В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Произведение линейных операторов А и В является линейным оператором, а матрица С произведения операторов (в любом базисе) равна произведению матриц А и В этих операторов: С = АВ. г1. Линейные операторы в линейном пространстве 111 Свойства операции умножения операторов 1для любого числа о и для любых линейных операторов А, В и С).
1', о(ЛВ) = (оЛ)ВЛ 2'. А(ВС) = (АВ)С. 3'. (Л + В)С = АС + ВС. 4'. А(В+ С) = АВ+ АС. 5'. Умножение операторов пскоммутативно, т. е., вообще говоря, АВ ф ВА. Определение. Коммутатором линейных операторов А и В называется оператор (А,В) = А — ВА. 5. Обратный оператор. Определение.
Линейный оператор В называется обратным к линейному оператору А, если ныполняютсн равенства АВ = ВА = 1, где 1 тождественный оператор. Оператор, обратный к Л, обозначается символом А Теорема 2. Для того чтобы существовал обратный оператор к линейному оператору А, необходимо и достаточно, чтобы матрица оператора А в каком-нибудь базисе была невырожденной?при этом она будет невырожденной в любом другом базисе). Если А, матрица оператора А в базисе в1, ег, ..., е„, то матрица обратного оператора А ' в том же базисе равна А, 1, т. е. являетсн обратной по отношению к матрице Л,.
Контрольные вопросы и задания 1. Объясните, что такое оператор, действующий в линейном пространстве. 2. Какой оператор называется линейным? Приведите примеры линейных операторов. 3. Докажите, что для любого линейного оператора А справедливо равенство АУ = У, где У нулевой элемент линейного пространства. 4. Каь определяется матрица линейного оператора в данном базисе'? 5. Как следует цокиметь матричную запись Ае = еА„? б. Какой вид имеет в любом базисе матрица: а) нуль-оператора; б) тождественного оператора; в) оператора подобия с коэффициентом подобия р? 7.
Как выражаются координаты образа .4х через координаты прообраза х в данном базисе? 8. Выпишите матрицу линейного оператора А в данном базисе, если элемент х и его образ Ах имеют в этом базисе соответственно координаты х',х~,хэ и х' — хэ-1- 2хз, хз — 7хз,х' -Ь хе ж Зхз. 9. Как преобразуется матрица оператора А при переходе от одного базиса к другому? Вл. Г Линейные операгпары Примеры решения задач 1.
Доказать, что оператор А поворота на утоп ер, действующий в пространстве )гз векторов на плоскости, является линейным. Найти матрицу этого оператора н произвольном ортонормированиом базисе еы ез. 10 11 12 13 11 15 1б 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Какие операторы называются равными? Как определяется сумма двух линейных операторов? Какой оператор получится в результате сложении двух операторов подобия с коэффициентами подобия?г~ и рз? Чему равна в данном базисе матрица суммы А Ч- В линейных операторов'? Как определяется произведение линейного оператора на число? Пусть А линейвый оператор поворота на угол ее н пространстве 1'е векторов на плоскости. Что происходит с вектором при действии на него оператора: а) 2А; б) ( — 1)А? Чему равна н данном базисе матрица произведения линейного оператора А на число о?? Какова размераость линейного прострааства линейных операторов, действующих в линейном пространстве размерности и? Кан определяется произведение двух линейных операторов? Пусть Аь — оператор поворота на угол еее пространстве 1е.
Что представляет собой оператор: а) АеАм б) АеАЯ в) А~АзАз? Пусть А оператор поворота на угол л?'2 в пространстве 1'„. Докажите, ч что А' = 1, где 1 тождественный оператор. Пусть А оператор подобия с коэффициентом подобия р,. Докажите, что .4" также оператор подобия?п Е Х). Каков его коэффициент подобия? Чему равна в данном базисе матрица произведения линейных операторов? Приведите пример линейных операторов А н В, длн которых имеет место равенство АВ = ВА. Верно ли эта равенстно для любых А н В? Что называется коммутатором линейных операторов А и В? Как обозначается коммутатор? Является ли коммутатор двух линейных операторов линейным оператором? Как выражается матрица коммутатора линейных операторов А и В через матрицы этих операторов? Какой оператор называется обратаым к данному лиаейному оператору'? Какой оператор нвлнетсн обратным: а) к оператору подобия с коэффициентом подобия р ~ 0; б) к оператору поворота на угол р в пространстве гз? Для каких линейных операторов существует обратный оператор? Как связаны между собой матрицы линейных операторов А и А ' в данном базисе? В1.
Линейные операторы в линейном пространстве 113 Докажем вначале, что А линейный оператор. Согласно опрсде- ленисо линейного оператора нужно доказать, что длл любых векто- ров Ъ и с и любого числа о имеют место равенства: 1) .4(Ь+с) = АЬ+ Ас; 2) 4(оЬ) = оАЬ. Пусть с1 = Ь+ с и векторы Ь и с неколлинеарны (рис. 2). При повороте на угол р векторы Ь = ОМ, Р, с = ОС и с) = ОТ) переходят соответственно в векторы АЬ = Оссг, Ас = ОСг и Ас1 = ОТ)ы При этом Аа параллелограмм ОВ.ОС переходит в параллелограмм ОВсйсСЬ Поэтому О, А ОМс = ОМТ + Оды т. с..4с1 = АЬ + + Ас или А(Ь+ с) = АЬ+ Ас. Коли векторы Ь и с коллинеарны, то это равенство также выполнено.
Таким Ь О В образом, первое условие линейности Рис. 2 оператора имеет место. Проверим выполнение второго условия. Для любого числа сс век- торы Ь и ссЬ, отложенные от одной точки, лежат на одной прямой. При повороте на угол со они переходят в векторы АЬ и А(ссЬ), также лежащие на одной прямой, и при этом А(слЬ) = сс(АЬ). Итак, оператор А поворота на угол р линейный оператор.
