В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 14
Текст из файла (страница 14)
д[О) + У[1) . д[1). Для доказательства данного утверждения нужно показать, что для предложенного правила выполняются четыре аксиомы скалярного произведения. у1. Определение евклидова и унитарного пространства 83 1'. (гг, д) = (д, () в силу коммутативности умножения чисел 2'.
Проверим, что (У + 6, д) = (У, д) + (Ь, д). В самом деле, (г" + Ь,д) = = (У( — ц + 6( — ц] . д( — ц + (т" (О) + Ь(0)] д(0) + ( р(ц + Ь(ц] . д(ц = = [у(-ц-д(-ц+у(о) д(о)+ р'(ц д(ц]+ + (я( — ц д( — ц+ п(О) д(О) + я(ц д(ц] = (Х,д) + (Иод). 3'. Проверим, что (сг(,д) = сг(т',д), где а произвольное число. Действительно, (егЛ д) = о,(( — ц д( — ц + ггт'(О) д(0) + о((ц д(ц = ег(1, д).
4'. Для любого многочлена 1"(л), степень которого не выще двух, справедливо неравенство (1,1) = Га( — Ц+ та(0) + т'а(Ц ) О. Остается показать, что если (1, Г") = О, то Г" (т) = 0 для любого х, т. е. г = д. Пусть (г, г) = О, т. е. га( — Ц + (а(0) + (г(Ц = О. Отсюда получаем 1'( — Ц = Г'(О) = Г'(Ц = О. Но так как степень многочлена Г(х) не превосходит 2, то число его корней но более двух, если хотя бы один коэффициент многочлена отличен от нуля.
Следовательно, 1(т) = О. Таким образом, выполнены все аксиомы и, значит, по указанной формуле можно ввести скалярное произведение. А 3. Пусть Рз евклидово пространство, рассмотренное в предыдущем примере. а) Вычислить нормы многочленов Г(и) = 1 — т + ха и д(х) = 1+ т и угол между ними. б) Написать выражение скалярного произведения двух произвольных элементов пространства Ра через их координаты в базисе ро = 1, , з рг р' а) Вычислим значения ((т) и д(л) в точках т = — 1, л = О, т = 1: У(-Ц=3, У(О) =1, У(Ц=1, д(-Ц=О, д(О) =1, д(Ц=2.
По формуле скалярного произведения (Х,.д) = л ( — ц.д( — ц+ + 1(О) д(О) + р(ц д(ц находим (Р д) =3.0+1 1+1 ° 2=3, ((,.() =3 +1 +1 =11, (д,д) =Ох+1 +2г =5. Вычислим теперь нормы элементов 1 и д и угол между ними: 3 откуда уо = агссоа Л55 Гл. 1'е'. Евнлидовы и унитарнеге пространства б) Найдем выражение скалярного произведения произвольных элементов 1"(х) и д(х) через их координаты в базисе: ро = 1, р~ — — х, Рг ПУсть 1(х) = со + сгх+ сгх, д(х) = Но + аггх + еггхг; тогда 1 = г г с,р„ д = ~ 4 р. и скалярное произведение элементов Р и д г можно записать в виде (1,д) = ~ а;,с;е1гь где ай = (РОР,).
Нахо- ьг=о дим коэффициенты ан. аоо = (Ро, Ро) = 3, аы = (Ры Р~ ) = 2, агг = (Рщ Рг) = 2, ащ = аго = (ро, р1) = О, аог = ага = (ро рг) = 2, агг = ащ = (рг, рг) = О. Таким образом, скалярное произведение элементов 1" (х) и д(х) через кооРдинаты этих элементов в базисе Ро = 1, Рг = х, Рг = хг выРажаетсЯ так: (гл, д) = 3содо + 2сг41г + 2сге1г + 2содг + 2сгдо.
а 4. Доказать, что для скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве нельзя сохранить без изменения аксиомы скалярного произведения, принятые в вещественном евклидовом пространстве. предположим, что в комплексном линейном пространстве введено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1' — 4'. Тогда из аксиом 1' и 3' следует, что для любого числа а и любого элемента х имеет место равенство (ах,ах) = а(х,ах) = а(ах,х) = а (х,х). Положив а = г, полу.чим (дх, гх) = — (х,х) ( О, если х ф В.
