В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Хд. Евнлидовы и унитарные пространства ~00 каждый столбец Х, ортогональцый подпространству Е, является решением исходной системы. Поэтому множество М решений системы является ортогональным дополнением к подпространству Хс Х,л = ЛХ. Отсюда следует, что Х = ЛХ~-. Таким образом., ортогональным дополнением к подпространству ЛХ является линейная оболочка столбцов транспонированной матрицы Аг.
д 3. Дана система линейных уравнений < х1 — хз + 2хз = Ьы х1+ ха в хз=Ь, 4х1 + 2хз — хз = Ьз, или АХ = В, где (2) А= 1 1 — 1 Найти все те столбцы В, при которых система разрешима. Ь Так как с1егА = О (убедитесь в этом), то соответствуюшая системе (1) однородная система уравнений .4Х = й имеет ненулевое решение, и поэтому, согласно теореме 4 система (1) разрешима тогда и только тогда, когда столбец В ортогонален пространству М решений союзной системы АтХ = о. Иначе говоря, система (1) разрешима тогда и только тогда, когда В Е ЛХ~.
В свою очередь согласно примеру 2 ортогональное дополненио М~ это линейная оболочка столбцов матрицы, транспонированной по отношению к матрице 4т, т. е. ЛХ = ХАды дз, дз), где уы дз, дз столбцы матрицы А. Так как пег А = О, то эти столбцы линейно зависимы. Первые два столбца д| и дз, очевидно, линейно независимы. Поэтому они образуют базис линейной оболочки ХДды да, дз); следовательно, любой столбец В из этой линейной оболочки представим в виде В = сзд1+ сада, где с1 и сз -- какие-то числа. Итак, система (1) разрешима тогда и только тогда, когда В = г1д1 + сада = сс 1 + са 1 4 2 где с1 и сз произвольные числа. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 19.
а) Найдите размерность подпространства элементов из евклидова пространства Ев, ортогональных к данному ненулевому элементу д; б) найдите размерность подпространства элементов из Е„, каждый из которых ортогонален к данным элементам хы ..., х„, (гп ( и). 44. Ортогональные и унитарные ггатрицы ьо! 20.
Докажите теорему 4, выражающую альтернативу Фредгольма для системы и линейных уравнений с п неизвестными. 21. Найдите базис ортогонального дополнения к пространству решений однородной системы линейных уравнений: ( 5хь+ 2х! — ха=О, ! 2хг+хг+ха+хе —— 0; х! хг + хз — О. 22. Разложение элемента х по ортонормированному базису ег, ...,е„ имеет вид х = ~ е,. Найдите у и з в представлении х = и+ з,.
ь=! где д б Ь, з Е Ь~-, Х = Цхь, ..., .х,„) ..— линейная оболочка данных элементов хг, ..., х „если; а) п,=З, то =3, х! =е! — 2ез+ 2ез, хг = — е! — ез, хз =5е!— — Зез — 7ез,: б) и = 4, гн = 3, х! — — е! + ез + ез + е4, хг = Зе! + Зез — ез— — ег, хз = -2е! + 6ез + 8егб в) и = 4, пг = 2,х! = е! — 2ез + ез -!- Зег,хз = 2е! + ез — Зез + есб г) п = 4; т, = 2, х! = е! — ез + е!! — Зег, хз = — 4е! + ез + 5ез,.
д) и = 5, т, = 4, х! = е! + ез — ез + 2е! + Зеа, хз = е! + ез + + ез + 2е! + Зез, хз = е! + е4 — 2еа, х4 = -ез + Зез — е4 — 5ез. !Эти системы элементов взяты соответственно из упр. 16, 17, 18., д).) 23. В пространстве Тг столбцов с четырьмя элементами даны столбцы Х и Хь,...,Х .
Найдите проекцию столбца Х на линейную оболочку А = А(хь, ..., х ), перпендикулнр, опущенный из Х па А, и расстояние Х до Ь, если; а)Х= 6, т=З, Хг= 7, Л = З, Лз= б)Х= З, т,=2, Хг= З З 4. Ортогональные и унитарные матрицы Основные понятия и Формулы 1. Ортогональные матрицы. Пусть еь,...,е„и 7ь,...,у, два ортонормированных базиса в евклидовом пространстве Е„, и пусть !у = (!1, ) матрица перехода от первого базиса ко второму, т. е.
Гл. ГЬ'. Евклидоеы и унитарные пространства ~02 имеет место равенство Г = еьг', где е = (е1ег ...е„) и Г" = ® 1г ...1„) стРоки, составленные из ба- зисных элементов. Матрица Ц, т, е.матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, называется ортогональной матрицей. Если взять произвольный ортонормированный базис и с помощью ортогональной матрицы перейти по формуле (1) к новому базису, то новый базис будет также ортогональным, т. е. ортогональная лсатрица переводит любой ортокорлщрованный базис в ортокорлтровакный базис. Свойства ортогональных матриц. п 1'. ~ ~аь,аь = 6„, где б„--- символ Бронекера. ь=-1 Это свойство означает, что любые два столбца сг, и ьг ортогональ- ной матрицы, рассматриваемые как элементы евклидова пространст- ва Т, (скалярное произведение в Т, введено так, как указано в З 1), ортогональны: Яи 1,),) = 0 при 1 у'= у', а скалярный квадрат любого столбца ортогональной матрицы равен 1: Я„ ьг,) = 1.
