В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 11
Текст из файла (страница 11)
56. Докажите, не опираясь на теорему 11, что линейные пространства разных размерпостой не являются изоморфными. 57. Найдите п для указанных ниже пространств, если известно, что эти пространства изоморфны пространству столбцов Те. а) для пространства Нл; б) для пространства Н"; в) для пространства симметричных п, х и;матриц с нулевыми диагональными элементами; г) для пространства Р„; д) длн подпространства многочленов р(т) из Р„, удовлетворяющих условию р(0) = О,: е) для подпространства столбцов из Т„, сумма элементов которых равна нулю. ГЛАВА 111 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ~ 1. Существование решения системы линейных уравнений Основные понятия и теоремы Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными хг,хг, ...,хо аггхг -'г агзхз + ... -'г аг„х„= Ьг, ч (агз и Ь, известные числа).
Если ввести т х и-матрицу А = (а,.), столбец Х, элементами которого являются неизвестные хг, х, ..., х„„и столбец В, элементами которого являются свободные члены 6г, Ьз, ..., Ь, то данную систему можно записать в виде Если В = О " - нулевой столбец, то система (1) называется однородной, в противном случае неоднородной.
В[атрида А называется основной матрицей системы (1), В -- столбцом свободных членов. Если к матрице А добавить столбец В, то получим матрицу А', называемую расширенной матрицей системы (1). Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Теорема 1 (теорема Кронекера и Капелли).
Для гпого чтобы сисгпема (1) была совмесгггнаг необходимо и достаточно, чгпобы ранг основной матрицы равнялся рангу расширенной матрицы системы: гане А = гапКА . Система уравнений (1) называется квадратной, если и = т, т. е. число неизвестных равно числу уравнений системы. Теорема 2. Квадратная система линейных уравнений (1) с невы- рожденной матрицей А имеет единственное решение. Это региение можно записать в виде ь( г) (2) Гл 1Н Системы линейных уравнений бл где Р определитель матрицы А, а Рь(6,) определитель матрицы, которая получается из матрицы А заменой Й-го столбца на столбец свободных членов.
Формулы (2) называются формулами Брал~ера. То же самое решение можно записать в матричном виде: Х=А 'В Контрольные вопросы и задания 1. Какая матрина называется основной и какан расширенной матриией системы линейных уравнений? 2. Составьте расширенную матрицу системы двух уравнений с тремя неизвествыми х, у, ю х = 1, у — г = О. 3. Какая система уравнений называется совместной? 4. Сформулируйте необходимое и достаточное условие совместности системы линейных уравнений. 5.
Явлнется ли совместной система уравнений х Ч- у = 1, 2х ф 2у = 4? 6. Какая система уравнений называется квадратной? 7. При каном условии квадратная система линейных уравнений имеет единственное решение? 8. Напишите выражение для решения квадратной системы линейных уравнений с невырожденной матрицей: а) по формулам Крамера; б) через обратную матрицу по отношению к основной матрице системы.
Примеры решения задач 1. Является ли совместной система уравнений с х1+ хз — хз+х4=1, — хс + 2хз + хч — хл = 1, т! Зхз хз+т4=1? Воспользуемся теоремой Кронекера и Капелли. С этой целью найдем сначала ранг основной матрицы системы А= — 1 2 1 — 1 Четвертый столбец матрицы А равен первому столбцу, а третий столбец равен перному, умноженному на — 1. Поэтому третий и четвертый столбцы можно вычеркнуть, не изменив при этом ранга матрицы.
Получитсн матрица ( — 1 2), уй Существование решения системы линейных уравнений 65 ранг которой, очевидно, равен 2. Следовательно, и гапяА = 2. Составим теперь расширенную матрицу А*, добавив к матрице А столбец свободных членов данной системы, и снова вычеркнем третий и четвертый столбцы, что не изменяет ранга матрицы. Получится матрица — 1 2 1 Определитель этой матрицы отличен от нуля (он равен 8), поэтозиу ранг этой матрицы равен 3 и, следовательно, гапяА* = 3. Таким образом, гапяА = 2 ~ 3 = гапяА*, т. е. ранги основной и расширенной матриц не равны. Поэтому данная система уравнений несовместна. я 2.
При каких значениях с совместна система уравнений с х1 + хч — хз + х4 = 2, — хз + 2хз+ ха — хз = 1, х1 — Зтз — хз + хз = су Основная матрица А данной системы такая же, как в примере 1. Как было установлено, ганя А = 2. Составив расширенную матрицу и вычеркнув в ней третий и четвертый столбцы (как и в примере 1, зто не изменяет ранга матрицы), получим матрицу В= — 1 2 1 определитель которой равен Зс+ 6. Если с ~ — 2, то этот определитель отличен от нуля, поэтому ганя А' = 3 ф гапяА, и, следовательно, данная система уравнений несовместна. Если же с = — 2, то деФ В = О, а так как у матрицы В есть миноры второго порядка, отличные ог нуляч то ганя В = 2, и поэтому гзпКА* = 2.
Итак, при с = — 2 гапяА = = гапяА* и, следовательно, данная система совместна. я 3. Доказать, что система уравнений хз — хч+ хз = О, 2хз — хз = 5 — хз+х +2хз= — 3 имеет единственное решение., и найти это решение. з"з Данная система уравнений является квадратной (и = т = 3). Вычислим определитель Р ее основной матрицы: 1 — 1 1 Р= 2 Π— 1 =6. — 1 1 2 3 В.Ф. вучузов я лв Так как Р у': О, то по теореме 2 система уравнений имеет единственное решение. Найдем его по формулам Крамера. С этой целью вычислим определители Рь(Ь,), Ь = 1,2,3, входнщие числителнми в правые части формул Крамера (см. (2)). Определитель Рт(Ь,) получается из определителя Р, если заменить первый столбец определителя Р столбцом свободных членов данной системы Π— 1 1 Рт(Ъе) = 5 Π— 1 = 12.