Таким образом, пришли к противоречию с аксиомой 4', в силу которой скалярный квадрат любого элемента линейного пространства должен быть неотрицательным. Следовательно, в комплексном линейном пространстве нельзя сохранить без изменения аксиомы скалярного произведения, принятые в вещественном евклидовом пространстве. Как уже отмечалось, при переходе от вещественного к комплексному евклидову пространству видоизменяется аксиома 1'. я 41.
Определение евклидова и унитарного пространства 85 5. Можно ли в комплексном линейном пространстве квадратных матриц второго порядка ввести скалярное умножение по форл|уле: а) (4, В) = ага| — Ь!Ьг + с| с| — г1|г1гч б) (А, В) = а| аг + Ь, Ьг + с| сг + |1| |1г, гдеА= ' „',В= г „' ? а) Нельзя, так как нс выполняется аксиома 4' скалярного произ- /1 1| недсния. Действительно, для матрицы А = ~О О) имеем (А, А) = а|а| — ЬгЬ| + с| с| — 4||1| = 1 — 1 = О, хотя матрица А не является нулевым элементом пространства, так как не все ее элементы равны нулю. б) Можно, так как выполняются нсе четыре аксиомы скалярного произведения в комплексном пространстве.
Покажем это. 1) Вычислим (В, А): (В,А) = ага| + ЬгЬг + сгс, + |1гг1| = аго, + Ь|Ь, + сгс, ч- г1гг1,. Сравнивая, находим, чго (А,В) = (В,А), т. е. аксиома 1) выполняется. 2) Проверим, что (А + В, С) = (А, С) + (В, С). Пусть С = . Тогда (А + В, С) = (а| + аг) аз + (Ьг + Ьг)Ьз + (с| + сг) сз + (|1| + |1г)|1з = = (а|аз -|- Ь|Ьз+ с,со + д|тез) + (агав + Ь|Ьз + огсз + |1Хз) = = (А,С)+(В,С), т. е. аксиома 2) выполняется. 3) Аналогично проверяется, что (оА,В) — о(А,В).
4) Для любой матрицы А справедливо неравенство (А, А) = о,о| + Ьг~>, + с,с, + |1, |1| = )а,(г + (Ьг)г+ ~с )г+ )|1 )г ) О, причем (А,А) = О только в том случае, когда (а|! = )Ьг! = (с|! = /О О'| = )|1~( = О, т. е. когда А = ) О О) . Таким образом, скалнрный квадрат матрицы неотрицателен и равен нулю лишь тогда„когда матрица нулевая, что доказывает выполнимость аксиомы 4), д Гл. 1д.
Евнлидввы н унитарные пространства Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Можно ли в линейном пространстве Нз матриц с вещественными элементами ввести скалярное умножение матриц А = (ар ) и В = = (Ьнв) по формуле (А, В) = аыЬы + аггугг + азгбззд 2. В базисе ем ел вещественного линейного пространства Лг произвольные элементы х и д имеют разложения х = х~ ег + хгег, у = угег + угег. а) Можно ли н пространстве Йг ввести скалярное умножение эле- ментов по формуле: Г) (х, д) = ха ус — 2хгуг, 2') (х,у) = 2хгдг ч- Зхгуг,. 3') (х,у) = хгдс — х,уг — хгдг + Зхгдгд б) Вычислите скалярное произведение элементов х = ег + ег и д = = — еы их нормы и угол между ними, осли скалярное умножение введено по формуле 2') (по формуле 3') и. а). 3. Скалярное умножение элементов в пространстве Р, многочленов степени, не превосходящей 1., введено по формуле 2') (по формуле 3')) из упр. 2, а) в базисе ег = 1, ег = 1 + х.
Вычислите скалярное произведение многочленов 1(х) = 1+ х и д(х) = — Зх, их нормы и угол между ними. 4. Докажите, что в любом вещественном линейном пространстве Нв можно ввести скалярное умножение элементов по формуле и (х,Ы = ~~' хьуь, ь=э где ть и уь (Й = 1, ..., и,) координаты элементов х и у в заданном базисе вы,ен. Покажите, что при этом (ев, ев) — бнч, где бн символ Кронекера. 5. В линейном пространстве Рл многочленов степени., не превосходящей 5, вычислите скалярное произведение многочленов 1(х) = = 2 — Зх + 4хз — хл и д(х) = 1 — х + хг + хз — 2 х', если скалярное произведение определено по формуле упр.