Таким же свойством обладают строки ортогональной матрицы: 2'. Я 1 = Ят, т. е. обратная матрица по отношению к ортогональной матрице (,1 совпадает с транспонированной матрипей (,1т. Обратная матрица су ' также является ортогональной, поскольку осуществляет переход от ортонормированного базиса Гы ...,Гп к ортонормированному базису е~....,,е„: е = 1 Ц Свойство 2' можно записать в эквивалентных формах б1с,)т = 1 и Я~ Г1 = 1., где Г -- единичная матрица. 3', ) с1еь ф = 1.
4'. Элемент йб ортогональной матрицы равен косинусу угла меж- дУ базисными элементами еь и Г',. Свойства 1' и 2' являются характеристическими свойствами ортогональных матриц. Это означает, что матрица, обладающая свойством 1' (или свойством 2'), является ортогональной матрицей, т. е. любой ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис. Поэтому свойства 1' и 2' часто кладутся в основу определения ортогональных матриц: матрица Я = (д; )пкп называется ортогональной, если выполнено условие 1' (или 2'). 2. Унитарные матрицы.
При рассмотрении комплексных евклидовых (т. е. унитарных) пространств аналогом ортогональных матриц 04. Ортаганальные и унитарные матрицы лоз выступают унитарные матрицы. Унитарная матрица Г = (и, ) это матрица перехода от одного ортонормированного базиса, скажем, гл, ..., еа, ь дРУгомУ оРтоноРмнРонанномУ базисУ 1л, ..., 1а в УнитаР- ном пространстве Ею т. е. еСг где 1" и е — строки, составленные из базисных эдементов. Свойства унитарных матриц. 1) ~ иыйг = дл (символ Кронекера), т. е. скалярное произведен=! ние любых двух столбцов Сгл и ?г унитарной матрицы, рассматриваемых как элементы пространства Т„* (см. 8 1), равно нулю при л' р': л' и равно 1 при л = ?1 Таким же свойством обладают строки унитарной матрицы. 2) Г ' = 1?т, где С?т матрица, которая получаетсн из матрицы Г путем транспонирования и замены всех элементов на комплексно сопряженные (иллдокс Т означает транспопировапие, а черта - - комплексное сопряжение).
Матрица Г~ называется эрмитаео сопряженной по отношению к матрице 1? и обозначается Г*. Таким образом, снойство 2) молкно записать так: 1? ' = С?*, или, в эквивалентных формах: ГГ* = 1 или С?*Г = 1, где 1 единичная матрица. Матрица С? ', т.
е. матрица Сл*, также является унитарной. 3) ) г?есЦ = 1. Аналогично ортогональным матрицам свойстлза 1) и 2) являются характеристическими свойствами унитарных матриц. Контрольные вопросы и задания 1. Какая матрица называется ортогональной? 2. Какими свойствами обладают ортоговальные матрицы? 3. Верна ли утверждение: квадратван матрипа Я является ортогональной, если обратная к ней матрица л2 равна транспонированной матрице 62~'? 4. Докажите, что произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей. 5. Какая матрица называется унитарной? 6. Какими свойствами обладают унитарные матрицы'? 7.
Верна ли утверждение: квадратная матрица ?? является унитараой, если обратная к ней матрица ?? ' равна эрмитово сопряженной матрице ??та 8. Докажите, что произведение унитарных матриц является унитарной матрицей. Гл. Хй. Евклидовы и унитарные пространства Примеры решения задач 1. Доказать, что если Я ортогональная 2 х 2-матрица, то она представнма либо в виде ( соя1р — яви яп1р сов ив ( ' (2) либо в виде ( соя ис вш ВШС2 — СОЯ1Р У' ' (3) Дать геометрическук1 интерпретацию матрицы Я в каждом случае.
Запишем матрипу Я в виде -) Ч11 Ч12 Согласно свойству 1' сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов первого и второго столбцов равна нулю. Это дает три равенства; 2 2 2 2 Чы + Чя = 1: Ч12 + Ч22 = 1 Ч11 ' Ч12 + Ч21 ' Чаа = О (4) 1 = сояу21+яписЗ, Зо = — яш1р1+сов1рЗ. (5) Учитывая первые два равенства, положим Чы = сов1р, Ч21 = яп1р, Ч12 = соя ~, Ч22 = яп6, где р и 1р пока произвольные числа. Тогда первое и второе равенства (4) выполняются, а третье равенство можно записать в виде соя(2р — р) = О. Это равенство позволяет установить свнзь между нс и ии Без ограничения общности можно считать, что р и Ч1 принадлежат промежутку [0,2л], поэтому из ра- 7Г Зк вснства сов(Ч1 — р) = О следует, что щ — 1р = т- или ф — р = т —. 2 2 7Г Зк Если ~~ — 1р = — или у! — Чс = — — то сов ~ = — яп 1р, в|п ~~ = соя ус 2 2 ' и мы получаем представление матрицы Я в виде (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