— 3 1 2 Аналогично находим определители Рз(Ь,) и Рз(Ь,): 1 О 1 1 — 1 Рз(Ье) = 2 5 — 1 = 6, Рз(Ь,) = 2 Π— 1 — 3 2 — 1 1 По формулам Крамера получаем О 5 = — 6. — 3 хт= ' =2, Р,(ье) Р Итак, данная система имеет единственное решение х1 — — 2, х = 1, хз = — 1. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Исследуйте на совместность систему уравнений, у которой основная матрица А и столбец свободных членов В имеют вид: б) А та же матрица, что и — 5 2 4 — 4 1 3 7 — 4 — 6/ =1, =2, =с; (3 ) А= ~ 7 5 2. При каких а) х1— ь х1— Гл. 1П.
Системы линейных уравнений хз= ' =1, хз= ' ' =-1. Ре(ье) Рз(Ь,) Р ' Р =Ы О в пункте а), В = 14 =(~) значениях с совместна система уравнений: 2хз+хз+ хе= с, 2х1 ха+ ха+ хе 2хз -Ьхе — хл = — 1, б) хе +2хз — хз -Ь хл 2хз+хз+ 5х4 = 5; ), х1+7хз — 4хз+2хл Уг. Однородные системы линейных уравнений 67 (Зх1+ 4хг+ хз+ 2хл = 3, (Зхт — 5хг+2хз+4хл = 2, в) ~бхт+ 8хг+2хз+5хл= 7, г) ~ 7хт — 4хг+ хз+Зхл= с, 9х1+ 12хг + Зхз + схл = 13; 5хт + схг — 4хз — бхл = 37 3. Решите систему линейных уравнений АХ = В в случае, когда: а)А= 2, В= О, б)А= 8 О, В= в) 4= О 1 2, В= — 1 г)А= 1 — 1 О, В= О 3 2. Однородные системы линейных уравнений Основные понятия и теоремы Рассьзотрим однородную систему т линейных уравнений с и неизвестными, записанную в матричной форме АХ = О.
Здесь А т х и;матрица, Х искомый столбец с и элементами хыхз,...,х„, О нулевой столбец с тп элементами. Система 11) совместна, так как имеет по крайней мере нулевое решение хт = О, хг = О, ..., х„= О. Каждое решение Х системы (1) является элементом линейного пространства Т„ -- пространства столбцов с и элементами. Теорема 3. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений (1) являвтпся подлространством линейного пространства Т„.
Определение. Базис линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной совокупностью решений этой системы (краткое обозначение: ФСР). Теорема 4. Размерность линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений равна н — 75 где н - число неизвестных, г -- ранг матрицы гастелло. Из теоремы 4 следует, что если г < н, то число решений, составляющих ФСР, равно п — г.
Так как в линейном пространстве (ненулевой размерности) бесконечно много базисов, то у системы (1) при г < п бесконечно много ФСР. Гл.?П. Системы линейных уравнений 68 Теорема 5. Общее рещение однородной системы уравнений (1) описывается формулой Х = ~сьХы (2) и=1 где сысз,..,,си „- произвольные числа, а ХыХз,...,Хи с - ФСР системы (1).
Иными словами: при любых значениях сы сз, ..., с„, формула (2) дает решение системы уравнений (1), и обратно, для любого решения Х однородной системы уравнений (1) существуют числа сы сг, ... ..., с, „такие, что решение Х представимо в виде (2). Контрольные вопросы и задания 1. Может ли однородная система уравнений быть несовместной 2. Элементом какого линейного пространства нвлнется решение Х однородной системы линейных уравнении АХ = О с и неизвестными? 3.
Является ли линейныгл простравстном множество всех решевий Х однородной системы линейных уравнений АХ = О'? 4. Какова размерность линейного пространства решений однородной системы 8 линейных уравневий с 12 неизвестными, если ранг матрицы системы равен 5? 5. Что называется фундаментальной совокупностью решений однородной системы линейных уравнений? б. Напишите формулу, описывающую общее решение однородной системы линейных уравнений. 7. Сколько ФСР имеет однороднан система линейных уравнений? Примеры решения задач 1. Найти ФСР и общее решение системы уравнений < 2хг — хз + Зхз — 2хл + 4хз = О, 4хл — 2хл + 5хз + хл + 7хз = О, 2хг — хи+ хз+ 8хл+ 2хз = О.
Гл Матрица системы А= 4 — 2 5 1 7 была рассмотрена в упр. 34, д) из гл. П, ес ранг равен 2. Поэтому размерность пространства решений данной системы равна и — г = = 5 — 2 = 3 и ее ФСР состоит из трех решений. В матрице А возьмем в качестве базисного минора выделенный рамкой минор 49. Однородные системы линейных уравнений 69 второго порядка. Третья строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк, поэтому последнее уравнение системы является следствием первых двух уравнений и его можно отбросить.
В первых двух уравнениях члены, соответствующие базисному минору, оставляем в левой части, а неизвестные те,хл,тз считаем "свободнымие и переносим члены с этими неизвестными в правые части уравнений. В результате приходим к системе уравнений с -тз + Зтз = -2тх + 2тл — 4те, — 2тх + бтз — — — 4т1 — тл — 7хе, (3) равносильной исходной системе, т. с. множество решений системы (3) совпадает с множеством решений исходной системы уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