4 в базисе ег = в =", ег=х, ..., ев=х. 6. Докажите, что в вещественном евклидовом пространстве неравенство Коши-Буняковского переходит в равенство тогда и только тогда, когда элементы х и у линейно зависимы. у1. Определение евклидова и унитарного пространства 87 7. Докажите, что норма элементов евклидова пространства (вещест венного или комплексвого), ввеДеннан по фоРмУле ~~хй = тгг(х, х), удовлетворяет следующим условинм (они называютсн аксиомалги нормы); 1) для любого элемента х: !/хЦ ) О, причем Цх!! = 0 только в том случае, когда х = д; 2) длн любого элемента т и любого числа ес )(ах(! = )сг! 'ух)(, 3) для любых элементов х и у справедливо неравенство 1~ +И()И)+Ь)! называемое нераненством треугольника. 8.
Пусть у --. фиксированный ненулевой элемент енклидона пространства, и фиксированное число. Является ли множество всех элементов х, длл которых (х, у) = о, подпространством данного евклидова пространства'? 9. Докажите, что: а) если (х, д) = 0 для любого элемента х. то у = д; б) если (х,д) = (х,з) для любого элемента х (д и г фиксированные элементы), то у = з. 10. В базисе ем аз комплексного линейного пространства произвольные элементы х и у имеют разложении х = х,е, + хзеап у = у,е, + увез. а) Можно ли в этом пространстве ввести скалярное умножение элементов по формуле: 1') (х,у) = х7ги + гхгуа + (1 — 1)хзуг + Ъхзу; 2 ) (х, д) = 2х~ У1 + гхгуз — 1хгУ7 + хауз; З ) (х д) = х1дг + (1+ г)х1дз + (' 1)хздг — хздз .
( 1+гав б) Вычислите скалярное произведение столбцов А = ( 2 — г)' 31 В = .~ и их нормы, если скалярное умножение столбцов 1 — г ) введено по формуле 2') из а) в базисе ег = .(, ег = ( О( . Гл. 1'г'. Евнлидввы и унитпарные пространства й 2. Ортонормированный базис Основные понятия и теоремы 1. Ортогональность элементов. Ортонормированный базис. Элементы х и у евклидова пространства (вещественного или комплексного) называются вртвгвнальными, осли их скалярное произведение равно нулю: (х,у) =О.
О п р с д ел е н и е. Базис сы ег, ..., еп евклидова (унитарного) пространства называется ортогональным, если элементы базиса попарно ортогональны: (е,, ез) = О при 1 т- З. Ортогональный базис е„..., е„называетсн ортвнормирвванным базисом, если норма каждого базисного элемента равна 1. Иначе говора, базис еы ..., е„называется ортонормированным, если (е„е,) = б; (символ Кронекера). Теорема 2. В любом и-мерном (и > 1) евк идовом (унитарном) пространстве существует вртонормированный базис.
Примеры ортонормированных базисов: 1) в пространстве нз геометрических векторов любые три единичных попарно ортогональных вектора 1, 1, к образуют ортонормировапный базис; 2) в евклидовом пространстве Т„ и в унитарном пространстве Т'„' (см. примеры на с. 79 и 80) столбцы О О О 1 О О, еа= О, ..., е„= О ед = образуют ортонормированный базис; 3) в линейной оболочке В(сов х, ашх) функции ~) — сов х и „( — ашх образуют ортопормированпый базис, если скалярное произведение функций 1(х) и у(х) определено формулой 2. Процедура ортогонализации.
Ортонормированный базис в п-мерном евклидовом (унитарном) пространстве можно построить на основе произвольного базиса с помощью процедуры ортогонализации. Опишем эту процедуру. ЗЯ. Ортояорлзированный оазис Пусть даны й линейно независимых элементов х1, хз, ..., хг евклидова пространства Е„ (или унитарного пространства Е„). Построим попарно ортогональные элементы е1, сз, ..., ез, представляющие собой линейные комбинации элементов х1, ..., хь следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