Аес ес Рис. 3 Чтобы найти лсатрицу этого оператора в базисе еы ез, нунсио найти координаты образов Аеы Аез в этом базисе. Как следует из рис. 3, Аег = спасо ег+вшсо.ез, Аез = сов( — +со1 ег+вш( — +со) ез = — вшу ес+ совр е . Таким образом, ( сов р — в1п со ') 'у вш р совВо( —. - матрица оператора поворота на угол р в ортонормированном базисе ег, ез. Заметим, что в любом ортонормированном базисе матрица данного оператора имеет один и тот же вид, а 2. Элементы 1с и 1з линейного пРостРанства Вз имеют в базисе еы ез координаты О, 1 и 1, О.
Найти матрицы оператора .4 в базисах еы ез и 1'ы 13, если элементы А1'г и А13 имеют в базисе еы ез координаты 2,3 и 4,5. Гж К Пинеяные операторы ыл 1 способ. Так как в базисе еы е координаты элемента 1г равны 0,1, а кооРДинаты элемента 1г Равны 1,0, то 11 — — ег, 1г = еы Используя эти равенства, а также данные координаты элементов А1г и Агг, приходим к равенствам АЛ = Аег = 2ег + Зег = 31г + 21г, Аглг = Аег — — 4ег + 5ег = 5глг + 4глг. Отсюда по определению матрицы оператора получаем 5 3 ' т 2 4 2 способ. Используя столбцы координат элементов )г и А1г в базисе еы ег, по формуле (4) полу чаем ~ 3 ) = Ае ~ 1(, где А, матрица оператора А в базисе еы ег.
Аналогичное соотношение для столбцов координат элементов гг и Агг имеет вид ~5~ = А, ~ б(. Эти два равенства можно записать так: ~3,~ = .4, ~1 0(. Экая геО 11 матрицу А„и матрицу С = ~1 0( перехода от базиса еы ег к базису ~м 1г, по формуле (5) находим матрицу АВ 3. В трехмерном линейном пространстве Вз радиус-векторов с общим началом в точке О задан ортонормированный базис еи ег, ез и введена прямоугольная система координат Охгхгхз с координатными векторами еы ег, ез.
Прямая 1 задана каноническими уравнениями хг = хг = хз. Оператор А ортогонально проектирует любой радиус-вектор ОЛг' из Вз на прямую 1: А(ОЛг') = О~, где точка Ь ортогональная проекция точки М па прямую 1. Доказать, что А линейный оператор, и найти его матрицу в базисе еы ег, ез. Любой радиус-вектор О.д можно представить в виде ОЛ1 = Об+ ОЛ, где Об = А(ОЛг) составляющая вектора Огег', лов ) гкащая на примой 1, ОЛ --- составляющан вектора ОЛг, лежащая в 41.
Линейные операторы в линейном пространстве ыз плоскости Р: х~ 4-лз + лз = О, проходящей через точку 0 перпендикулярно прямой Е Пусть ОЛа1 —— Олч + ОУы О~д = Оьз+ ОУз. Тогда .4(ОЛА) = О~„.4(ОЛ1з) = ОМ„ (ОЛл1)+(ОЛлз) = (Оь1+Ол з)+(ОЛ1+ОЬз), причем вектор Оь1+ — с +Оьз лежит на прямой 1, а вектор От„+ 07чз — в плоскости Р. Поэтому .41,0Л1, + ОЛТ ) = ОТч + ОЕ . (7) Из (6) и (7) щтедует, что А(ОЛК1+ ОМз) = А(ОЛл'1) + А(ОХ1з), т. е. выполнено перное условие линейности оператора А.
Проверим выполнение второго условия. Если ОЛл = Ол + ОФ, то слОЛл4 = оО~+ еОЛ, откуда следует, что .4(ОЛ~) = 02, А(оОЛ~1) = = сл. Оь и, значит...4(а ОЛ1) = оА(ОЛ4), т. е. второе условие линейности оператора А выполнено. Итак, А линейный оператор. Нахождение матрицы данного оператора в базисе еы ез, ез проведем в два этапа. 1-й этап. Рассмотрим базис ГП Хз, Гз, в котором особенно просто находятся координаты образов АГы АГз, А1з.
В качестве Г1 возьмем направляющий вектор примой 1, имеющий (как следует из канонических уравнений прямой 1) координаты 1, 1,1 в базисе еы ел, ез. В качестве Гз и Гз возьмем два любых неколлинеарных вектора из Вз, лежащих в плоскости Р, и потому ортогональных к вектору Гм например, радиус-векторы, имеющие координаты — 1, 1, 0 и О, 1, — 1 в том же базисе еы ез, ез. Тогда .41; =1ы .46 = В, 41; = В. Согласно формуле (2) матрица оператора А в базисе Гы Вз, Гз имеет вид А,= ООО 2-й э т а п. Так как матрица С перехода от базиса ед, ез, ез ь базису Гы Гз, Гз известна (ее столбцы состоят из координат векторов Гы Гз, Гз в базисе ее, ез,ез); Гл. К Линейные операторы ыа то по формуле (5) находим искомую матрицу оператора .4 в базисе еы ез, ез.
/1111 Ае = СА!С-' = -' ~1 ! 1) . Ж з~ )' Отметим, что в тех случаях, когда оператор А допускает простое геометричсское толкование, матрицу такого оператора можно найти, используя непосредственно определение матрицы оператора. Так, в данной задаче оператор А ортогопально проектирует радиус-векторы на прямукз 1, име|ощую направляющий вектор с координатами 1,.1, 1 в базисе еы ез, ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
