлена первая строка, умноженная на — 2, а к третьей строке прибавлена первая, умнозкенная на — 1. В матрице .41 третья строка равна второй, умноженной на 2. Теперь очевидно, что гапйА = гапяА' = 2 ип, — г=З. Произведем такие же действия с уравнениями системы (3).
Получим систему уравнений и ~ ~ ~ ~ ~ г и ~ ~ 5 ~ ~ ~ ~ ~ <~ 2хг — хз + Зхз — 2ха + 4хз = 1, хз+бхл х5= — 1, Гл. 1П. Системы линейных уравнений 76 равносильную исходной. Второе уравнение запишем так; Хз = ох4 — Х5 + 1, и, подставляя хз в первое уравнение, выразим хз через остальные неизвестные: хз = 2+ 2хт + 13х4 + хь. Итак, имеем < хе = 2+ 2хт+ 13х4+ хты хе= 1+ ЗХ4 Х5~ где Х4,х4,х5 могут принимать любые значении. Положив хт — — с4, хл = сз, хч = ст, получим решение задачи в виде (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
